多孔材料的溫度和壓強計算?

陳俊祥 于繼東 耿華運 賀紅亮

(中國工程物理研究院流體物理研究所,沖擊波物理與爆轟物理重點實驗室,綿陽 621999)

多孔材料的溫度和壓強計算?

陳俊祥?于繼東 耿華運 賀紅亮

(中國工程物理研究院流體物理研究所,沖擊波物理與爆轟物理重點實驗室,綿陽 621999)

(2016年10月11日收到;2016年12月6日收到修改稿)

多孔材料內(nèi)部含有大量孔隙,孔隙一旦塌陷就回歸為密實物質(zhì).但孔隙塌陷沉積的能量將提升基體材料的溫度,導(dǎo)致熱力學(xué)狀態(tài)量發(fā)生變化.尤其是在沖擊波壓縮下,多孔材料的溫升很高,溫度變化對其他熱力學(xué)狀態(tài)量的變化影響很大,因此解決多孔材料的溫度計算是不可回避的問題.本文在研究Grüneisen通用函數(shù)γv(v)的基礎(chǔ)上,將密實材料的德拜溫度函數(shù)通過數(shù)學(xué)的方法,延拓到多孔材料的密度范圍,建立了多孔材料的等效德拜溫度函數(shù)Θ(v);并據(jù)此推導(dǎo)出了多孔材料的等熵溫度函數(shù)Ts(v).再借鑒多孔材料0 K等熵功相等的假設(shè),建立了多孔材料與密實材料在相等壓強下等熵功相等的計算模型,給出了多孔材料的等熵壓強函數(shù)ps(v).于是,齊備了沖擊波壓縮下多孔材料溫度和壓強計算的參考方程,即溫度方程Ts(v)和壓強方程ps(v).為了檢驗本文方法的有效性,以Cu為例計算了孔隙度m=1.13,1.22,1.41,1.56,1.98等5種多孔材料的沖擊壓強和沖擊溫度,計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相符較好.同時,用其他方法做了計算,兩種方法計算結(jié)果的比較,顯示出本文計算方法的可靠性.

多孔材料,孔隙度,德拜溫度,等熵函數(shù)

1 引 言

多孔材料在許多工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用[1?5],但在沖擊壓縮下多孔材料孔隙塌縮區(qū)沒有相應(yīng)的熱力學(xué)物性參數(shù),無法估算沖擊壓縮對多孔材料的溫度影響.另一方面,多孔材料在沖擊壓縮下升溫升壓都特別高,這對于研究高溫高壓下物質(zhì)的性質(zhì),又是一個重要的手段[6?10].

目前對多孔材料已有多種計算沖擊壓強的方法,但都是用密實材料的壓強作參考,并假設(shè)密實材料的物性參數(shù)與溫度無關(guān).這些計算結(jié)果在高壓區(qū)與實驗數(shù)據(jù)相差較大,甚至在某些壓力區(qū)還有趨勢性的錯誤.如p-v(壓強-比體積)曲線的斜率出現(xiàn)反轉(zhuǎn)的現(xiàn)象.

本文在文獻[11]的基礎(chǔ)上,將密實材料的德拜溫度函數(shù)延拓到多孔材料的密度范圍,構(gòu)建了多孔材料的等效德拜溫度函數(shù),并提出了一種新的計算模型,比較準(zhǔn)確地計算了多孔材料的壓強與溫度,為多孔材料的高溫高壓物性計算提供了一種比較好的方法.

2 多孔材料物態(tài)方程

Bosho ff-Mostert和Viljoen[12]對現(xiàn)有計算多孔材料Hügoniot方程的方法做了評述,文中列出的5種計算方程基本上可以分為兩類:一類是Grüneisen方程,式中?表示多孔材料與密實材料物態(tài)量之差,γv(v)是振動Grüneisen系數(shù),E(v)是比內(nèi)能;另一類是W-J方程,式中R(p)是W-J系數(shù),H(p)是比熱焓.這兩類方程都是以密實材料的壓強方程作參考,用密實材料的振動Grüneisen系數(shù)γv(v)進行計算(W-J系數(shù)R(p)由γv(v)換算).兩類方程基于相同的熱力學(xué)原理,相同的熱力學(xué)參數(shù),只是對參數(shù)的簡化程度不同,所以計算結(jié)果大同小異.這兩類方程都沒有考慮溫度的影響,而多孔材料的特點恰恰是沖擊壓縮中不可忽視的高溫變化,所以這兩類方程在高壓區(qū)計算結(jié)果與實驗不符.

2.1 多孔材料物態(tài)方程的新探索

多孔材料的特點是p0(初始壓強),T0(初始溫度),E00(初始比內(nèi)能)都與密實材料相同,只有v00(初始比體積)不同.由密實材料的粉末燒結(jié)成多孔材料,物質(zhì)晶粒的微觀構(gòu)造并沒有發(fā)生變化,只是晶界之間形成了孔隙.孔隙增加了晶粒的表面積,但增加的表面能極少,與比內(nèi)能相比可以忽略.多孔材料的初始比內(nèi)能等于密實材料的初始比內(nèi)能,E00=E0.

多孔材料的初始比體積v00沒有固定值,可以做成各種不同v00的多孔材料.多孔材料的孔隙度m=v00/v0.現(xiàn)有實驗資料中,許多m<2的多孔材料的沖擊壓縮實驗數(shù)據(jù),都在v

等熵壓縮的比內(nèi)能與溫度無關(guān),Es(v)=下標(biāo)s表示熵.設(shè)多孔材料的等熵壓強函數(shù)為psm(v),比內(nèi)能函數(shù)為Esm(v),下標(biāo)m表示孔隙度.在v00—v0區(qū)間,psm(v)=0,又E00=E0,故

由此可見,多孔材料在孔隙閉合后的等熵壓強線與密實材料的等熵壓強線完全相同.于是多孔材料的等熵壓強函數(shù)可分成兩段表述:

2.2 多孔材料的等效德拜溫度函數(shù)

德拜溫度函數(shù)只與物質(zhì)晶格的比體積有關(guān).由密實材料形成多孔材料,物質(zhì)內(nèi)部的晶格并沒變,但晶格外部形成了孔隙.孔隙塌陷雖不影響晶格的微觀結(jié)構(gòu),但晶格表面的溫度發(fā)生變化.物質(zhì)的熱力學(xué)溫度與晶格的德拜溫度函數(shù)緊密相關(guān),為了計算多孔材料孔隙塌陷的溫度變化,需要有一個與多孔材料比體積收縮等效的德拜溫度函數(shù).這個函數(shù)在孔隙閉合階段隨v而變化,孔隙閉合后與密實材料的德拜溫度函數(shù)相同.為此,可將密實材料的德拜溫度函數(shù)Θ(v)的起點v0延拓到v00,做出多孔材料的等效德拜溫度函數(shù).

在研究γv(v)通用函數(shù)[11]的工作中,已經(jīng)提出了密實金屬材料的德拜溫度函數(shù)可表示為

式中ρ0是材料的初始密度,Θ0是材料的初始德拜溫度,γ0是材料初始比體積為v0時的Grüneisen系數(shù).Θ0與γ0的量值由測量Θ(v)的實驗數(shù)據(jù)按(2)式擬合確定.不同的ρ0擬合出不同的Θ0與γ0.由此可見,若以密實材料Θ(v)的實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),在v0與v00之間補充若干實驗數(shù)據(jù),將(2)式的初始密度改為ρ00,再對實驗數(shù)據(jù)進行擬合,便可得到多孔材料的Θ00與γ00,從而做出多孔材料的等效德拜溫度函數(shù).

以下以Cu為例,給出求解ρ00=5.742 g/cm3Cu的等效德拜溫度函數(shù)的方法.

第一步,計算Cu密實材料Θ(v)的數(shù)據(jù)記入表1.

表1 密實Cu的德拜溫度數(shù)據(jù)Table 1.Debye temperature data of compact Cu.

第二步,設(shè)ρ00=5.742 g/cm3的多孔材料德拜溫度函數(shù)為

用(3)式擬合表1中的數(shù)據(jù),得出Θ00和γ00的初步數(shù)據(jù),記入表2第2列.

表2 多孔材料Cu(ρ00=5.742 g/cm3)德拜溫度函數(shù)擬合數(shù)據(jù)Table 2.Debye temperature function fitting data of porous coppor(ρ00=5.742 g/cm3).

第三步,在v0至v00之間內(nèi)插5個比體積v的取值點(如表2第3列),將第二列的Θ00和γ00代入(3)式,計算5個內(nèi)插點Θ(v)的補充數(shù)據(jù),記入表2第4列.

第四步,將表2第4列的5個Θ(v)補充數(shù)據(jù)加表1中的Θ(v)數(shù)據(jù),再用(3)式擬合,得出表2第4列的Θ00和γ00.

第五步,用第4列的Θ00和γ00代入(3)式,計算出表2中第5列的5個Θ(v)補充數(shù)據(jù),再加表1中的Θ(v)數(shù)據(jù),擬合得出第5列中的Θ00和γ00.如此反復(fù),直至擬合的的Θ00和γ00不變?yōu)橹?

依此方法,做出文獻[13]發(fā)表的5種多孔Cu材料的等效德拜溫度函數(shù)分別為:

圖1是上述5種多孔Cu材料的Θ(v)函數(shù)線.曲線最前部分是密實Cu的德拜溫度線,之后為不同初始密度多孔材料Θ(v)線的延伸段.各Θ(v)延伸段的向前部分是相互重合的.

圖1 不同密度Cu的德拜溫度函數(shù)Fig.1.Debye temperature of copper with different porosity.

3 低孔隙度材料的溫度和壓強計算

3.1 低孔隙度材料的等熵溫度函數(shù)

參照文獻[11]求解等熵溫度函數(shù)的方法,以ρ00=5.742 g/cm3多孔Cu為例,做法如下.

計算中取用Cu的物性參數(shù)及公式:Cu的氣體常數(shù)

電子比熱系數(shù)β(v)=4.7274×10?8v2/3kJ/(g·K2),電子γ系數(shù)γe=2/3,晶格等容比熱Cv(v,T)=3RD(v,T)+β(v)T,晶格熱力學(xué)γ函數(shù):

多孔Cu的密度ρ00=5.742 g/cm3.多孔Cu的等效德拜溫度函數(shù)Θ(v)和Grüneisen系數(shù)γv(v)如下:

設(shè)ρ00=5.742 g/cm3多孔Cu的等熵溫度函數(shù)為

式中的γs0=γ(v00,T0)是已知的.另一方面等熵溫度的熱力學(xué)方程為

(6)式右端γ(v,T)中的溫度變量T即(5)式等熵溫度函數(shù)Ts(v).(5)式與(6)式在v00點的1,2,3階導(dǎo)數(shù)相等,即可解出m,n的値.經(jīng)過計算得到:

3.2 低孔隙度材料沖擊溫度和壓強計算

設(shè)E00=0,在v00至v0的孔隙區(qū),根據(jù)(1)式,多孔材料的pms(v)=0,Ems(v)=0.

此方程中γ(v,T)0,v00?v?0,兩端相等只有pH(v)=0.故只需做v6v0區(qū)域的計算.

根據(jù)(1)式,在v6v0區(qū)域,多孔材料的等熵壓強用密實材料的等熵壓強函數(shù).取用文獻[13]密實Cu的Hügoniot數(shù)據(jù),換算得到密實Cu的等熵壓強函數(shù)為

(8)式經(jīng)文獻[14]100 GPa之內(nèi)的等熵實驗數(shù)據(jù)驗證完全相符,且可用于更寬的壓力區(qū).

設(shè)E0=E00=0,建立ρ00=5.742 g/cm3多孔Cu在v6v0區(qū)域的Hügoniot方程組如下:

由于EH(v,T)=EH(v),pH(v,T)=pH(v),代入(9)式整理后可得到

(10)式中ps(v)和Ts(v)是已知函數(shù),v是自變量,可解出T.將解出的T與v代入方程組(9)的第一式,即可算出pH(v,T).從而聯(lián)立方程組(9)同時計算出多孔Cu材料在Hügoniot狀態(tài)下的壓強和溫度.

3.3 與其他方法的比較

文獻[12]評述中認為Viljoen方法是目前計算多孔材料Hügoniot壓強最好的方法.Viljoen方法以密實材料的Hügoniot壓強函數(shù)ph(v)和0 K壓強函數(shù)pc(v)做計算的參考方程,用W-J方程求解多孔材料的Hügoniot壓強pH(v).W-J系數(shù)定義為其中H(p,v)是物質(zhì)的比熱焓,H(p,v)=E(p,v)+pv.

由于R只是p的函數(shù),沿等壓路徑R的取值相同.若p(vc)為冷壓線,p(vh)為密實材料Hügoniot壓強線,p(vH)為多孔材料Hügoniot壓強線,則

Viljoen用如下密實Cu的ph(v)和pc(v)函數(shù)代入方程(11),算出了多孔Cu的p-vH數(shù)據(jù).

本文方法計算結(jié)果與Viljoen方法計算結(jié)果的比較見圖2—圖6.

從圖中兩種方法的計算結(jié)果比較,可以看出幾點差異:

圖2 ρ00=7.9 Cu沖擊壓縮p-v線Fig.2.Shock compression p-v curve of porous copper(ρ00=7.9).

圖3 ρ00=7.315 Cu沖擊壓縮p-v線Fig.3.Shock compression p-v curve of porous copper(ρ00=7.315).

圖4 ρ00=6.326 Cu沖擊壓縮p-v線Fig.4.Shock compression p-v curve of porous copper(ρ00=6.326).

1)對同一孔隙度,本文方法在實驗壓力區(qū)一致符合,Viljoen方法在低壓區(qū)符合較差;

2)對不同孔隙度,本文方法適應(yīng)性較好,Viljoen方法對孔隙度越大越不適應(yīng);

3)本文方法用含溫度的物性參數(shù)計算,p-v線斜率按物理規(guī)律平滑過渡,Viljoen方法用不含溫度的簡化物性參數(shù)計算,出現(xiàn)p-v線斜率扭曲甚至反轉(zhuǎn)的不合理現(xiàn)象;

圖5 ρ00=5.742 Cu沖擊壓縮p-v線Fig.5.Shock compression p-v curve of porous copper ρ00=5.742).

圖6 ρ00=4.508 Cu沖擊壓縮p-v線Fig.6.Shock compression p-v curve of porous copper(ρ00=4.508).

4)本文方法先計算溫度,根據(jù)溫度高低可以判斷被壓縮物質(zhì)是否進入熔化區(qū).孔隙度越大溫度變化越大,孔隙度越大的實驗數(shù)據(jù)分散性越大.大孔隙度包括初始點全區(qū)域的橫坐標(biāo)太緊密,容易掩蓋數(shù)據(jù)的分散性,如圖6(a).而在6(b)中,橫坐標(biāo)只取到有關(guān)的幾個數(shù)據(jù)區(qū),數(shù)據(jù)的分散性就非常明顯.按固態(tài)計算的點線(pHS)全部高出實驗數(shù)據(jù).查看ρ00=4.508 g/cm3的溫度計算數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)孔隙閉合時溫度已高于熔化溫度;于是改按液態(tài)方程計算,得到如圖6(b)中的實線,便與實驗數(shù)據(jù)的趨勢一致.而6(b)中的虛線是按Viljoen方法計算的,不僅全部高于實驗數(shù)據(jù),而且出現(xiàn)由膨脹向壓縮反轉(zhuǎn)的異?，F(xiàn)象.明知不合理也無法改變.

圖7 多孔Cu沖擊壓縮T-p線Fig.7.Shock compression T-p curve of porous copper.

5)本文方法由聯(lián)立方程組(9)解出沖擊溫度,再用解出的溫度計算沖擊壓強,經(jīng)實驗數(shù)據(jù)檢驗,計算的壓強與沖擊壓縮實驗數(shù)據(jù)相符,則證明圖7中的沖擊溫度線是可信的.

4 結(jié) 論

利用延拓德拜溫度線的方法,補充多孔材料的物性參數(shù),可以做出多孔材料在全壓縮區(qū)的等熵溫度函數(shù).再利用密實材料的等熵壓強函數(shù),就可建立多孔材料在密實材料壓縮區(qū)的p(v,T)方程組.這種p(v,T)方程組不僅可以計算Hügoniot物態(tài)量,而且還可以計算o ffHügoniot態(tài)的物態(tài)量和各種物性參數(shù),是一種簡便易行的好方法.

本文以Cu為例,發(fā)現(xiàn)孔隙度m=1.98的多孔材料孔隙閉合時的溫度已超過熔化溫度,需要按液態(tài)方程計算才可能與與實驗數(shù)據(jù)趨勢相符.因此,延拓德拜溫度函數(shù)的方法只能適用到孔隙度m=2左右.當(dāng)孔隙度m>2以后,由于密度太稀,延拓德拜溫度線就沒有意義了.

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PACS:64.30.Ef,05.70.Ce DOI:10.7498/aps.66.056401

Temperature and pressure calculation of porous materials?

Chen Jun-Xiang?Yu Ji-Dong Geng Hua-Yun He Hong-Liang

(National Key Laboratory of Shock Wave and Detonation Physics,Institute of Fluid Physics,China Academy of Engineering
Physics,Mianyang 621999,China)

11 October 2016;revised manuscript

6 December 2016)

Porous material contains a large number of pores,and once the pore space collapses,it changes into a dense material with the great increase of temperature because of the energy deposition by porosity collapsing.In the process of shock compression,the temperature is extremely increased,which influences the thermodynamic state of porous material significantly.Therefore,the calculation of temperature is important for the shock compression of porous material,yet it has not been solved well in the literature.In this paper,based on the study of Grüneisen general functionγv(v),the Debye temperature function of solid material is extended to the region of porous material,and the equivalent Debye temperature functionΘ(v)of porous material is formulated,from which the isentropic temperature functionTs(v)of porous material is obtained.Furthermore,a computation model is established,in which the isentropic work of porous is assumed to be equal to that of compact material under the same pressure at 0 K.With this model,the isentropic pressure functionps(v)of the porous material is acquired.Hence,the reference equation for calculating temperature and pressure of porous material,i.e.,Ts(v)andps(v),is completed.To demonstrate this method,thep-vandT-vcurves of the Hügoniot state of porous copperare computed,and the values of porosity arem1.13,1.22,1.41,1.56 and 1.98,respectively.The calculated results are in good agreement with the experimental data.A comparison with other calculation is also made,indicating a better reliability of the present method.

porous material,porosity,Debye temperature,isentropic equation

PACS:64.30.Ef,05.70.Ce

10.7498/aps.66.056401

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11302202)和中國工程物理研究院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金(批準(zhǔn)號:201402084)資助的課題.

?通信作者.E-mail:cjx621@163.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11302202)and the Foundation of President of China Academy of Engineering Physics(Grant No.201402084).

?Corresponding author.E-mail:cjx621@163.com