誘導(dǎo)Banach代數(shù)及其表示

黃利忠，石巖嶺

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009；2.山西大同大學(xué)網(wǎng)絡(luò)信息中心，山西大同037009）

誘導(dǎo)Banach代數(shù)及其表示

黃利忠1，石巖嶺2

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009；2.山西大同大學(xué)網(wǎng)絡(luò)信息中心，山西大同037009）

基于Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng),提出了誘導(dǎo)Banach代數(shù)的定義,證明了Banach代數(shù)的不可約有界表示蘊(yùn)含著誘導(dǎo)Banach代數(shù)的不可約有界表示,最后探討了連續(xù)函數(shù)空間稠密子代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。

G-空間;誘導(dǎo)Banach代數(shù);表示

在量子物理中,C*-動(dòng)力系統(tǒng)經(jīng)常被用來描述時(shí)間演化和可見的空間轉(zhuǎn)化。因而交叉積理論在量子物理學(xué)及其它學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。D.P.Williams的專著“Crossed Products ofC*-Algebras”[1]對(duì)C*-代數(shù)交叉積近年來的發(fā)展做了詳細(xì)且系統(tǒng)的描述,提出了一些新的問題,極大地推動(dòng)著交叉積理論的發(fā)展。在文獻(xiàn)[2],S.Dirksen探討了Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)的非退化的連續(xù)共變表示與相應(yīng)的Banach代數(shù)交叉積的非退化有界表示之間的關(guān)系，隨后又證明了交叉積代數(shù)與廣義Burling代數(shù)是拓?fù)渫瑯?gòu)的[3]。基于理論和應(yīng)用的重要性,一大批數(shù)學(xué)學(xué)者投身于交叉積的研究,得到了豐富而深刻的結(jié)果[3-6]。

設(shè)A是Banach代數(shù),我們用Aut(A)表示A上等距自同構(gòu)映射構(gòu)成的全體。稱三元序組(A,G,α)是一個(gè)Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng),其中A是一個(gè)Banach代數(shù),G是局部緊的Hausdorff群,α：G→Aut(A)是G在 A上的強(qiáng)連續(xù)表示。 在C*-代數(shù)的情形下,由于每個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)都可在A的本原理想空間Prim A上產(chǎn)生一個(gè)G-作用,故考慮給定集合上的G-作用及相關(guān)問題是有意義的。本文在Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)和G-空間的基礎(chǔ)上,給出誘導(dǎo)Banach代數(shù)的概念,對(duì)其結(jié)構(gòu)做了初步探討,證明了若Banach代數(shù)A上的表示是有界不可約的,則誘導(dǎo)Banach代數(shù)(A,G,α)上的表示也是有界不可約的,最后我們研究了映到(A,G,α)的稠密子代數(shù)Ccc(Y,Indcα)的結(jié)構(gòu)特征。

1 誘導(dǎo)Banach代數(shù)

設(shè)X是一個(gè)(左)G-空間,x∈X,一般我們稱集合 G·x：={s·x∈X,s∈G 且 x∈X}是過 x點(diǎn)的軌道。在 x點(diǎn)處的穩(wěn)定群是指 Gx：={s∈G：s·x=x}。對(duì)任意的x∈X,若Gx={e},則稱G-作用是自由的。軌道的集合記為X G,自然映射 p：X→X G稱為軌道映射,若軌道空間賦予商拓?fù)?則稱X G為軌道空間。軌道空間X G中元素的等價(jià)關(guān)系定義為：對(duì)任意的 x,y∈X,x≠y,x～y當(dāng)且僅當(dāng)G·x=G·y。一般,軌道映射 p是連續(xù)的開映射.稱局部緊的G-空間P 是真的,若映射 (s,x)?(s·x,x)是一個(gè)從 G×P 到P×P的一個(gè)真映射。任何緊群的作用都是真作用。一般地,如果P是一個(gè)真的局部緊的G-空間,則P G是一個(gè)局部緊的Hausdorff空間。

定義1設(shè)(A,G,α)是Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng),P是一個(gè)左G-空間。令

由于α是G在A上的連續(xù)同態(tài),映射x?||f(x)||在G-軌道上是常數(shù),這樣G·x?||f(x)||是有意義的。從定義上易知(A,G,α)是一個(gè)Banach代數(shù),同時(shí)若A是對(duì)合的,則(A,G,α)也是對(duì)合的。當(dāng)P是右G-空間時(shí),我們可定義

定理1設(shè)G是自由真作用于局部緊空間P的右邊的局部緊群,(A,G,α)是Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)。若對(duì)任意的 f∈Cc(P),a∈A,f·a(x)= ∫Gf(x·s)αs(a)/u(s),則 f·a是誘導(dǎo)Banach代數(shù)(A,G,α)中定義良好的元。

證明由于G在P上的作用是真的,對(duì)任意給定的 x, 集合{s：x·s∈sup p(f)}(其中 supp(f)表示 f的支集)是緊的。顯然 f(x·s)αs(a)屬于Cc(G,A),因此f·a 定義良好。下證對(duì)任意的

若{xi}i∈D(D為指標(biāo)集)是P中收斂于x的網(wǎng),則存在x的一個(gè)緊鄰域K,存在N∈D,當(dāng)i＞N時(shí),xi∈K 。令表示空集),則L是緊集。由 f的一致連續(xù)性,對(duì)任意的ε＞0,存在x的一個(gè)緊鄰域K0,當(dāng)y∈K0時(shí),有|f(y)-f(x)|＜ε。

此 時(shí)若 s∈L,一 定 有 |f(y·s)-f(x·s)|＜ε 。 而xi∈K0,所以

從而 f·a在 P上是連續(xù)的。 要證 x·G→||f(x)||∈C0(P G),只需說明

而||f·a(·G)||一定在無窮遠(yuǎn)處趨于零,這是顯然的。所以 f·a是(A,G,α)中定義良好的元。

推論1設(shè)(A,G,α)是Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng),其中G是自由真作用于局部緊空間P左邊的局部緊群,則對(duì)任意的 f∈Cc(P),a∈A,

定理2設(shè)(A,G,α)是Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng),其中G是自由真作用于局部緊空間P左邊的局部緊群,π0是 A在Banach空間X上的不可約有界表示。若π(A,G,α)→B(X)定義為：

證明對(duì)任意的 f,g∈(A,G,α),λ,η∈K,

所以π是有界的。

于是,

2 子代數(shù)Indcα

定理3設(shè)(A,G,α)是Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng),Y是局部緊空間,P是局部緊的G-空間。令Ccc(Y,Indcα)是C(Y×P,A)中滿足下列條件的函數(shù)族{f}：

(II)存在緊集C?Y,T?P G,使得若 (y,G·x)≠ C×T,則 f(y,x)=0 。則映射 y?f(y,·)屬于Cc(Y,Indα);若將 Ccc(Y,Indcα)視為 Cc(Y,Indα)的子代數(shù),則 Ccc(Y,Indcα)在 Cc(Y,Indα)中按歸納極限拓?fù)湟饬x下是稠密的。

證明首先 f(y,·)∈Indα 。若映射 y?f(y,·)不連續(xù),則存在 ε＞0,對(duì)Y中收斂于 y的網(wǎng){yi},||f(yi,·)-f(y,·)||≥ε。注 意 到 f(y,·)∈Indα , 故 存 在{xi}?P,使得 ||f(yi,xi)-f(y,xi)||≥ε 。又因?yàn)?f∈Ccc(Y,Indcα),故{G·xi}?T ，于是有收斂的子網(wǎng)。 所以對(duì)P中的元素x,存在si∈G,使得xisi→x。進(jìn)而

若將Ccc(Y,Indcα)視為 Cc(Y,Indα)的子代數(shù),為證Ccc(Y,Indcα) 在 Cc(Y,Indα) 中 的 稠 密 性, 可 設(shè)z∈Cc(Y), f∈Indcα。由于 Cc(Y)?Indcα 在 Cc(Y,Indα)中按歸納極限拓?fù)涫浅砻艿?且Indcα在Indα中稠密的,故 z?f∈Cc(Y,Indα)。定義

則 (z?f)(y,s·x)：=z(y)f(s·x),且支集 supp(z?f)包含在某個(gè)緊集中,這表明z?f∈Ccc(Y,Indα)。

推論2設(shè)(A,G,α)是Banach代數(shù)動(dòng)力系統(tǒng),Y是局部緊空間,P是自由的真的局部緊的G-空間。若F∈Cc(Y×P,A),則

定義了Ccc(Y,Indcα)中的元素φ。

[1]WILLIAMS D P.Crossed products ofC*-algebras[M].Mathematical Surveys and Monographs：American Mathematical Society,Providence,RI,2007.

[2]DIRKSEN S,JEU M D,WORTEL M.Crossed products of Banach algebras，I[J].arXiv：1104,5151(2011).

[3]DE M JEU,MESSERSCHMIDT M,WORTEL M.Crossed products of Banach algebras，II[J].arXiv：1305,2304(2013).

[4]HUANG L,LU F.Reduced crossed products associated with Banach algebra dynamical systems[J].Integr.Equat.Oper.Th,2016,84(4),451-462.

[5]BEDOS E,KALISZEWSKI S,QUIGG J,etal.A new look at crossed product correspondences and associatedC*-algebras[J].J Math Anal Appl,2015,426(2)：1080-1098.

[6]GIORDANO T,SIERAKOWSKI A.Purely infinite partial crossed products[J].J Funct Anal,2014,266(9)：5733-5764.

[7]RAEBURN I,WILLIAMS D P.Morita equivalence and continuous-traceC*-algebras[M].American Mathematical Society,Providence,RI,1998.

Induced Banach Algebra and Its Representations

HUANG Li-zhong1,SHI Yan-ling2
(1.School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009;2.Network Information Center,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Based on Banach algebra dynamical system,the notion of induced Banach algebra is given.We show that if the representation of given Banach algebra is irreducible bounded,then the representation of the associated induced Banach algebra is also irreducible bounded.We study the structure of a dense subalgebra of continuous function space.

G-spaces;induced Banach algebras;representations

O177.5

A

1674-0874(2017)02-0001-03

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

2016-12-16

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目[11301312];山西大同大學(xué)博士科研項(xiàng)目[2015-B-09]

黃利忠(1980-),男,山西代縣人,博士,講師，研究方向：算子理論與代數(shù)。