非球形效應(yīng)對(duì)強(qiáng)聲場中次Bjerknes力的影響?

馬艷1)2) 林書玉1)? 徐潔1) 唐一璠1)

1)(陜西師范大學(xué)陜西省超聲學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710062)2)(寧夏師范學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院,納米結(jié)構(gòu)及功能材料工程技術(shù)研究中心,固原 756000)(2016年7月5日收到;2016年10月10日收到修改稿)

非球形效應(yīng)對(duì)強(qiáng)聲場中次Bjerknes力的影響?

馬艷1)2) 林書玉1)? 徐潔1) 唐一璠1)

1)(陜西師范大學(xué)陜西省超聲學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710062)2)(寧夏師范學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院,納米結(jié)構(gòu)及功能材料工程技術(shù)研究中心,固原 756000)(2016年7月5日收到;2016年10月10日收到修改稿)

考慮了非球形氣泡在聲場中的形狀振動(dòng),推導(dǎo)了非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力方程,數(shù)值模擬了聲場中非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力和兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力,并對(duì)非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力的影響因素進(jìn)行了分析討論.研究結(jié)果表明:當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓振幅大于非球形氣泡的Black閾值且又能使得非球形氣泡穩(wěn)定振動(dòng)時(shí),在第一個(gè)聲驅(qū)動(dòng)周期內(nèi),非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力和兩個(gè)球形氣泡的次Bjerknes力方向差異較大,在大小上是兩個(gè)球形氣泡次Bjerkens力的數(shù)倍,且有著更長的作用距離.非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力取決于非球形氣泡的形狀模態(tài)、兩個(gè)氣泡初始半徑的比值、驅(qū)動(dòng)聲壓振幅、氣泡間距和兩個(gè)氣泡的相對(duì)位置.

非球形氣泡,次Bjerknes力,形狀模態(tài)

1引 言

聲場中氣泡之間的相互作用是一個(gè)著名的聲學(xué)現(xiàn)象,會(huì)對(duì)高壓強(qiáng)場中氣泡的聚合產(chǎn)生重要影響,例如流光的形成和多泡聲致發(fā)光(MBSL)等[1?5],在含氣泡液體中,氣泡受到聲場的作用力主要涉及Bjerknes力.Bjerknes力的典型類型有兩種:一種是單個(gè)氣泡在聲場中聲壓波腹處受到的吸引力或排斥力,稱為主Bjerknes力,是聲場中氣泡所受到的主要聲場力;第二種是由于驅(qū)動(dòng)聲場對(duì)氣泡作用引起氣泡振動(dòng),而使得相鄰氣泡之間產(chǎn)生的相互吸引或排斥力,稱為次Bjerknes力或氣泡之間的相互作用力.自從Bjerknes力被發(fā)現(xiàn)之后,許多作者已經(jīng)對(duì)其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和理論研究[6?14].Arston等用視頻記錄了超聲駐波引起的氣泡的聚集,Crum[10]給出了兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力的簡單模型,提出了兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力的方向僅取決于兩個(gè)球形氣泡是否在相位內(nèi)振動(dòng),如果驅(qū)動(dòng)頻率位于兩個(gè)氣泡的共振頻率之間,兩個(gè)氣泡互相排斥,反之則吸引的經(jīng)典理論.在一段時(shí)間內(nèi)經(jīng)典次Bjerknes力理論曾是人們解釋氣泡之間相互作用的主要理論,但近年來發(fā)現(xiàn),氣泡之間的作用力是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.Yoshida和Takaak[11]用高速攝影機(jī)連接長焦距的顯微鏡觀測了兩個(gè)氣泡在次Bjerknes力作用下的運(yùn)動(dòng),特別是次Bjerknes力方向的反轉(zhuǎn),并與Crum經(jīng)典次Bjerknes力理論做了比較,發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象并不能用經(jīng)典的次Bjerknes力理論解釋.

隨后,多位學(xué)者對(duì)經(jīng)典次Bjerknes力理論做了修正,使得氣泡之間的次Bjerknes力更接近液體中氣泡的真實(shí)情況.例如:Zabolotskaya[12]和Ida[13]通過線性模型和兩個(gè)球形氣泡的耦合振動(dòng)理論證明次Bjerknes力的方向取決于氣泡之間的距離.盡管如此,實(shí)際聲場中,氣泡的振動(dòng)和氣泡之間的作用力是非常復(fù)雜的聲學(xué)現(xiàn)象,有很多影響因素,而上述理論中都采用的是線性理論和球形氣泡模型.隨后Mettin等[14]利用考慮了液體可壓縮性的非線性Keller-Miksis模型方程研究了強(qiáng)聲場中球?qū)ΨQ小振蕩空化泡(R＜10μm)間的作用力,結(jié)果表明聲場強(qiáng)度和方向都會(huì)引起次Bjerknes力的變化,他們的研究結(jié)果在一定程度上解釋了一些經(jīng)典次Bjerknes力理論所不能解釋的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,是次Bjerknes力研究中的一項(xiàng)重要成果.但是Mettin等的研究仍然建立在球形氣泡的基礎(chǔ)上,而聲致發(fā)光實(shí)驗(yàn)表明:氣泡在振蕩時(shí),已經(jīng)不再是標(biāo)準(zhǔn)的球形[15?20],而當(dāng)兩個(gè)氣泡之間的距離較近時(shí),氣泡已經(jīng)不能完全近似為球形氣泡,非球形效應(yīng)對(duì)次Bjerknes力的影響將變得重要[14].強(qiáng)聲場中(Pdr＞1.0×105Pa),較近氣泡間距時(shí)氣泡的形變對(duì)氣泡之間的次Bjerkens力產(chǎn)生什么樣的影響,以及次Bjerkens力如何影響氣泡的振動(dòng)和運(yùn)動(dòng),是文本研究的重點(diǎn)內(nèi)容.由于兩個(gè)非球形氣泡之間的次Bjerknes力非常復(fù)雜,兩個(gè)非球形氣泡的形狀模態(tài)的耦合與否均會(huì)對(duì)次Bjerknes力產(chǎn)生影響,因此本文只研究了一種特殊情況:一個(gè)氣泡為非球形氣泡,另一個(gè)氣泡近似為球形氣泡,以此來修正球形氣泡之間的次Bjerknes力理論,并研究強(qiáng)聲場中(Pdr＞1.0×105Pa)較近氣泡間距下,非球形效應(yīng)對(duì)次Bjerknes力的影響以及試圖用研究結(jié)果來解釋強(qiáng)聲場中泡群的聚合現(xiàn)象例如“streamer formation”和MBSL等現(xiàn)象.

2非球形氣泡和球形氣泡的次Bjerknes力

對(duì)于聲場中兩個(gè)球形氣泡,由于氣泡在聲場中做周期性振動(dòng),而使得相鄰氣泡之間產(chǎn)生相互作用力,兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力可表示為如下形式[14]:

(1)式中FB為兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力,為液體密度;d為兩個(gè)氣泡之間的距離;為兩個(gè)球形氣泡的體積對(duì)時(shí)間的一階微分;〈〉表示在一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期內(nèi)取平均值,令cB=則兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力的方向取決于〈cB〉的正負(fù),其中〈cB〉大于0為吸引力,〈cB〉小于0為排斥力.

當(dāng)聲場中有兩個(gè)氣泡,假設(shè)氣泡1為非球形氣泡,氣泡2近似認(rèn)為是球形氣泡(見圖1),非球形氣泡壁距氣泡中心的距離可表示為[20]

其中R1(t)是非球形氣泡1無擾動(dòng)時(shí)的半徑,Yn(cosθ)為n階Legendre函數(shù),an為非球形氣泡1的n階形狀模態(tài)振幅,且認(rèn)為非球形氣泡為單模態(tài),不存在不同形狀模態(tài)的耦合.根據(jù)Eller類似的推導(dǎo),非球形氣泡1對(duì)球形氣泡2的作用力為

(3)式中V2(t)為氣泡2的體積,?P1為非球形氣泡1的聲壓梯度,根據(jù)液體運(yùn)動(dòng)方程:

u1(t)為由氣泡1振動(dòng)而引起的液體的振動(dòng)速度,可表示為

其中φ1為由于非球形氣泡1振動(dòng)而在液體中某一位置處產(chǎn)生的速度勢,可表示為[20]

聯(lián)立(5)和(6)式并對(duì)時(shí)間微分可得

將(4)和(7)式代入(3)式,然后在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)其取平均可得非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力為非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerkne力的方向取決于〈cBNS〉的正負(fù),其中,〈cBNS〉大于0為吸引力,〈cBNS〉小于0為排斥力.當(dāng)氣泡2為球形氣泡時(shí),an=0,˙an=0,¨an=0.(8)式經(jīng)微分變形,便回到兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerkne力公式,即(1)式.

圖1 聲場中的非球形氣泡和球形氣泡Fig.1.A nonspherical bubble and a spherical bubble in an acoustic fi eld.

當(dāng)氣泡1和2在聲場中振動(dòng)時(shí),氣泡振動(dòng)方程為考慮了氣泡之間相互作用的Keller-Miksis方程[9]:

(9a)和(10a)式中R2為氣泡2的半徑,點(diǎn)代表對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù);c為液體中的聲速.其中:

(9b)和(10b)中的Pb1和Pb2分別表示氣泡1和2的內(nèi)部壓強(qiáng),ν為液體的黏滯系數(shù),σ為表面張力系數(shù),非球形氣泡1的n階形狀模態(tài)振幅an可表示為[21]

其中:

式中δ為氣泡1壁周圍黏滯引起的渦流層厚度,可表示為

3非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力的影響因素

當(dāng)氣泡的初始形狀為非球形,在聲場的作用下,有兩種運(yùn)動(dòng)趨勢:要么隨時(shí)間的變化趨于球形,要么隨時(shí)間變化越來越偏離球形,最終破裂[16?20].對(duì)于第二種情況下的次Bjerknes力不屬于本文討論的范圍,在這里我們只討論第一種情況下的次Bjerknes力及其影響因素,即第一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)非球形氣泡的時(shí)均次Bjerknes力及其影響因素.經(jīng)過1個(gè)周期或者幾個(gè)周期后,非球形氣泡的形變隨時(shí)間而趨于零,非球形氣泡和球形氣泡之間的相互作用力將回到兩個(gè)球形氣泡之間的相互作用力.為了研究這種由非球形效應(yīng)引起的次Bjerknes力的變化,我們對(duì)球形氣泡和非球形氣泡的次Bjerknes力進(jìn)行數(shù)值模擬,并試圖從模擬結(jié)果來探討非球形效應(yīng)對(duì)次Bjerknes力的影響機(jī)理.

在以下的數(shù)值模擬中,模擬條件為:驅(qū)動(dòng)頻率f=20kHz,液體靜壓強(qiáng)P0=1.01×105Pa,表面張力系數(shù)σ=7.25×10?2N/m,水中的聲速為:c=1490m/s,驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為Pdr=1.34×105Pa.

圖2是兩個(gè)氣泡相對(duì)位置不同時(shí),非球形氣泡1(2μm)和球形氣泡2(4μm)在氣泡間距為200μm時(shí),兩個(gè)氣泡之間次Bjerknes力的變化關(guān)系曲線.數(shù)值模擬結(jié)果表明:對(duì)于非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力而言,其大小與兩個(gè)氣泡的相對(duì)位置有關(guān).在上述的模擬條件下,當(dāng)非球形氣泡的長軸和兩個(gè)氣泡中心連線的角度不同,兩個(gè)氣泡之間的次Bjerknes力也不相同,但是相差不大,不同位置處的最大次Bjeknes力為?0.08041μN(yùn),最小次Bjerknes力為?0.07993μN(yùn),均為吸引力.同樣條件下兩個(gè)球形氣泡間的次Bjerknes力為?0.0296μN(yùn),也是吸引力.因此,在上述模擬條件下,氣泡的非球形效應(yīng)使得氣泡之間的次Bjerknes力較球形氣泡間的次Bjerknes力的大小增加了2.7003—2.7166倍.以下的討論中,我們只討論非球形氣泡長軸平行兩個(gè)氣泡中心連線的情況.

圖2 非球形氣泡和球形氣泡之間次Bjerknes力隨兩個(gè)氣泡相對(duì)位置變化關(guān)系曲線(R10=2μm,R20=4μm,d=200μm)Fig.2.The secondary Bjerknes force between a nonspherical bubble and a spherical bubble vs relative position of two bubbles(R10=2 μm,R20=4 μm and d=200μm).

3.1 非球形氣泡形狀模態(tài)對(duì)次Bjerknes力的影響

圖3 氣泡的徑向振動(dòng)和氣泡1的2,3階形狀模態(tài)振幅隨時(shí)間的變化(a)氣泡1,2的徑向振動(dòng)隨時(shí)間的變化;(b)氣泡1的2階形狀模態(tài)隨時(shí)間的變化;(c)氣泡1的3階形狀模態(tài)隨時(shí)間的變化Fig.3.Radial oscillations of two bubbles and the amplitudes of di ff erent shape modes of the fi rst bubblevs time during onedrivingperiod:(a)The radial oscillations of two bubbles;(b)the amplitude of the second-order shape mode of the fi rst bubble;(c)the amplitude of the third-order shape mode of the fi rst bubble.

當(dāng)非球形氣泡的初始半徑為2μm,球形氣泡的初始半徑為4μm,氣泡間距為100μm時(shí)非球形氣泡的2和3階形狀模態(tài)振幅如圖3(b)和圖3(c)所示,可以看出,在驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為1.34×105Pa,驅(qū)動(dòng)頻率為20kHz的驅(qū)動(dòng)聲場下,非球形氣泡的2和3階形狀模態(tài)振幅只在第一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)隨時(shí)間變化,當(dāng)非球形氣泡的振動(dòng)時(shí)間超過一個(gè)周期后,其2和3階形狀模態(tài)振幅趨于零,其振動(dòng)恢復(fù)到球形氣泡的振動(dòng)狀態(tài).

圖4(a)是上述驅(qū)動(dòng)聲場下,相距100μm的兩個(gè)球形氣泡在一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期內(nèi)的cB隨時(shí)間的變化關(guān)系,圖4(b)是同樣驅(qū)動(dòng)條件下相距100μm的非球形氣泡和球形氣泡一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期內(nèi)的cBNS隨時(shí)間的變化關(guān)系(n=2),cB和cBNS反映了兩個(gè)氣泡之間的次Bjerknes力的方向和大小在一個(gè)周期內(nèi)隨時(shí)間的變化關(guān)系.對(duì)比圖4(a)和圖4(b)可以看出:在一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期內(nèi),兩個(gè)球形氣泡之間的相互作用力隨時(shí)間的變化關(guān)系與同樣條件下非球形氣泡和球形氣泡之間相互作用力隨時(shí)間的變化關(guān)系差別較大.通過計(jì)算可以得到:兩個(gè)球形氣泡之間的〈cB〉=?9.1498×10?20m6/s2,為排斥力;而非球形氣泡對(duì)球形氣泡的〈cBNS〉=1.2940×10?19m6/s2,為吸引力.也就是說在上述的驅(qū)動(dòng)條件和氣泡間距下,非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力的大小是同樣條件兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力的1.414倍,且方向發(fā)生改變.

圖4 兩個(gè)氣泡之間cB隨時(shí)間的變化 (a)球形氣泡之間cB隨時(shí)間的變化;(b)非球形氣泡和球形氣泡之間的cBNS隨時(shí)間的變化(n=2);(c)非球形氣泡和球形氣泡之間的cBNS隨時(shí)間的變化(n=3)Fig.4.The curve of cBbetween two bubbles vs time during one driving period:(a)cBbetween two spherical bubbles;(b)cBNSbetween a nonspherical bubble and a spherical bubble(n=2);(c)cBNSbetween a nonspherical bubble and a spherical bubble(n=3).

同樣的驅(qū)動(dòng)聲場下,當(dāng)非球形氣泡的形狀模態(tài)階數(shù)為n=3時(shí),數(shù)值模擬結(jié)果表明(圖4(c)):非球形氣泡和球形氣泡的〈cBNS〉=3.2678×10?19m6/s2,為吸引力.非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力的大小是同樣驅(qū)動(dòng)聲場中兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力的3.571倍,且方向發(fā)生改變.

綜上所述:氣泡的非球形效應(yīng)會(huì)對(duì)氣泡的次Bjerknes力產(chǎn)生較大影響,能夠在一定的條件下使得球形氣泡間的次Bjerknes力改變方向,并且增大數(shù)倍.具體原因可能是:非球形氣泡在聲場中振動(dòng),除了徑向振動(dòng)外還有形狀振動(dòng),對(duì)于我們的研究情況而言,雖然形狀振動(dòng)時(shí)間非常短,往往在一個(gè)或者幾個(gè)周期內(nèi)迅速衰減為零,但這種徑向振動(dòng)和形狀振動(dòng)的耦合及形變結(jié)束時(shí)形變能量轉(zhuǎn)移為振動(dòng)能量的結(jié)果使得一個(gè)周期內(nèi)非球形氣泡的輻射聲場迅速增加,使之不同于球形氣泡徑向振動(dòng)所形成的輻射聲場,這種變化使得非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力迅速增大,在一定條件下氣泡的非球形效應(yīng)也可能使得氣泡之間的次Bjerknes力方向發(fā)生改變.而且在上述研究條件下非球形氣泡形狀模態(tài)階數(shù)越大,其形狀振動(dòng)與徑向振動(dòng)耦合產(chǎn)生的輻射聲壓梯度越大,對(duì)周圍氣泡產(chǎn)生更強(qiáng)的作用力.

由此可以看出,當(dāng)聲場中的驅(qū)動(dòng)聲壓振幅大于氣泡的Black空化閾值,非球形氣泡長軸與氣泡間距平行時(shí),在較近的氣泡間距下,非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力和同樣初始尺寸的兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力的差異較大,與Mettin理論中預(yù)測的強(qiáng)聲場中(＞1×105Pa)兩個(gè)球形氣泡之間次Bjerknes力的變化有一定差異,而這些差異也可能是強(qiáng)聲場中形成的“stream formation”和MBSL的原因.

3.2 氣泡間距對(duì)球形氣泡和非球形氣泡的次Bjerknes力的影響

兩個(gè)氣泡之間的距離是影響氣泡次Bjerknes力的重要因素,兩個(gè)球形氣泡的次Bjerknes力會(huì)隨著氣泡間距的增大而逐漸減小,當(dāng)兩個(gè)氣泡之間的距離大于一定值時(shí),兩個(gè)球形氣泡就會(huì)成為兩個(gè)無耦合的自由氣泡,此時(shí)兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力可忽略不計(jì).為了研究非球形效應(yīng)對(duì)氣泡之間的次Bjerknes力的影響因素,我們研究了不同氣泡間距下非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力,并與同樣條件下的兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力做了對(duì)比.在以下的討論中,我們只考慮非球形氣泡做2階形狀模態(tài)振動(dòng)的情形.

圖5是不同氣泡間距下的兩個(gè)氣泡的次Bjerknes力的對(duì)數(shù)隨氣泡1的初始半徑變化曲線,圖5(a)—(d)中黑色虛線代表非球形氣泡和球形氣泡的次Bjerknes力對(duì)數(shù)的變化,紅色實(shí)線代表了同樣條件下的兩個(gè)球形氣泡的次Bjerknes力對(duì)數(shù)的變化,對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)非球形氣泡的初始半徑保持不變(R20=2μm),球形氣泡2的初始半徑從0.5μm變化到10μm的過程中,當(dāng)兩個(gè)氣泡的初始半徑為一定比例時(shí),非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力是同樣條件下兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力的幾倍到十幾倍.而除此之外,非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力近似等于同樣條件下的兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力.當(dāng)兩個(gè)氣泡之間的距離增大到500μm和1000μm時(shí),通過數(shù)值模擬可以看出,兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力非常小,趨于0,而同樣尺寸的非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力也隨著氣泡間距的增加出現(xiàn)了衰減,但相較同樣條件下的兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力,仍然保持一個(gè)較大的數(shù)量級(jí),如圖5(c)—(d).這說明:非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力有更大的作用距離,能夠使得相鄰的氣泡在較遠(yuǎn)的距離處仍然受到相當(dāng)大小的次Bjerknes力作用,該結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致.

數(shù)值模擬結(jié)果表明:非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力,隨氣泡間距的變化關(guān)系不同于同樣尺寸下兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力隨氣泡間距的變化關(guān)系,這是由于非球形氣泡的形狀振動(dòng),使得不同的氣泡間距下,不同初始半徑的球形氣泡和非球形氣泡對(duì)的耦合模式完全不同,雖然會(huì)出現(xiàn)次Bjerkens力隨氣泡間距減小的整體趨勢,但仍然會(huì)出現(xiàn)一些特殊比例的氣泡對(duì)的次Bjerknes力在小氣泡間距下較小或者在大氣泡間距下較大(圖5(a)—(d)).除此之外,數(shù)值模擬結(jié)果表明非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力的作用距離更長,當(dāng)氣泡距離大于1000μm以上才逐漸衰減為0.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)不同氣泡間距下兩個(gè)氣泡之間的次Bjerknes力的對(duì)數(shù)隨氣泡2初始半徑的變化曲線(Pdr=1.34×105Pa,R10=2μm) (a)d=100μm;(b)d=200μm;(c)d=500μm;(d)d=1000μmFig.5.(color online)The curve of the logarithm of the secondary Bjerknes force between two bubbles vs the radius of the second bubble(Pdr=1.34×105Pa,R10=2μm):(a)d=100μm;(b)d=200μm;(c)d=500μm;(d)d=1000μm.

3.3 驅(qū)動(dòng)聲壓振幅對(duì)球形氣泡和非球形氣泡之間的次Bjerknes力的影響

圖6是不同驅(qū)動(dòng)聲壓振幅下的非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力的對(duì)比圖,其中圖6(a)是兩個(gè)氣泡之間距離為200μm時(shí),兩個(gè)球形氣泡的次Bjerknes力隨驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)振幅的變化關(guān)系.圖6(b)是兩個(gè)氣泡之間距離為200μm時(shí),非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力隨驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)的變化關(guān)系,對(duì)比數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力和非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力的大小都隨著驅(qū)動(dòng)聲壓振幅的增加而增加.當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為1.30×105Pa和1.32×105Pa時(shí),兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力和同樣氣泡間距、同樣初始尺寸的非球形和球形氣泡之間的次Bjerknes力的大小相差不多.當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓振幅增大到1.34×105Pa時(shí),數(shù)值模擬結(jié)果表明,非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力是同樣條件下兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力的幾倍甚至十幾倍以上.

綜上所述：當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓振幅使得非球形氣泡能夠穩(wěn)定振動(dòng)而不破裂時(shí),驅(qū)動(dòng)聲壓振幅越大,非球形效應(yīng)對(duì)次Bjerknes力的影響越大,特別是當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓振幅超過兩個(gè)氣泡的Black閾值后,使得非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力的大小迅速增大,遠(yuǎn)大于兩個(gè)球形氣泡之間的Bjerknes力.非球形效應(yīng)隨聲壓振幅增加的原因是,驅(qū)動(dòng)聲壓越強(qiáng),非球形氣泡的徑向振動(dòng)幅度和形狀振動(dòng)幅度也越大,特別是當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓振幅增加到非球形氣泡的空化閾值之上,其在一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期內(nèi)徑向振動(dòng)和形狀振動(dòng)耦合形成的平均輻射聲場梯度將大幅度增加,此時(shí),非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力也迅速增大.因此,驅(qū)動(dòng)聲壓振幅越大,非球形效應(yīng)對(duì)次Bjerknes力的影響越顯著.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)不同驅(qū)動(dòng)聲壓振幅下兩個(gè)氣泡之間的次Bjerknes力隨氣泡2初始半徑的變化(R10=2μm,d=200μm)(a)兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力;(b)非球形氣泡和球形氣泡的次Bjerknes力Fig.6.(color online)The curve of the secondary Bjerknes force between two bubblesvsthe radius of the second bubble(R10=2 μm,d=200 μm):(a)The secondary Bjerknes force between two spherical bubblest;(b)the secondary Bjerknes force between anonspherical bubble and a pherical bubble.

4結(jié) 論

本文在Crum和Mettin等關(guān)于球形氣泡的次Bjerknes力的研究基礎(chǔ)上,考慮了聲場中非球形氣泡的形狀振動(dòng)對(duì)次Bjerknes力的影響,推導(dǎo)了非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力方程,數(shù)值模擬了非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力并與兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力進(jìn)行了對(duì)比.

研究發(fā)現(xiàn):當(dāng)聲場驅(qū)動(dòng)聲壓大于非球形氣泡的Black閾值時(shí)且使得非球形氣泡能夠穩(wěn)定振動(dòng)時(shí),非球形氣泡和球形氣泡之間的次Bjerknes力在大小和方向上都不同于兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力,作用力在數(shù)量級(jí)上大于同樣條件下的兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力;非球形效應(yīng)對(duì)次Bjerknes力的影響取決于非球形氣泡的形狀模態(tài)、兩個(gè)氣泡初始半徑的比值、驅(qū)動(dòng)聲壓振幅、氣泡間距和兩個(gè)氣泡的相對(duì)位置.

在以往的研究中,線性條件下兩個(gè)球形氣泡之間的次Bjerknes力非常小,人們往往忽略其影響,對(duì)于氣泡聚合等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不能給出合理的解釋.我們的研究發(fā)現(xiàn),在非線性條件下,單個(gè)氣泡的非球形效應(yīng)使得次Bjerknes力較Mettin非線性理論中球形氣泡間的次Bjerknes力在方向和數(shù)量級(jí)上有一定的差異,能夠使一定尺寸的氣泡對(duì)的次Bjerknes力增加幾倍到十幾倍.研究結(jié)果雖然只反映了第一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期次Bjerknes力的變化,但由于在第一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)非球形效應(yīng)的影響,已經(jīng)使得氣泡的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生了較大變化,進(jìn)而影響了氣泡隨后的運(yùn)動(dòng).非球形效應(yīng)使得兩個(gè)氣泡之間具有相當(dāng)大小的作用力,使得氣泡聚合或者分離現(xiàn)象能夠發(fā)生,產(chǎn)生一些穩(wěn)定的氣泡結(jié)構(gòu),也能夠改變快速運(yùn)動(dòng)的小氣泡的運(yùn)動(dòng)趨勢,這可能也是“stream formation”的主要原因;對(duì)于強(qiáng)聲場中的氣泡群,較大的次Bjerknes力能夠使氣泡的空化效應(yīng)更容易發(fā)生,這可能也是實(shí)驗(yàn)中多泡聲致發(fā)光更易發(fā)生的一個(gè)重要原因.兩個(gè)氣泡都發(fā)生形變及氣泡形變耦合對(duì)次Bjerknes力的影響將是我們下一步的工作.

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PACS:43.25.+y,43.35.+d,47.55.ddDOI:10.7498/aps.66.014302

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11374200,11674206).

?Corresponding author.E-mail:sylin@snnu.edu.cn

In fl unece of nonspherical e ff ects on the secondary Bjerknes force in a strong acoustic fi eld?

Ma Yan1)2)Lin Shu-Yu1)?Xu Jie1)Tang Yi-Fan1)

1)(Shaanxi Key Laboratory of Ultrasonics,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China)2)(College of Physics and Electronic Information Engineering,Engineering Research Center of Nanostructure and Functional Materials,Ningxia Normal University,Guyuan 756000,China)(Received 5 July 2016;revised manuscript received 10 October 2016)

The secondary Bjerknes force between bubbles in an acoustic fi eld is a well-known acoustic phenomenon.The theoretical researches of the secondary Bjerknes force mainly focus on the case of two spherical bubbles.The secondary Bjerknes force between two spherical bubbles,calculated based on the linear equations,is very small and negligible.Therefore these theoretical researches donot give a good explanation for the phenomenon,such as“streamer formation”and multi-bubble sonoluminescence(MBSL).Experiments of sonoluminescence show that the shapes of the bubbles in a sound fi eld are not entirely spherical.Nonspherical e ff ects have an important in fl uence on the secondary Bjerknes force when two bubbles come close to each other in a strong acoustic fi eld(＞ 1.0× 105Pa).How the shape distortion of a nonspherical bubble causes the secondary Bjerknes force between two bubbles to change,and how the secondary Bjerknes force a ff ects the oscillations and movements of bubbles are major problems which we are to solve in the present research.The expression of the secondary Bjerknes force between a nonspherical bubble and a spherical bubble is obtained by considering the shape oscillation of a nonspherical bubble.We numerical simulate the secondary Bjerknes force between a nonspherical bubble and a spherical bubble based on the nonlinear oscillation equations of two bubbles,and compare the secondary Bjerknes force between a nonspherical bubble and a spherical bubble with the secondary Bjerknes force between two spherical bubbles in the same condition.We discuss the in fl uence of nonspherical e ff ects on the secondary Bjerknes force between two bubbles.The results show that when the amplitude of driving pressure is greater than the Blake threshold of a nonspherical bubble and makes the bubble oscillate stably,the secondary Bjerknes force between this nonspherical bubble and a spherical bubble is di ff erent from the secondary Bjerknes force between two spherical bubbles in direction and magnitude.The secondary Bjerknes force between a nonspherical bubble and a spherical bubble is much bigger than that between two spherical bubbles.The interactional distance of the secondary Bjerknes force between a nonspherical bubble and a spherical bubble is longer than that between two spherical bubbles.The secondary Bjerknes force between a spherical bubble and a nonspherical bubble depends on the radii of two bubbles,distance between two bubbles,shape mode of the nonspherical bubble and the amplitude of driving pressure.Our research is closer to the actual bubbles in liquid.We also prove that big mutual interaction between bubbles is the main cause for froming a stable structure between bubbles.For bubbles,big mutual interaction causing the cavitation becomes easier.These results are important for explaining the phenomenon in an acoustic fi eld,such as“streamer formation”and MBSL.

nonspherical bubbles,secondary Bjerknes force,shape mode

10.7498/aps.66.014302

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11374200,11674206)資助的課題.

?通信作者.E-mail:sylin@snnu.edu.cn