基于離散小波變換的梯度下降優(yōu)化算法的壓縮感知研究

陸澤茜+嚴(yán)春滿

摘 要 在壓縮感知的研究中，測量矩陣的優(yōu)化是其中很重要的一個領(lǐng)域?；诖颂岢鲆环N離散小波變換的梯度下降優(yōu)化算法，首先構(gòu)造Gram矩陣，定義相關(guān)系數(shù)以其表征采樣效率，引入小波分解對原信號進行預(yù)處理，在逐層分解中表現(xiàn)稀疏性。采用經(jīng)典分簇網(wǎng)絡(luò)模型作為研究基礎(chǔ)。在梯度所搜索的方向增加一個方向向量，達到優(yōu)化測量矩陣性能的目的。選擇高斯隨機矩陣，部分哈達瑪矩陣為測量矩陣，比較不同優(yōu)化算法，在實驗?zāi)M的結(jié)果中，本文方法都有一定的優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞 壓縮感知 測量矩陣 離散小波變換 互相干系數(shù)

中圖分類號：TN92 文獻標(biāo)識碼：A

1基于離散小波變換的梯度下降優(yōu)化算法

針對無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中傳統(tǒng)測量矩陣方法無法滿足數(shù)據(jù)采集需求的問題。本文提出一種基于離散小波變換基的梯度下降混合算法，對原始測量矩陣進行優(yōu)化。

1.1建立測量矩陣的優(yōu)化體系

針對測量矩陣與稀疏矩陣的非相關(guān)性，建立測量矩陣的優(yōu)化模型，矩陣的非相關(guān)性可等價為各列歸一化互相關(guān)系數(shù)的最大值。假設(shè)€%O為測量矩陣，€%q為稀疏矩陣，相關(guān)系數(shù)為衡量€%O和€%q之間的相關(guān)性，系數(shù)越小不相關(guān)性越強。令D=€%O€%q，表示對D所有列向量進行列歸一化處理之后的矩陣，則相關(guān)系數(shù)€%e可定義為中任意兩個向量間內(nèi)積的最大值，即表達式（1）所示：

1.2信號的三層小波分解模型

為了解決優(yōu)化模型描述的問題，引入小波分解對原始信號進行預(yù)處理。離散小波變換基是稀疏表示中常用的正交基，是一種數(shù)學(xué)分層分解工具，對信號降噪有其明顯的效果。文獻指出測量矩陣要采樣的系數(shù)主要集中在系數(shù)序列的低頻部分，因此在對信號進行了小波分解之后，在相同采樣條件下，測量矩陣的測量系數(shù)可以保持較重要的信息量，從而提高了信號的重建效果。

式中g(shù)（n）=（-1）nh1-n（n∈Z）。由于采集信號的多樣性，小波基和分解層數(shù)的選擇是影響信號去噪能力和重構(gòu)成功率的關(guān)鍵因素，如果層數(shù)過多會丟失信息嚴(yán)重，而層數(shù)過少去噪效果下降，都會對信號重構(gòu)帶來反作用，因此本文暫采用3層離散小波變換的實驗環(huán)境，對采集信號進行分解處理。三層小波分解恰到好處，既能達到信號的降噪目的，又能保留足夠多的數(shù)據(jù)信息，使其信號的重構(gòu)成功率趨于穩(wěn)定。

2仿真實驗

本文為了驗證本文優(yōu)化方法的性能，實驗選取信號長度N為256稀疏度為K=10的諧波信號作為測試對象，分別選擇高斯隨機矩陣、部分哈達瑪矩陣為測量矩陣進行模擬采樣，優(yōu)化方法分別使用本文方法和基于特征值分解的測量矩陣優(yōu)化方法、基于梯度迭代實現(xiàn)對測量矩陣的優(yōu)化方法兩種方法進行對比分析。

2.1測量矩陣優(yōu)化前后的相關(guān)性比較

由于相關(guān)系數(shù)是衡量測量矩陣和稀疏變換矩陣相關(guān)性的關(guān)鍵特性，因此結(jié)合實驗一的數(shù)據(jù)分析結(jié)果，通過改變觀測數(shù)量M再次比較優(yōu)化前后測量矩陣與傅里葉基的相關(guān)性，如圖1所示。

通過實驗對比可知，在相同觀測值下，本文方法與特征值分解法和梯度迭代法兩種優(yōu)化方法對比，相關(guān)性均有所提高，其中通過本文方法優(yōu)化后相關(guān)性更小，并且隨著采集信號觀測次數(shù)的增加非相關(guān)性增強，說明新的優(yōu)化方法能夠滿足測量矩陣的優(yōu)化體系。

2.2小波分解對算法優(yōu)化性能的影響分析

在實際應(yīng)用環(huán)境中，影響信號的噪聲不可避免，而且是影響信號重構(gòu)誤差的最大因素，引入小波分解對原始性號進行處理，降低信號的維數(shù)的同時保留較為重要的信息量。所以，在實驗過程中對模擬信號增加正態(tài)分布、的噪聲驗證本文優(yōu)化算法的魯棒性，如圖2所示。

3結(jié)論

實驗結(jié)果顯示，在噪聲影響下兩種優(yōu)化方法的重構(gòu)成功率均有波動，在穩(wěn)定性方面，本文算法仍高于其他兩種方法，遠高于未優(yōu)化的測量矩陣效果，而且本文方法對高斯隨機測量優(yōu)化后對信噪有一定的抗性，信號重建誤差比較平穩(wěn)。這說明，信號通過離散小波變換后有明顯的降噪能力。通過此方法能夠降低原測量方法的數(shù)據(jù)空間復(fù)雜度，提高算法的收斂速度，增強測量矩陣與稀疏矩陣的非相關(guān)性。實驗對比分析，該方法收斂速度快，數(shù)據(jù)重構(gòu)成功率明顯高于傳統(tǒng)測量方法，降低了測量矩陣設(shè)計和實現(xiàn)難度，提高了降噪能力，適合在低采樣率網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中應(yīng)用。

參考文獻

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