數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用

李志端

【摘要】本文論述了數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練中數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)勢。利用圖形來輔助解答數(shù)學(xué)題目，可訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，鞏固數(shù)學(xué)知識和基本技能，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的全面提升。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 解題能力

數(shù)形結(jié)合

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06A-0070-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：數(shù)形結(jié)合是指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、提高解題能力大有裨益。很多數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)活動中都會有意識地引導(dǎo)學(xué)生利用圖形來幫助理解數(shù)學(xué)題目，借助數(shù)學(xué)知識來正確地詮釋圖形信息，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

一、利用數(shù)形結(jié)合法解題，化抽象為具體

對于大多數(shù)學(xué)生來說，相較于抽象、枯燥的文字?jǐn)⑹?，形象直觀的感性信息更容易形成感官上的刺激，吸引學(xué)生的注意力。盡管初中生具備了一定的抽象思維能力，但是在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對題目意思的理解，準(zhǔn)確地把數(shù)字與文字轉(zhuǎn)化為簡單直觀的圖形，可以使題目的已知條件、需要解答的問題一目了然，從而讓學(xué)生比較容易尋找到解決問題的突破口，形成比較清晰的解題思路，更加高效地解答數(shù)學(xué)問題。

例如，在學(xué)習(xí)人教版數(shù)學(xué)七年級上冊《絕對值》的知識后，教師出示了如下練習(xí)題：求[x+1]+[x-3]的最小值。這道題看似簡單，很多學(xué)生都急于動手解答，但是很快他們就發(fā)現(xiàn)無從下手。這時，教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察題目，學(xué)生發(fā)現(xiàn)要求出最小值，需要考慮到x取值的三種不同情況，同時引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)本上畫出數(shù)軸，并分別在數(shù)軸上表示出[x+1]和[x-3]的具體情況，即x到-1點(diǎn)的距離和x到3點(diǎn)的距離，進(jìn)而把需要求的問題在數(shù)軸上呈現(xiàn)出來，即“數(shù)軸上x到-1和x到3兩個點(diǎn)的距離之和”。通過在數(shù)軸上可以明顯看出，只有當(dāng)x在-1至3之間時，x到-1和3兩點(diǎn)間的距離才是最短的，最短距離為4，其他小于-1或者大于3，x到-1和3兩點(diǎn)間的距離之和都比4大。這樣教學(xué)，教師在指導(dǎo)學(xué)生畫出數(shù)軸圖、標(biāo)示出求解的問題后，實(shí)現(xiàn)了抽象算式與具體圖形之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生通過看圖，就能迅速地找到這道題的突破口，快速地給出答案，不但提高了解題的速度，還提高了計算的準(zhǔn)確率。

由上例可以看出，認(rèn)真閱讀數(shù)學(xué)題目，清楚理解題意，利用自己熟悉的圖形符號準(zhǔn)確地呈現(xiàn)題目，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的靈活轉(zhuǎn)換，把抽象的數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w形象的圖形，可以讓學(xué)生更加全面地了解已知和未知，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，提高數(shù)學(xué)解題的效率。

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題，化復(fù)雜為簡單

很多數(shù)學(xué)練習(xí)題都設(shè)計了一些小陷阱，給出了一些干擾條件，語言表述也比較冗長繁瑣，讓學(xué)生在解題時一不小心就陷入陷阱，導(dǎo)致錯誤連連，甚至?xí)寣W(xué)生覺得數(shù)學(xué)特別難學(xué)，打擊了一些學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭煩心理。而利用數(shù)形結(jié)合的方法，把題目呈現(xiàn)的信息通過簡潔的圖形展示出來，可以有效地剔除無用條件，排除干擾項，進(jìn)而獲得全面又有價值的信息，更加準(zhǔn)確地解答數(shù)學(xué)習(xí)題。

例如，在學(xué)習(xí)了“圖形面積”的內(nèi)容后，教師出示了如下練習(xí)題：在邊長為a的大正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a>b），然后把剩下的部分拼接成一個梯形，請分別計算出大正方形和小正方形以及剩下部分拼成的梯形的面積。由于這是一道幾何題，題意明顯與圖形有關(guān)，教師讓學(xué)生一邊仔細(xì)地閱讀題目，一邊在練習(xí)本上畫出圖形。學(xué)生很快在練習(xí)本上畫出了邊長為a的大正方形，以及在大正方形一角上剪去邊長為b的小正方形的圖形，發(fā)現(xiàn)剩余部分分別是兩個面積相等的梯形，把剩下的兩個梯形拼好后就是一個大的等腰梯形，梯形的上底是2個小正方形邊長，即2b，梯形的下底是2個大正方形的邊長，即2a，而梯形的高就是大正方形邊長a減去小正方形邊長b。通過這樣直觀的圖形解析，把原來復(fù)雜的題目變得清晰明了。學(xué)生很快就列出了關(guān)系式a2-b2=[12]（2a+2b）（a-b），經(jīng)過化簡得到a2-b2=（a+b）（a-b），從而驗證了“平方差公式”，并得到了問題的答案。

由上面的例子可以說明，在解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題時，通過合理、正確地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，能夠使紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單明了，幫助學(xué)生更加快速地獲取有用信息，形成正確的解題思路，找出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生解題的積極情感體驗，高效地完成題目解答。

三、借助數(shù)形結(jié)合法解題，化枯燥為生動

數(shù)學(xué)語言比較正式、規(guī)范，為了防止出現(xiàn)模棱兩可、歧義等問題，要求語言表達(dá)要精確、嚴(yán)謹(jǐn)。相對于語文、歷史等課程，數(shù)學(xué)學(xué)科顯得比較呆板無趣，難免會讓學(xué)生感覺到枯燥乏味，甚至?xí)幸恍W(xué)生理解比較困難，從而討厭解答數(shù)學(xué)題，甚至討厭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。因此，在學(xué)生解答數(shù)學(xué)題時，教師可以結(jié)合初中生比較容易接受的方式，利用學(xué)生熟悉的圖形符號來指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的數(shù)形轉(zhuǎn)換，把枯燥的文字表述轉(zhuǎn)變成一些生動有趣的圖形，帶給學(xué)生耳目一新的感覺，增強(qiáng)解題興趣。

例如，為了幫助學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際生活問題，教師出示了一道應(yīng)用題：有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高2米，兩棵樹之間的距離是5米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少要飛多少米？很多學(xué)生讀完題目后不知道該怎么解答，進(jìn)而慢慢喪失了解題的興趣。這時，教師在黑板上畫出一幅簡圖：有兩棵樹，比較高的一棵樹標(biāo)示6米，比較矮的一棵樹標(biāo)示2米，并且這兩棵樹之間的距離標(biāo)示5米，還畫了一只正在飛翔的小鳥從高樹的樹梢向矮樹的樹梢飛，在兩樹樹梢之間聯(lián)結(jié)起來打了一個大問號，表明需要求解的問題。學(xué)生一看圖就覺得很有趣，進(jìn)而引發(fā)了學(xué)生的解題興致。通過觀察這幅簡圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來無趣的數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊長度的問題，進(jìn)而快速地列出算式52+（6-2）2=25+16=AB2，最后求出AB兩點(diǎn)間的距離為[41]米。通過這種圖形轉(zhuǎn)化的教學(xué)方式，讓學(xué)生覺得用這樣的方法解題十分有效。

上例可以說明，教師通過對學(xué)生解題過程的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生通過對題意的理解，正確地運(yùn)用有趣的圖形呈現(xiàn)題目表述的信息，實(shí)現(xiàn)文字與圖形之間的靈活轉(zhuǎn)換，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生在解題過程中感受到無窮的樂趣，體驗到解答數(shù)學(xué)題目的快樂，改變解題的態(tài)度，在積極參與中提高解題能力。

總之，數(shù)形結(jié)合法利用數(shù)字與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在解答數(shù)學(xué)習(xí)題時更加快捷、高效、準(zhǔn)確。初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師要有意識地訓(xùn)練學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法解題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法的機(jī)會，教會學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)換的技巧，總結(jié)歸納數(shù)形結(jié)合法解題的步驟，積累解題經(jīng)驗，鍛煉解題能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定思想方法的基礎(chǔ)。

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（責(zé)編 林 劍）