基于算法認知分析的筆算教學(xué)探究

朱潔芬

摘 要：筆算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。該內(nèi)容屬于程序性知識。該內(nèi)容不能簡單地作為一種程序去教，而需要基于學(xué)的視角，對算法進行認知分析，把握算法的深層結(jié)構(gòu)、抽象歷程、技能提升等，促進筆算學(xué)習(xí)由簡單的程序性知識向高級的智慧技能轉(zhuǎn)化。

關(guān)鍵詞：認知分析；筆算教學(xué)；整數(shù)乘法筆算

作為數(shù)學(xué)教師，似乎總有一種自信，自己能做的一定能讓學(xué)生學(xué)會。這對于小學(xué)數(shù)學(xué)，特別是程序性較強的筆算似乎更是如此。然而，教學(xué)實踐表明，筆算教學(xué)遠沒有想象的那么容易，卓越的筆算教學(xué)并非依賴于算法程序的熟練把握，而是需要對學(xué)生如何理解和學(xué)習(xí)筆算進行精準的認知分析。下面試以蘇教版“整數(shù)乘法筆算”為例，談?wù)劰P算教學(xué)的相關(guān)探究。

一、聚焦結(jié)構(gòu)形成，深化算理理解

教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）”，教師一般先呈現(xiàn)問題情境“湖面上飛過3隊大雁，每隊12只，一共有多少只？”，引導(dǎo)學(xué)生列出乘法算式。接著讓學(xué)生先嘗試計算，稍后全班交流。結(jié)果有的學(xué)生想到轉(zhuǎn)化成同數(shù)連加：12+12+12=36；有的學(xué)生想到拆數(shù)：10×3=30，2×3=6，30+6=36；有的學(xué)生想到了豎式計算，如圖1和圖2。于是教師向?qū)W生隆重推介豎式計算，并借助小棒圖幫助學(xué)生理解圖1是錯誤的，應(yīng)該像圖2那樣算，否則就少算了2個10。問題似乎得到了解決。然而，課后訪談發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生對圖2仍心存疑惑：加減法只要“上下對著算”，乘法為什么還要“斜著算”？

上述疑惑，實際上是對第二個乘數(shù)要乘兩次感到不解，這樣的疑惑訴諸直觀圖似乎并沒有得到真正的消解。兒童數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)研究表明，從加減法過渡到乘法，認知結(jié)構(gòu)要進行深層的大調(diào)整。雖說乘法與加法緊密相連，但本質(zhì)上與加法有很大的不同。加法運算的深層結(jié)構(gòu)是 “一一對應(yīng)”，即一個數(shù)對應(yīng)一個物體，運算結(jié)果與數(shù)數(shù)一致；而乘法運算的深層結(jié)構(gòu)是“一”與“多”的對應(yīng)，運算結(jié)果與數(shù)數(shù)不一致，需要進一步運用推理獲得。因而，乘法學(xué)習(xí)的本質(zhì)不是簡單地與重復(fù)加建立聯(lián)系以謀求一個運算的結(jié)果，而是要引導(dǎo)兒童將“一一對應(yīng)”的圖式升格為“一”與“多”對應(yīng)的圖式，并能流暢地運作。這樣的運作不僅僅局限于初步認識，而要在后繼的口算、筆算學(xué)習(xí)中不斷強化拓展。

依此觀照上述教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)，12×3是“兩位數(shù)乘一位數(shù)”學(xué)習(xí)的開始，不能僅僅滿足于結(jié)果的獲得及驗證，而應(yīng)著眼于“一”與“多”對應(yīng)圖式的構(gòu)建及其拓展。如12×3，首先要聯(lián)系乘法的意義，理解這里“3”中的每個“1”都對應(yīng)著1個“12”。接著借助直觀圖和“12”的習(xí)慣分組，進一步將“1”與“12”的3次對應(yīng)分解為簡單的“1”與“2”的3次對應(yīng)和“1”與“10”的3次對應(yīng)。對應(yīng)結(jié)構(gòu)的升格與調(diào)整，能使學(xué)生對“斜著算”的表象獲得深刻的理解，并引發(fā)對口算與筆算內(nèi)在一致性的思考。

二、延緩抽象過程，促進算法建構(gòu)

教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，一般仍然從問題情境入手：幼兒園購進了12箱迷你南瓜，每箱24個，一共有多少個？在列出乘法算式后，借助盒狀包裝圖探究計算方法。學(xué)生能找出連乘和分乘等口算方法，進而在感悟到連乘的局限性后教學(xué)標準算法。在這樣的教學(xué)中，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生對新法則的使用常常知易行難，不少學(xué)生不注意部分積的對位問題。

筆算乘法從“兩位數(shù)乘一位數(shù)”到“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，認知結(jié)構(gòu)調(diào)整更大。如24×12，實際上包含了四組“一”與“多”的對應(yīng)：10個20、10個4、2個20、2個4。相應(yīng)地，也就存在一些相對原始的算法，如圖3和圖4。標準算法的誕生是人類基于求簡的需要，是基于算理的合邏輯的一種約定，是逐級抽象的結(jié)果，要讓學(xué)生在短時間內(nèi)迅速到達最高級別的抽象無疑是困難的。

根據(jù)上面的分析，教學(xué)實踐中筆者嘗試進一步將教材中的盒狀包裝打開，轉(zhuǎn)化成點狀排列（如圖5），引導(dǎo)學(xué)生將兩步分乘進一步分解為四步分乘，明確兩位數(shù)乘兩位數(shù)本質(zhì)上是四個部分積的和。接著依據(jù)位值原則，尋求乘法豎式與四個部分積的內(nèi)在聯(lián)系，然后相加（如圖6和圖7）。

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生再次聯(lián)系位值原則思考，豎式中因為有位置的幫助，圖6和圖7中的哪些0可以省略不寫？引導(dǎo)學(xué)生將圖6和圖7簡化為圖3和圖4，進而將四個部分積有機合并為兩個部分積。最后，通過后續(xù)的進位學(xué)習(xí)，完整構(gòu)建低位算起的法則。可見，根據(jù)小學(xué)生以具體形象思維為主導(dǎo)的特點，兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算規(guī)則的掌握不能急于求成，需要延緩抽象過程，基于深層結(jié)構(gòu)擴展，逐步抽象。

三、關(guān)注容量制約，提升智慧技能

“多位數(shù)乘法筆算”練習(xí)。通過判斷、改錯、爭當(dāng)“計算小能手”等形式，固化標準算法的計算程序，培養(yǎng)熟練的筆算技能。在這樣的教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)一些問題：一些連續(xù)進位的乘法在技能提升上存在瓶頸，最要命的是思維走向“僵化”——看到計算就用豎式；用到豎式，就選擇標準算法——一個個生龍活虎的孩子大都變成了筆算的奴隸。

心理學(xué)研究表明，算法程序上的簡化有時會引發(fā)記憶容量的增加，從而對一些低工作記憶廣度兒童的技能培養(yǎng)形成障礙。乘法筆算的標準算法就是其中的一種。從上面的分析可以看到，一些原始算法，雖然書寫相對多一些，但因為每次算得的結(jié)果及進位都直接記錄，記憶負擔(dān)并不重；而標準算法中，進位一般省略不寫，需要記住并添加，記憶容量的增加制約了部分學(xué)生技能提升的空間。

筆者曾有幸赴英國考察小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，并驚奇地發(fā)現(xiàn)，包括數(shù)學(xué)教師在內(nèi)的很多英國公民在計算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時并不用我們習(xí)慣的標準算法，而喜歡用一種“交叉相乘法”（如圖8）?；貒螅P者曾嘗試把這種方法推薦給學(xué)生，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生也特別喜歡用，而且錯誤率明顯降低，有的甚至能口算，很有成就感。仔細分析，原因有二：

第一，進位次數(shù)明顯減少，有效降低了認知負荷。

第二，筆算順序更為靈活，降低了錯誤偏差的幅度。該算法也可從高位算起。研究表明，豎式計算中越往左，數(shù)位上的數(shù)字越關(guān)鍵，高位算起讓高位乘積優(yōu)先確定，從而降低了最關(guān)鍵、最難的部分積出錯的概率和錯誤偏差的幅度。熟練掌握此法后，還能借助視覺加工直接寫出得數(shù)。

相信這樣的算法實踐一定會引發(fā)我們對學(xué)習(xí)“容量”的深入思考，那就是學(xué)習(xí)容量的合理確定。在題量控制的基礎(chǔ)上，我們還需要更為精細的認知負荷分析。此外，這樣的算法實踐還會引導(dǎo)我們突破對筆算程序的僵化思考：基于部分積的恒定不變，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算程序也應(yīng)該是豐富多彩的，如為了避免出現(xiàn)頻繁的進位問題，有人就創(chuàng)造了“踢十法”，如圖9和圖10。

顯然，筆算技能的形成不能僅僅停留于簡單的程序遵守，而要著眼于程序的豐富創(chuàng)新。在創(chuàng)新中深化對算法內(nèi)在結(jié)構(gòu)的理解，豐富算法外在程序的建構(gòu)，培養(yǎng)算法選擇和調(diào)控的意識，讓筆算由簡單的動作技能轉(zhuǎn)化為高級的智慧技能。

總之，筆算教學(xué)需要聯(lián)系兒童認知發(fā)展階段、學(xué)習(xí)水平與結(jié)果分類等宏觀認知學(xué)習(xí)理論，結(jié)合中觀層面數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)特殊領(lǐng)域認知結(jié)構(gòu)發(fā)展變化的研究成果，進行精細的認知分析，精準施教，創(chuàng)新施教，引發(fā)卓越的筆算學(xué)習(xí)。