滾動(dòng)軸承性能時(shí)間序列的模糊假設(shè)檢驗(yàn)

栗永非，楊彬彬

(新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453006)

滾動(dòng)軸承的性能指標(biāo)包括摩擦力矩、振動(dòng)和噪聲等，對(duì)軸承的運(yùn)行具有重要影響[1-6]，因此滾動(dòng)軸承性能時(shí)間序列的演化問(wèn)題成為了研究的熱點(diǎn)[7-8]。

目前，傳統(tǒng)的假設(shè)檢驗(yàn)是以已知大量采樣數(shù)據(jù)和概率分布為前提的，對(duì)于概率分布未知、趨勢(shì)未知和小樣本的情況，基于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的假設(shè)檢驗(yàn)可能是無(wú)效的。為此，以模糊系統(tǒng)的基本原理為依據(jù)，提出改進(jìn)的模糊關(guān)系，建立模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，提出系統(tǒng)屬性模糊假設(shè)檢驗(yàn)的準(zhǔn)則、否定域與模糊置信水平，采用Monte Carlo仿真和試驗(yàn)研究驗(yàn)證該模型的有效性。

1 模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

1.1 基本原理

滾動(dòng)軸承性能參數(shù)的時(shí)間序列為

X=(x(1),x(2),…,x(t),…,x(T));

T>5，X?R，

(1)

式中:T為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；R為模糊集。

為評(píng)估滾動(dòng)軸承質(zhì)量的歷史演變，從X中任意取Xi和Xj，可得

Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(k),…,xi(K));

Xi?Ui;i=1,2,…，

(2)

Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(k),…,xj(K));

Xj?Uj;j=1,2,…;k=1,2,…,K;2

(3)

式中：k為新數(shù)據(jù)序列的個(gè)數(shù)；Ui為Xi的屬性集；Uj為Xj的屬性集。

由于Xi和Xj是關(guān)于下標(biāo)i和j的時(shí)間序列，能夠從小到大形成連續(xù)的有序?qū)?X1,X2), (X2,X3), (X3,X4)，…，因此，可以通過(guò)識(shí)別這些有序?qū)Φ亩鄻有詫?shí)現(xiàn)對(duì)滾動(dòng)軸承質(zhì)量演變的有效評(píng)價(jià)。為便于敘述，i和j統(tǒng)一用h表示，則(2)式和(3)式表示為

Xh=(xh(1),xh(2),…,xh(k),…,xh(K));

k=1,2，…,K;Xh?Uh;h=i,j，

(4)

式中：Xh為K個(gè)小樣本；Uh為隨機(jī)的概率分布。在概率分布及趨勢(shì)規(guī)律未知的情況下，研究xi和xj是否具有相同的屬性。

1.2 改進(jìn)的模糊關(guān)系

在模糊集理論[9-10]中,通過(guò)隸屬函數(shù)研究模糊實(shí)體從真到假或從假到真的轉(zhuǎn)變規(guī)律。基于乏信息的模糊假設(shè)檢驗(yàn)，其否定域可以通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)折點(diǎn)確立。

設(shè)定參考序列為

X0=(x0(1),x0(2),…,x0(k),…,x0(K))，

(5)

x0(k)=xi(1)，

(6)

以序列Xi中xi(1) 作為參考點(diǎn)或演化的起點(diǎn)。

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，定義隸屬函數(shù)為

γ0h(k,ξ)=

0<γ0h(k,ξ)≤1，

(7)

式中：ξ為分辨系數(shù)，ξ∈[0,1]。

隸屬度為

(8)

隸屬差為

dij(ξ)=|γ0i(ξ)-γ0j(ξ)| ，

(9)

式中：dij(ξ)為關(guān)于ξ的函數(shù)且dij(ξ)∈[0,1]。由于很難區(qū)分時(shí)間序列屬性的量變和質(zhì)變，且量變和質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是不確定的，因此給定一個(gè)重要參數(shù)

(10)

式中：ξ*為最優(yōu)分辨系數(shù)；dij max為最優(yōu)隸屬度的絕對(duì)差。

當(dāng)dij=dij max時(shí)，時(shí)間序列Xi和Xj的差異最大，若仍然存在(Xi,Xj)?U(U為屬性集)，則拒絕I型錯(cuò)誤[9-10]。

為了深入研究Xi和Xj之間的屬性變化，根據(jù)模糊集合理論，模糊關(guān)系定義為

(11)

rij∈[0,1]，為等價(jià)系數(shù)(或Xi和Xj的隸屬度關(guān)系)，可由以下模型得到

(12)

式中：η為權(quán)重系數(shù)。

由(9)～(12)式可知i=j,rij=1。 這表明R具有自反性。此外，R具有對(duì)稱性和傳遞性，因此，R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。R是對(duì)模糊關(guān)系的改進(jìn)，被稱為改進(jìn)等價(jià)關(guān)系(空間)。

1.3 經(jīng)驗(yàn)置信水平

為解決模糊集理論的問(wèn)題，采用權(quán)重來(lái)定義經(jīng)驗(yàn)置信水平。

考慮到dij max∈[0,η]，由(12)式得

dij max=(1-rij)η，

(13)

使rij=λ，定義經(jīng)驗(yàn)置信水平為

PE=PE(η)=(1-λη)×100%。

(14)

若給定PE，則

(15)

1.4 模糊假設(shè)檢驗(yàn)準(zhǔn)則

若

rij≥λ,

(16)

則Xi和Xj屬性相同，即(Xi,Xj)?U；

若

rij<λ,

(17)

則Xi和Xj屬性不同，即(Xi,Xj)?U。

該準(zhǔn)則稱為基于乏信息的時(shí)間序列模糊假設(shè)檢驗(yàn)準(zhǔn)則。

關(guān)于集合U的特征函數(shù)為

(18)

式中：λ*為最優(yōu)水平。

在經(jīng)驗(yàn)置信水平PE下，若Xi和Xj關(guān)系密切，則用1表示；若不密切，則用0表示。

給定最優(yōu)水平

λ*=0.5 ，

(19)

在轉(zhuǎn)折點(diǎn)，rij=0.5,則由(13)式得dij max=0.5η，該點(diǎn)即dij max的臨界點(diǎn)。

由(10)～(19)式可知，經(jīng)驗(yàn)置信水平引入了分解定理。

1.5 否定域

定義原(零)假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1

H0： (Xi,Xj)?U，

(20)

H1： (Xi,Xj)?U，

(21)

則(18)式是模糊假設(shè)檢驗(yàn)的否定域。

設(shè)顯著水平α∈[0,1]，有

PE=(1-α)×100%，

(22)

最常用的顯著水平為0.05。

2 經(jīng)驗(yàn)置信水平的Monte Carlo仿真

使時(shí)間序列T=500，借助計(jì)算機(jī)仿真系統(tǒng)，生成符合正態(tài)分布的10個(gè)數(shù)據(jù)序列(其中數(shù)學(xué)期望E=0，標(biāo)準(zhǔn)偏差s=0.01)，即獲得Xi和Xj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m;m=10)。那么，可以計(jì)算出最大差值，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 正態(tài)分布的最大差值(T=500)

表1中，有55個(gè)數(shù)據(jù)(不包括主對(duì)角線的元素)，即N=55。通過(guò)0.01的間隔寬度，將這些數(shù)據(jù)分為8組，可以得到每組數(shù)據(jù)的數(shù)量wl(l=1,2,…,8),見(jiàn)表2。

表2 正態(tài)分布的相關(guān)結(jié)果(T=500)

設(shè)頻率為

(23)

定義經(jīng)驗(yàn)概率PT為

(24)

當(dāng)PT=95%時(shí)，這個(gè)調(diào)查的效率是非常明顯的。表2中，第6組數(shù)據(jù)的中位數(shù)δ6=δ=0.055 ，PT=96.4%>95%。由(12)，(14)式可得dij max=δ=0 .055，PE=94.5%，相應(yīng)地，通過(guò)(14)式可以得到η=0.11。結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 各種分布的數(shù)據(jù)和結(jié)果(T=500)

采用同樣的方法，進(jìn)行瑞利分布、三角分布和均勻分布的Monte Carlo仿真，結(jié)果見(jiàn)表3。對(duì)于這4種分布，當(dāng)PT=96.4%時(shí)，PE在93.5%～97.5%之間變動(dòng)，PE的平均值為95.4%，與PT值很接近，差值不超過(guò)1%。因此，基于Monte Carlo仿真法獲得的PE值一致，證明了(14)式的正確性。

另外，一般置信水平為PE=95%,相應(yīng)地η=0.1。

通過(guò)賦予水平λ新的意義，可應(yīng)用文中定義的經(jīng)驗(yàn)置信水平來(lái)解決置信水平的計(jì)算問(wèn)題，而采用模糊集合理論和統(tǒng)計(jì)理論都無(wú)法解決。

3 滾動(dòng)軸承性能時(shí)間序列的試驗(yàn)研究

研究涉及滾動(dòng)軸承的2個(gè)性能參數(shù)，即噪聲和摩擦力矩。為了驗(yàn)證提出模型的正確性，給定2個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(25)

(26)

式中：Xm為平均值；s為標(biāo)準(zhǔn)差。這2個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的變化可認(rèn)為是估計(jì)時(shí)間序列的演化，變化越大演化越嚴(yán)重,反之亦然。

3.1 滾動(dòng)軸承噪聲的演化評(píng)估

試驗(yàn)軸承為圓錐滾子軸承30204，試驗(yàn)轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，加載60 N的軸向載荷，隨機(jī)抽取100套軸承采用傳聲器4165測(cè)量軸承的噪聲時(shí)間序列，測(cè)得100個(gè)時(shí)間序列，如圖1所示。

圖1 圓錐滾子軸承的噪聲時(shí)間序列

描述1：從表面上看，對(duì)于噪聲時(shí)間序列X，當(dāng)1≤t≤10時(shí)，噪聲處于低且平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng)10

采用提出的模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)評(píng)估演化歷史，為了研究方便,將時(shí)間序列X分成子序列

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(10));1≤t≤10,

X2=(x2(1),x2(2),…,x2(10));11≤t≤20,

X3=(x3(1),x3(2),…,x2(40));21≤t≤60,

X4=(x4(1),x4(2),…,x4(40));61≤t≤100。

令α=0.05，則PE=95%，η=0.1。檢驗(yàn)結(jié)果如下：

檢驗(yàn)1)H0：(X1,X2)?U對(duì)H1：(X1,X2)?U。

考慮到X1和X2的關(guān)系，采用模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得如下結(jié)果：x0(k)=40 dB,ξ*=0.250 1,γ01(ξ*)=0.547 3,γ02(ξ*)=0.242 2,d12max=0.305 1,r12=r21=0。顯然，r12=0<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時(shí)間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化(當(dāng)1≤t≤20時(shí)，噪聲處于非平穩(wěn)過(guò)程)，與描述1一致。

檢驗(yàn)2)H0：(X2,X3)?U對(duì)H1：(X2,X3)?U。

考慮到X2和X3的關(guān)系，采用模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得如下結(jié)果：x0(k)=49 dB,ξ*=0.100 1,γ03(ξ*)=0.348 2,γ04(ξ*)=0.312 9,d34max=0.035 3,r34=r43=0.647。顯然，r43=0.647>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時(shí)間序列從X2到X3沒(méi)有發(fā)生重大變化(當(dāng)21≤t≤60時(shí)，噪聲處于平穩(wěn)過(guò)程，與描述1一致。

檢驗(yàn)3)H0：(X3,X4)?U對(duì)H1：(X3,X4)?U。

考慮到X3和X4的關(guān)系，采用模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得如下結(jié)果：x0(k)=49 dB,ξ*=0.100 1,γ03(ξ*)=0.348 2,γ04(ξ*)=0.312 9,d34max=0.035 3,r34=r43=0.647。顯然，r43=0.647>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時(shí)間序列從X3到X4沒(méi)有發(fā)生重大變化(當(dāng)60≤t≤100時(shí)，噪聲處于平穩(wěn)的過(guò)程)，與描述1一致。

從檢驗(yàn)1～3中可以看出，在95%的置信水平下，提出的推理模型是正確的，與事實(shí)相符，這也可以通過(guò)校驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)進(jìn)行證明。

根據(jù)(25)式和(26)式，子序列X1,X2,X3，X4的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別如圖2和圖3所示。

當(dāng)1≤t≤10(h=1)時(shí)，Xm=43 dB，s=2.684 dB；當(dāng)11≤t≤20(h=2)時(shí)，Xm=48.333 dB，s=

圖2 圓錐滾子軸承噪聲子序列Xh的均值

圖3 圓錐滾子軸承噪聲子序列Xh的標(biāo)準(zhǔn)差

1.699 dB。X1和X2的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均相差很大，這表明時(shí)間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化；當(dāng)21≤t≤60(h=3)時(shí),Xm=47.942 dB ，s=2.175 dB；X2和X3的均值和標(biāo)準(zhǔn)差相差不大，這表明時(shí)間序列從X2到X3沒(méi)有發(fā)生重大變化；當(dāng)61≤t≤100(h=4)時(shí),Xm=47.258 dB，s=2.25 dB,X3和X4的均值標(biāo)準(zhǔn)差相差很小，這表明時(shí)間序列從X3到X4沒(méi)有發(fā)生重大變化。

模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ捅蛔C明。

3.2 滾動(dòng)軸承摩擦力矩的演化評(píng)估

試驗(yàn)軸承為7000型角接觸球軸承。其動(dòng)態(tài)摩擦力矩試驗(yàn)裝置主要包括SS1798B直流穩(wěn)壓電源、反作用飛輪控制箱和真空試驗(yàn)裝置等。按設(shè)定秒為單位輸出電信號(hào)，并按設(shè)定的30 min為單位間隔均勻采集了T=200個(gè)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)獲得摩擦力矩的時(shí)間序列為X，如圖4所示。

圖4 滾動(dòng)軸承摩擦力矩時(shí)間序列

描述2：從表面上看，對(duì)于時(shí)間序列X，當(dāng)1≤t≤50時(shí)，摩擦力矩逐漸增大；當(dāng)51≤t≤100時(shí)，摩擦力矩逐漸減?。划?dāng)101≤t≤200時(shí)，摩擦力矩處于平穩(wěn)過(guò)程，因此，摩擦力矩時(shí)間序列X經(jīng)歷了復(fù)雜的時(shí)間演變，在演變過(guò)程中，可能導(dǎo)致軸承的初始磨損[2]。

采用提出的模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)評(píng)估上面的演化歷史，為了研究方便,將時(shí)間序列X分成子序列

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(50));1≤t≤50,

X2=(x2(1),x2(2),…,x2(50));51≤t≤100,

X3=(x3(1),x3(2),…,x3(50));101≤t≤150,

X4=(x4(1),x4(2),…,x4(50));151≤t≤200。

使α=0.05，則PE=95%，η=0.1。檢驗(yàn)結(jié)果如下：

檢驗(yàn)4)H0：(X1,X2)?U對(duì)H1：(X1,X2)?U。

考慮到X1和X2的關(guān)系，采用模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得如下結(jié)果：x0(k)=143 mA，ξ*=0.250 1，γ01(ξ*)=0.520 8，γ02(ξ*)=0.461 7，d12max=0.059 1，r12=r21=0.409。顯然，r12=0.409<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時(shí)間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化(當(dāng)1≤t≤50時(shí)，摩擦力矩處于非平穩(wěn)過(guò)程)，與描述2一致。

檢驗(yàn)5)H0：(X2,X3)?U對(duì)H1：(X2,X3)?U。

考慮到X2和X3的關(guān)系，采用模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得如下結(jié)果：x0(k)=142.9 mA,ξ*=0.000 1,γ02(ξ*)=0.080 5,γ03(ξ*)=0.000 6,d23max=0.079 9,r23=r32=0.201。顯然，r32=0.201<0.5滿足(18)式條件，則H0被拒絕，表明在PE=95%下，時(shí)間序列從X2到X3發(fā)生了重大變化(當(dāng)51≤t≤150時(shí)，摩擦力矩處于非平穩(wěn)的過(guò)程)，與描述2一致。

檢驗(yàn)6)H0：(X3,X4)?U對(duì)H1：(X3,X4)?U。

考慮到X3和X4的關(guān)系，采用模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得如下結(jié)果：x0(k)=143.2 mA,ξ*=0.200 1,γ03(ξ*)=0.416 8,γ04(ξ*)=0.411 1,d34max=0.005 7,r34=r43=0.942。顯然，r34=0.942>0.5不滿足(18)式條件，則H0被接受，表明在PE=95%下，時(shí)間序列從X3到X4沒(méi)有發(fā)生重大變化(當(dāng)101≤t≤200時(shí)，摩擦力矩處于平穩(wěn)的過(guò)程)，與描述2一致。

從檢驗(yàn)4～6可以看出，在95%的置信水平下，提出的推理模型是正確的，與事實(shí)相符，這也可以通過(guò)校驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)進(jìn)行證明。

根據(jù)(25)式和(26)式，子序列X1,X2,X3,X4的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別如圖5和圖6所示。

圖5 滾動(dòng)軸承摩擦力矩子序列Xh的均值

圖6 滾動(dòng)軸承摩擦力矩子序列Xh的標(biāo)準(zhǔn)差

當(dāng)1≤t≤50(h=1)時(shí)，Xm=142.992 mA，s=0.521 mA；當(dāng) (即h=2)時(shí)，Xm=142.898 mA，s=0.622 mA。X1和X2的均值相差很小，但標(biāo)準(zhǔn)差相差很大，這表明時(shí)間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化。

當(dāng)101≤t≤150(h=3)時(shí)，Xm=142.568 mA，s=0.523 mA。X2，X3的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均相差很大，這表明時(shí)間序列從X1到X2發(fā)生了重大變化。

當(dāng)151≤t≤200(h=4)時(shí)，Xm=142.536 mA，s=0.466 mA。X3，X4的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均相差很小，這表明時(shí)間序列從X3到X4沒(méi)有發(fā)生重大變化。

模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ捅蛔C明。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)在模糊假設(shè)檢驗(yàn)拒絕域中引入權(quán)重，確定了改進(jìn)的等價(jià)關(guān)系和經(jīng)驗(yàn)置信水平之間的關(guān)系，同時(shí)將經(jīng)驗(yàn)置信水平引入模糊集合理論的分解定理，為乏信息系統(tǒng)的模糊決策奠定了新的基礎(chǔ)。Monte Carlo仿真證明，在95%的經(jīng)驗(yàn)置信水平下，提出的模糊假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ湍軌驊?yīng)用于正態(tài)分布、瑞利分布、三角分布和均勻分布4種典型概率分布。滾動(dòng)軸承性能時(shí)間序列演化的試驗(yàn)研究表明，在乏信息條件下該模型能夠很好地評(píng)估模型的歷史演化平穩(wěn)和非平穩(wěn)的過(guò)程。