“雞兔同籠”豈能再被“籠”住呢

李永梅

摘 要 “雞兔同籠”問(wèn)題作為一節(jié)數(shù)學(xué)思維拓展課，既充分的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化，又具有充分的數(shù)學(xué)思維，是一節(jié)無(wú)數(shù)人研究過(guò)的課。大都從課題本身找到很好的視角進(jìn)行教學(xué)，但似乎都顯得視野狹窄。本文記錄的這位授課教師，從滲透數(shù)學(xué)文化的全新的視角，來(lái)詮釋“雞兔同籠”；充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，引導(dǎo)自學(xué)——展示——交流——質(zhì)疑——拓展，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生理性的數(shù)學(xué)分析能力，邏輯思維能力和綜合概括的能力。此課的重新構(gòu)建，既充分的凸顯了數(shù)學(xué)文化課的特點(diǎn)，又沖出了“雞兔同籠”內(nèi)容本身的教學(xué)藩籬，創(chuàng)造了很多培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的機(jī)會(huì)，更加的契合時(shí)代的發(fā)展和數(shù)學(xué)教學(xué)改革的現(xiàn)實(shí)。而我，試圖對(duì)此進(jìn)行拋磚引玉式的賞析。

關(guān)鍵詞 “雞兔同籠”問(wèn)題 賞析

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1課前設(shè)疑激趣，制造懸念

（1）師出示雞、木馬和板凳圖片。師生對(duì)話后，出示“木馬板凳三十三，百個(gè)腳兒地上站。要知數(shù)量各幾何，聰明腦袋轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)?！?/p>

（2）揭示課題。

師：大概在一千六百多年前，《孫子算經(jīng)》也記載了一個(gè)跟板凳木馬類似的問(wèn)題，這就是非常著名的“雞兔同籠”。（出示視頻，板書課題。）

賞析：看似與課堂無(wú)關(guān)的雞，因?yàn)槔蠋煿首魃衩刭u關(guān)子，又因?yàn)槠诖驼鎸?shí)，制造了幽默搞笑的效果，課堂氣氛輕松愉悅。帶著木馬板凳的問(wèn)題開始，對(duì)課充滿期待。

2交流課前學(xué)習(xí)成果，多維對(duì)話

小組交流——全班交流——教師補(bǔ)充呈現(xiàn)。

2.1小組交流

師：課前，老師給大家發(fā)了自主研究單，你們回去都是怎么學(xué)習(xí)雞兔同籠問(wèn)題的呢？

生：我是根據(jù)老師你發(fā)的教材自學(xué)的，不懂的地方還請(qǐng)教了媽媽。

生：我是在電腦上學(xué)習(xí)的，看了網(wǎng)易課程。

生：我是看了老師你發(fā)的微課，然后還讀了書。

師：真好，你們通過(guò)這么多途徑學(xué)習(xí)了“雞兔同籠問(wèn)題”，學(xué)習(xí)能力不錯(cuò)！現(xiàn)在請(qǐng)把你的學(xué)習(xí)成果，在小組長(zhǎng)的安排下按順序發(fā)言，在小組內(nèi)交流一下吧。

賞析：對(duì)課前學(xué)習(xí)方式的交流，是在引導(dǎo)學(xué)生，讓他們懂得學(xué)習(xí)的方式有很多種，面對(duì)陌生的任務(wù)時(shí)，可以請(qǐng)教，可以查閱資料，可以借助電腦遠(yuǎn)程學(xué)習(xí)，還可以看微課等等。這種引導(dǎo)在互聯(lián)網(wǎng)+的時(shí)代，是非常必要且及時(shí)的。將自己的學(xué)習(xí)成果，在四人小組內(nèi)交流分享，能滿足不同學(xué)習(xí)層次孩子的心理需要，通過(guò)分享交流，補(bǔ)充和修正自己的學(xué)習(xí)成果，鍛煉組織語(yǔ)言的能力。讓發(fā)展稍微滯后的學(xué)生首先發(fā)言，無(wú)疑取長(zhǎng)補(bǔ)短。

2.2全班交流

呈現(xiàn)學(xué)生的自主研究單，主要對(duì)列表法、替換法、畫圖法進(jìn)行交流。

生1：我用的是列表的方法。首先我假設(shè)是1只雞和7只兔，算出來(lái)腳一共有30只，不合題意。又假設(shè)有2只雞6只兔，一共有28只腳，也不對(duì)。就這樣試下去，最后3只雞5只兔，剛好合適。你們看明白了嗎？有什么疑問(wèn)沒(méi)有？

生：你怎么知道雞是3只的呢？

生1：我是一個(gè)一個(gè)試出來(lái)的。

生：如果你這個(gè)方法，雞有50只的話，不麻煩嗎？

生1：這個(gè)方法是在頭比較少的時(shí)候，只有8個(gè)頭，所以一個(gè)一個(gè)試。

生：好吧，我明白了。

生1：同學(xué)們還有沒(méi)有其它的問(wèn)題。

生：沒(méi)有。

師：這位同學(xué)用列表的方法，想想看，他是怎么找到答案的呢？

生：他是先假設(shè)雞和兔的只數(shù)，一個(gè)一個(gè)試，不對(duì)的就繼續(xù)試，找出來(lái)的。

師：你很善于總結(jié)，他是先假設(shè)，然后嘗試，在嘗試中排除不合適的，最后解決了問(wèn)題。這種方法非常好。

賞析：這是一段精彩的生生、師生對(duì)話。有生生之間對(duì)列表法的解釋、質(zhì)疑，在質(zhì)疑中學(xué)生的思維得到了碰撞，學(xué)生明白了列表法能夠解決問(wèn)題，但也有局限。更重要的是，教師對(duì)學(xué)生用列表法思維方式的引領(lǐng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)回頭看，進(jìn)行思維品質(zhì)的培養(yǎng)。

生3：我用的是替換的方法。首先假設(shè)全部是，那么腳只有16只。但是題目里面說(shuō)有26只腳，就少了10只腳。一只兔假設(shè)成雞，就少了2只腳，所以10除以2就是兔的只數(shù)。剩下的就是雞，是3只。我的解釋你們聽明白了嗎？

生：明白了，（沒(méi)有。） 有部分學(xué)生很迷惑。

生：我沒(méi)聽明白你說(shuō)一只兔假設(shè)成雞，什么的。

（生3支吾著，也不知道怎么解釋了。）

生4：老師，我想去幫她。

師：學(xué)習(xí)中互相幫助，解決問(wèn)題，是好習(xí)慣。

生4（跑上講臺(tái)）：大家看，我們可以把8個(gè)頭全部假設(shè)是雞，我用圓圈表示。然后呢，一個(gè)頭就只有2個(gè)腳（畫上腳），這樣就還剩下10只腳（他把剩下的10只腳畫在旁邊），這些剩下的腳，肯定是兔的，因?yàn)槲覀儼淹卯?dāng)成了雞來(lái)看。所以把剩下的腳添在雞的身上，變成了兔，就是5只，雞就是3只。你們聽明白了嗎？

生：哦，原來(lái)是這樣?。ɑ腥淮笪驙睿?/p>

賞析：當(dāng)用替換的方法解決問(wèn)題的孩子，遇到困難的時(shí)候，另外的孩子適時(shí)提出幫助，采取在黑板上邊畫圖邊講解的辦法，幫助同學(xué)理解，為什么10€？就是兔的只數(shù)。用畫圖的方式突破理解上的思維難點(diǎn)，也給其他孩子以啟發(fā)。這就是學(xué)生在充分研究性學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的高效有思維含金量的交流。更重要的是，同伴互助在學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)揮著巨大的作用。

生：我覺(jué)得你畫圖的方法還是很麻煩，如果數(shù)據(jù)大了，怎么辦呢？

生：是用假設(shè)的方法，畫圖幫助我們思考，如果方法掌握了，就可以把圖隱去。

師：同學(xué)們，如果我不畫圖，假設(shè)有1000只頭，寫上1000，你能不能透過(guò)數(shù)看到1000個(gè)頭呢？（能）接下來(lái)干什么呢？

生：寫1000€？。

師：透過(guò)這個(gè)算式，你能看到什么呢？看到腳了嗎？（看到了）那么當(dāng)頭的數(shù)量很大的時(shí)候，可不可以不畫圖了呢？（可以了）。

賞析：學(xué)生質(zhì)疑，當(dāng)感覺(jué)到問(wèn)題不能通過(guò)相互啟發(fā)得到解決的時(shí)候，教師及時(shí)地參與討論，幫助判斷、解釋、講解、引領(lǐng)。這里教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生想象，1000背后頭的只數(shù)，1000€？后腳的只數(shù)，巧妙的由簡(jiǎn)到繁，由抽象到直觀，讓學(xué)生離開具體的數(shù)，看到數(shù)背后隱含的思考方法，構(gòu)建了解決這個(gè)問(wèn)題的初步模型。

生：我還有一個(gè)問(wèn)題，就是你那涂掉的是什么東西？（他是指分別畫在3只雞下面的4只腳，被孩子涂掉了2只，還剩下2只。）

生：這個(gè)也是幫助我思考，畫錯(cuò)了的。

師：好的，謝謝你們，講得真好！剛才他們展示的三種方法里，無(wú)論是列表，替換，還是畫圖，都有一個(gè)共同的地方，都是先干什么呢？

生：都是先假設(shè)，然后再想辦法。

師：是的，都是在假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過(guò)畫圖或者替換，來(lái)得到解決問(wèn)題的辦法。我們剛才還隱去圖，通過(guò)想象還原頭和腳，發(fā)現(xiàn)了解決更大數(shù)的辦法也是相同的。真是了不起！

賞析：不僅僅停留在解決具體問(wèn)題的層面，而是第二次引導(dǎo)學(xué)生比較方法的異同，讓學(xué)生在比較中去發(fā)現(xiàn)，思考。將不同的方法聯(lián)通，學(xué)生的思維水平面會(huì)突然覺(jué)得開闊，也慢慢學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)去看問(wèn)題，滲透哲學(xué)的思維方式。數(shù)學(xué)文化課的育人功能在此處得到了初步的凸顯。稍微有些遺憾的是，當(dāng)學(xué)生問(wèn)，那些涂掉的是什么東西的時(shí)候，教師沒(méi)有抓住這個(gè)生成的契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生思考，其實(shí)跟假設(shè)全部是雞的思路相同，也可以假設(shè)全部是兔。如果抓住這個(gè)生成，會(huì)有更多精彩。

2.3教師播放視頻

介紹從古至今人們解決雞兔同籠問(wèn)題的其它方法。

3模型思想拓展延伸，深化提高

師：雞兔同籠問(wèn)題傳到日本，演變成了“龜鶴問(wèn)題”，你能從龜鶴問(wèn)題里面，找到雞和兔的影子嗎？

生：能找到，雞變成了鶴，都是兩只腳。兔變成了龜，都是四只腳。

師：腳的只數(shù)沒(méi)變，我們能找到雞和兔的影子。那么上課之前，我們提到的木馬問(wèn)題呢，你能找到雞和兔的影子嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)腳的只數(shù)變了，兩只腳的雞變成了三只腳的木馬。四只腳的兔沒(méi)有變，只是換成了板凳。

師：看來(lái)，雞兔同籠問(wèn)題中，雞和兔腳的只數(shù)還可以變呢！再看看，硬幣問(wèn)題里，你還能找到雞和兔的影子嗎？

生：2分硬幣相當(dāng)于雞，5分硬幣相當(dāng)于兔，9枚就是頭的總數(shù)，34分就是腳的總數(shù)。

師：太厲害了，這么復(fù)雜的你們都能找到藏起來(lái)的雞兔頭和腳的只數(shù)。

生：我能在第四個(gè)材料里面找到雞和兔的影子。你們看，晴天走35千米就是兔的腳數(shù)，雨天走28千米就是雞的腳數(shù)。11天就是頭的總數(shù)，350千米就是腳的總數(shù)。

師：看來(lái)我無(wú)論放在哪里，你們都能夠找到他們。那么在生活，你們能不能找到幾個(gè)這樣的雞兔同籠的例子呢？

生：蜘蛛、蜻蜓和禪的翅膀和只數(shù)。

生：蜘蛛和蟬的翅膀和只數(shù)。

師：你們找得真好，老師是教數(shù)學(xué)的，我只能從數(shù)學(xué)里面去找，你看，我找到的3x+7y=108 x+y=24，你們?cè)谶@里面還能不能找到雞和兔的影子呢？

生：能，x相當(dāng)于雞，y相當(dāng)于兔。

師：看來(lái)，你們真的學(xué)會(huì)了從解決一個(gè)問(wèn)題，變成了解決一類問(wèn)題，一串問(wèn)題。這種將不同內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)思考的學(xué)習(xí)方式，有撥開云霧見(jiàn)日月的感覺(jué)吧？祝賀你們的進(jìn)步！請(qǐng)同學(xué)們課后，繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)，看還有哪些問(wèn)題，也可以找到雞和兔的影子，也能用今天學(xué)習(xí)的方法去解決它們！

賞析：利用雞兔同籠的數(shù)學(xué)模型，將看起來(lái)不同的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去掉情境，找到數(shù)學(xué)思維本質(zhì)上的相同，然后運(yùn)用同樣的方法解決，巧妙的將一個(gè)問(wèn)題串成一類問(wèn)題。模型思想的應(yīng)用在這里得到充分的體現(xiàn)和放大，如抽絲剝繭般的找到數(shù)學(xué)的核心，然后又在此基礎(chǔ)上拓展和延伸，形成了規(guī)模效應(yīng)。這正是數(shù)學(xué)文化課的最基本特點(diǎn)，著力于數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)史詩(shī)般的瑰麗色彩和奇特魅力。

課后賞析：雞兔同籠”作為我國(guó)古老的數(shù)學(xué)文化遺產(chǎn)，在蘇教版和人教版教材中都分別進(jìn)行了編排。有很多教師對(duì)這節(jié)課進(jìn)行過(guò)精彩的設(shè)計(jì)和演繹，但大多數(shù)課堂主要是從學(xué)科本位上去讓學(xué)生探討問(wèn)題的解決，構(gòu)建模型，滲透數(shù)學(xué)思想方法等，在模型應(yīng)用的思維方式和更深入的育人功能挖掘上，還不夠。而于奇文老師執(zhí)教的“雞兔同籠”，以數(shù)學(xué)文化挖掘和滲透的全新視角，放手學(xué)生主動(dòng)探究，用聯(lián)系的觀點(diǎn)引領(lǐng)提升學(xué)生思維品質(zhì)，感受古老經(jīng)典數(shù)學(xué)的魅力，師生共生共長(zhǎng)，給人啟迪。

3.1充分放手，讓學(xué)生課前進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)

嘗試翻轉(zhuǎn)課堂，讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。建立在此基礎(chǔ)上的課堂教學(xué)起點(diǎn)更高，也更不好把握。教師讓學(xué)生進(jìn)行充分地小組交流，然后全班交流討論，師生互動(dòng)，適時(shí)點(diǎn)撥。列表法、替換法和畫圖法，學(xué)生的質(zhì)疑充滿了智慧和思考，像“如果是50個(gè)頭，你這種方法不麻煩嗎？”就是這一質(zhì)疑，將其它學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考，引向深入。還有“我用畫圖的方法來(lái)幫助我們理解”“你那涂掉的是什么東西？”等，這些話語(yǔ)，無(wú)一不是學(xué)生思想火花的閃現(xiàn)。正是因?yàn)榇竽懛攀?，先學(xué)后教，重在引導(dǎo)，才成全了孩子們的創(chuàng)造力，發(fā)展了孩子們的學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì)。

3.2練習(xí)巧妙，讓學(xué)生辨識(shí)復(fù)雜的學(xué)習(xí)材料

我對(duì)目前聽過(guò)的近三十節(jié)數(shù)學(xué)文化課進(jìn)行過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)專題的數(shù)學(xué)文化課，針對(duì)不同類型的教學(xué)內(nèi)容，在練習(xí)的設(shè)計(jì)上，似乎沒(méi)有常規(guī)意義上的數(shù)學(xué)課那么強(qiáng)調(diào)，更重要的是在材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和發(fā)展學(xué)生的文化內(nèi)涵上，作大量的挖掘。針對(duì)雞兔同籠問(wèn)題，于老師的練習(xí)也是很巧妙的讓學(xué)生辨識(shí)不同情境中的雞和兔，鞏固雞兔同籠問(wèn)題的解決問(wèn)題模型，拓寬視野，在辨識(shí)中引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)表象看本質(zhì)，從解決一個(gè)問(wèn)題完成到解決一類問(wèn)題，形成聯(lián)系的觀點(diǎn)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律。這個(gè)環(huán)節(jié)，滲透著哲學(xué)思辨，是不著痕跡的課堂教學(xué)的升華，也是數(shù)學(xué)文化課魅力的展現(xiàn)。

3.3脈絡(luò)清晰，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到充分提升

整節(jié)課，從課前研究性學(xué)習(xí)，到在小組交流基礎(chǔ)上的全班交流展示學(xué)習(xí)成果，之后教師拓展提升，層層抽絲剝繭，是一節(jié)既站在數(shù)學(xué)學(xué)科本位教學(xué)之中，又游離之外的既接地氣又沾仙氣的數(shù)學(xué)文化課。

關(guān)于如何上好數(shù)學(xué)文化課，是一個(gè)新問(wèn)題，各種不同的嘗試，勢(shì)必帶來(lái)不同的思考，如何才能既依附數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)知識(shí)，又更好的挖掘數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的熱情，是一個(gè)值得思索的永恒話題。而本節(jié)課，無(wú)疑做了一個(gè)非常好的嘗試。