求二次函數(shù)最值問題的一些類型題

周儒東

(廣東高州中學(xué)，廣東 茂名 525200)

?

求二次函數(shù)最值問題的一些類型題

周儒東

(廣東高州中學(xué)，廣東 茂名 525200)

本文主要總結(jié)了求二次函數(shù)最值問題的一些方法，其中包括配方法、函數(shù)的單調(diào)性、平移對稱軸、平移區(qū)間、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等等.

二次函數(shù);最值

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)必修一的一個(gè)非常重要的知識點(diǎn)，其中求二次函數(shù)的最值問題更是重中之重，是高一第一學(xué)期期中試與期末試中必考內(nèi)容. 如果我們學(xué)生在平時(shí)做練習(xí)的過程中能夠積累一些類型題及類型方法，那么學(xué)生不僅能夠很好很快地掌握二次函數(shù)這個(gè)知識點(diǎn)，而且無論是在平時(shí)做題還是在考試中更能得心順手地做題.

下面我們就介紹高中有關(guān)二次函數(shù)的最值問題的幾類型題及其求解方法.

一、配方法

初中所學(xué)習(xí)的配方法一般用于具體的，其定義域?yàn)镽的二次函數(shù).

例1 已知f(x)=x2+4x-1，求f(x)的最小值.

解 ∵f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5≥-5,

∴fmin(x)=f(-2)=-5.

二、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是高一學(xué)習(xí)的用來求二次函數(shù)的最值問題的最常用的方法，一般用于具體的，定義在某個(gè)區(qū)間的二次函數(shù).

例2 已知f(x)=x2+4x-1，求f(x)在區(qū)間[-3,1]的最值.

解 ∵y=f(x)的對稱軸為x0=-2，開口向上

∴y=f(x)在區(qū)間[-3,-2]上單調(diào)遞減，fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(-3)=-4；

又y=f(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增，

∴fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

綜上，y=f(x)在區(qū)間[-3,1]上的最值為：fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

三、平移對稱軸

高中我們有時(shí)會遇到一種對稱軸沒定的，即一次項(xiàng)含有未知數(shù)的二次函數(shù)求最值，這時(shí)，我們就要學(xué)會先定區(qū)間，再平移對稱軸來討論.

例3 已知函數(shù)f(x)=x2+2ax-1，x∈[-5,5]，求f(x)的最小值.

分析 因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象的對稱軸是個(gè)變量：x0=-a，開口向上，不知道對稱軸是否在[-5,5]區(qū)間內(nèi)，所以要分對稱軸在區(qū)間的左側(cè)、對稱軸在區(qū)間內(nèi)，對稱軸在區(qū)間的右側(cè)三種情況進(jìn)行討論，如下圖所示：

解 易知：f(x)=x2+2ax-1圖象的對稱軸為：x0=-a.

(1)當(dāng)-a≤-5，即a≥5時(shí)，y=f(x)在[-5,5]上單調(diào)遞增,∴fmin(x)=f(-5)=-10a+24.

(2)當(dāng)-5<-a≤5，即-5≤a<5時(shí)，fmin(x)=f(-a)=-a2-1.

(3)當(dāng)-a>5，即a<-5時(shí)，y=f(x)在[-5,5]上單調(diào)遞減,∴fmin(x)=f(5)=10a+24.

四、平移區(qū)間

還有是一種已知二次函數(shù)，但要求該函數(shù)在某個(gè)未定的區(qū)間內(nèi)的最值問題，這時(shí)我們就應(yīng)該先定函數(shù)的對稱軸，再平移區(qū)間來討論.

例4 已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2，x∈[t,t+1]的最小值為g(t)，求g(t)的表達(dá)式.

分析 由于該函數(shù)的對稱軸是個(gè)定數(shù)x0=1，開口向上，而區(qū)間[t,t+1]未知，不知道對稱軸是否在該區(qū)間內(nèi)，所以要分區(qū)間在對稱軸的左側(cè)、區(qū)間包含對稱軸、區(qū)間在對稱軸的右側(cè)三種情況進(jìn)行討論，如下圖所示：

解 易知：f(x)=x2-2x+2圖象的對稱軸為：x0=1.

(1)當(dāng)t+1≤1，即t≤0時(shí)，y=f(x)在[t,t+1]單調(diào)遞減,∴g(t)=fmin(x)=f(t+1)=t2+1.

(2)當(dāng)t≤1

g(t)=fmin(x)=f(1)=1.

(3)當(dāng)t>1時(shí)，y=f(x)在[t,t+1]單調(diào)遞增,

∴g(t)=fmin(x)=f(t)=t2-2t+2.

當(dāng)然，以上的題都可以用高二導(dǎo)數(shù)的知識來求最值，以例2、3為例.

例2 解 ∵f(x)=x2+4x-1,∴f′(x)=2x+4.

令f′(x)=0，有x=-2.

∵f(-3)=-4，f(-2)=-5，f(1)=4,

∴y=f(x)在區(qū)間[-3,1]上的最值為：fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

例3 解 ∵f(x)=x2+2ax-1,∴f′(x)=2x+2a.

令f′(x)=0，有x=-a.

當(dāng)-a≤-5，即a≥5時(shí)，由于x∈[-5,5]，所以f′(x)>0，因此y=f(x)在[-5,5]單調(diào)遞增，所以fmin(x)=f(-5)=-10a+24；

當(dāng)-5<-a≤5，即-5≤a<5時(shí)，由于x∈[-5,5]，所以當(dāng)x∈[-5,a)，f′(x)<0；當(dāng)x∈[a,5]，f′(x)>0，因此y=f(x)在[-5,a)單調(diào)遞減，在[a,5]單調(diào)遞增，所以fmin(x)=f(a)=3a2-1；當(dāng)-a>5，即a<-5時(shí)，由于x∈[-5,5]，所以f′(x)<0，因此y=f(x)在[-5,5]單調(diào)遞減，所以fmin(x)=f(5)=10a+24.

此外，我們還可以把求一些二次不等式的問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題.

[1]孫明科.金版學(xué)案，新課標(biāo)高中同步輔導(dǎo)與檢測必修[M].北京：團(tuán)結(jié)出版社，2015.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

周儒東(1986.10-)，男，廣東高州，中一,碩士研究生,從事代數(shù)研究..

G632

B

1008-0333(2017)16-0025-02