變參數(shù)Rayleigh型p-Laplacian微分方程周期解的存在性

陳仕洲

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州521041）

變參數(shù)Rayleigh型p-Laplacian微分方程周期解的存在性

陳仕洲

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州521041）

應(yīng)用重合度理論和一些分析技巧，研究了一類含有變參數(shù)Rayleigh型p-Laplacian廣義中立型微分方程，獲得其周期解存在性的新的充分條件，推廣和改進(jìn)了已有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論.

周期解；Rayleigh型p-Laplacian方程；中立型算子；重合度

1 引言及引理

由于含偏差變?cè)膒-Laplacian微分方程周期解存在性在生態(tài)學(xué)、物理學(xué)和控制理論等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，因而引起人們極大的興趣，目前已有許多研究成果[1-7]．例如文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]研究了一類具偏差變?cè)腖ienard型方程

文獻(xiàn)[7]研究了

周期解的存在性．本文將應(yīng)用Mawhin連續(xù)性定理和一些分析技巧，研究一類更廣泛的p-Laplacian Rayleigh方程

引理1[7]如果,則映射A在Ω?CT上存在連續(xù)逆映射A-1，滿足

設(shè)X和Y都是實(shí)Banch空間，L:DomL?X→Y是指標(biāo)為零的Fredholm映射，DomL表示L的定義域，即dimKerL=codimImL＜∞.，且ImL是Y中的閉集．存在連續(xù)投影P:X→X,Q:Y→Y使得

ImP=kerL,ImL=KerQ=Im(I-Q),X=KerL⊕KerP,Y=ImL⊕ImQ,

引理2[1]（Manasevich-Mawhin）設(shè)X，Y都是Banach空間，L:DomL?X→Y是指標(biāo)為零的Fred?holm映射，Ω?X為有界開(kāi)集，上是L-緊的．若下列條件成立

（3）deg{JQN,Ω?kerL,0}≠0,其中J:ImQ→KerL是一個(gè)同構(gòu).

引理3[8]設(shè)

為應(yīng)用引理2，改寫(xiě)方程（3）為如下形式：

顯然方程組（5）等價(jià)于Lx=Nx.

由L的定義，可以得到

因此L是指標(biāo)為零的Fredholm映射．定義映射P:X→X,Q:Y→Y

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)存在常數(shù)r1,r2,r4,k1,k2,k3≥0;d＞0,r3＞r1滿足：

（A4）下列條件之一成立：

則方程（3）存在一個(gè)T-周期解.

證明考慮方程Lx=λNx,λ∈(0,1).即

對(duì)（9）式兩邊在[0,T]上取積分可得

根據(jù)積分中值定理，?t1∈[0,T],s.t.

我們斷言：?t2∈[0,T],s.t.

下面分兩種情形證明斷言（12）成立：

情形1如果|x1(t1-τ(t1)|≤d，則顯然有

因而

故引理2的條件（3）被滿足．根據(jù)引理2知，方程Lx=Nx在中有解，即x1(t)是方程（3）的T-周期解.

情況（ii）如果c0＞1，由引理1，

由此可得

余下部分類似于情況（i）的證明，不再贅述.

類似于定理1，容易證明

定理2定理1中的條件（A3）換為

其余條件不變，則方程（3）存在一個(gè)T-周期解.

3 例子和注記

考慮中立性微分方程

[1]MANASEVICH R,MAWHIN J.Periodic solutions for nonlinear systems withp-Laplacian-like operators[J].J.Differential Equations,1998,145(2):367-393.

[2]XIAO B,LIU B.Periodic solutions for Rayleigh type p-Laplacian equation with a deviating argument[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2009,10(1):16-22.

[3]CHEUNG W S,REN J.Periodic solutions for p-Laplacian Rayleigh equations[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Ap?plications,2006,65(10):2003-2012.

[4]LIU B.Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Liénard type p-Laplacian equation[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Applications,2008,69(2):724-729.

[5]DU B,HU X.Periodic solutions to a p-Laplacian neutral Rayleigh equation with deviating argument[J].Applications of Mathe?matics,2011,56(3):253-264.

[6]HE Z M,SHEN J H.Existence of periodic solutions for p-Laplacian neutral Rayleigh equation[J].Advances in Difference Equations,2014,(1):67.

[7]XIN Y,ZHAO S.Existence of periodic solution for generalized neutral Rayleigh equation with variable parameter[J].Advanc?es in Difference Equations,2015,(1):209.

[8]LI J W,WANG G Q.Sharp inequalities for periodic functions[J].Applied Math.E-Note,2005,5:75-83.

Existence of Periodic Solutions for a Rayleigh Type p-Laplacian with Variable Parameter

CHEN Shi-zhou
（College of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong,521041）

By application of coincidence degree theory and some analysis skills,we study a Rayleigh type p-Laplacian generalized neutral differential equation with variable parameter.Some new sufficient conditions for the existence of periodic solutions are obtained.The results have extended and improved the related results in the literatures.

periodic solution；Rayleigh type p-Laplacian equation；neutral operator；coincidence degree

O 175.12

A

1007-6883（2017）03-0008-07

責(zé)任編輯朱本華周春娟

2017-04-10

廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：GDJG20142396）；廣東省高等學(xué)校教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：粵教高函[2015]133號(hào)）；韓山師范學(xué)院理科團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：LT201202）．

陳仕洲（1959-），男，廣東汕頭人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授.