雙信號切換多胞系統(tǒng)的魯棒變增益控制

鄭斌峰,董朝陽,王 青

(北京航空航天大學 a.航空科學與工程學院,b.自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

航空宇航工程

雙信號切換多胞系統(tǒng)的魯棒變增益控制

鄭斌峰a,董朝陽a,王 青b

(北京航空航天大學 a.航空科學與工程學院,b.自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

針對變體飛行器在大包線內(nèi)變形飛行的姿態(tài)鎮(zhèn)定問題，提出了一種基于雙信號切換的魯棒變增益切換控制方法。在分析飛行器跨包線區(qū)域變形飛行特性的基礎(chǔ)上，基于多胞權(quán)值速率有界約束給出了時變參數(shù)多胞系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，進一步研究了飛行器具有包線和構(gòu)型雙信號切換多胞系統(tǒng)的特征，分析了跨包線區(qū)域變形飛行的穩(wěn)定性；設(shè)計了魯棒變增益切換控制器，從而保證系統(tǒng)在包線內(nèi)的穩(wěn)定性及魯棒H∞性能。

變體飛行器;切換多胞;雙信號;魯棒變增益

變體飛行器是一種可以根據(jù)自身需求主動改變氣動外形，始終保持在各個飛行階段(如起降、巡航、盤旋、作戰(zhàn)、加速等)獲得最佳氣動外形，以保證飛機隨時保持最優(yōu)飛行性能，適應(yīng)多種任務(wù)模式[1-2],比如F-111、蘇-24以及NASA的MAW項目[3]、AFW項目[4]、AAW項目[5]等。隨著智能材料的發(fā)展，變體飛行器又一次成為學者們關(guān)注和研究的焦點。德國科技公司Festo的科學家聲稱“破譯了鳥飛行的原理”，成功研制出仿生機器鳥-SmartBird[6-8]。同時，變體飛行器外形可變的特征給結(jié)構(gòu)、氣動和控制等多個學科提出了一系列具有挑戰(zhàn)的研究課題[9-11]。在控制科學方面，關(guān)鍵是解決變體飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計的問題，以確保大包線飛行下的姿態(tài)穩(wěn)定[12-13]。

近年來，針對多胞型時變參數(shù)系統(tǒng)的分析與控制問題，國外研究學者取得了一定的成果。Daafouz等分析了具有多胞描述形式的離散線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并基于參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)方法得到了參數(shù)任意變化情況下的結(jié)論。由于飛行器在正常情況下不會發(fā)生包線參數(shù)的突變，因此參數(shù)任意快變對應(yīng)的穩(wěn)定性條件仍然具有一定的保守性[14]。部分學者采用多胞建模方法處理有界參數(shù)變化速率，并得到連續(xù)時變多胞系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件[15]。但是這種對有界參數(shù)變化速率的多胞描述方法在實際應(yīng)用中仍然較為復雜，因此本文在權(quán)值速率具有常值上界的假設(shè)下，給出了參數(shù)慢變多胞系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，并作為變體飛行器大包線變形飛行穩(wěn)定分析的基礎(chǔ)。

1 變體飛行器切換多胞建模

本文結(jié)合變體飛行器的變形特性提出了一種雙信號切換多胞系統(tǒng)方法，其中，對于不同飛行區(qū)域的處理與文獻[16]類似，仍將其分為多個局部重疊的多胞系統(tǒng)；對于機體變形，將其構(gòu)型變化視作一類鏈式切換，并在傳統(tǒng)切換多胞系統(tǒng)切換信號σF(t)的基礎(chǔ)上，引入獨立的鏈式變形切換信號σM(t)，得到形如式(2)的雙信號切換多胞系統(tǒng)，使得系統(tǒng)的各個多胞型具有二維指標，即對于某一多胞型子系統(tǒng)，其分別具有代表包線區(qū)域?qū)傩院惋w行器構(gòu)型屬性的兩個指標，且各自服從不同的切換規(guī)律。

上述切換規(guī)律將變體飛行器大包線變形飛行中可能經(jīng)歷的多胞型子系統(tǒng)按類進行了排列，在原有的包線區(qū)域劃分基礎(chǔ)上，為每一個子區(qū)域增加設(shè)置了變形構(gòu)型屬性，并使得所有多胞型子系統(tǒng)形成了一類矩陣式的子系統(tǒng)集。給出一種雙信號切換多胞系統(tǒng)的子系統(tǒng)劃分，假設(shè)變體飛行器的全包線按照包線參數(shù)被分為6個子區(qū)域F1～F6，按照后掠角分為15°、20°、25°、30°、35°、40°、45°、50°、55°、60°共10個典型構(gòu)型，系統(tǒng)的子區(qū)域同樣具有局部重疊特性，且各個子區(qū)域均標注了可以采用的變形構(gòu)型，從而使得飛行器可以按照允許的不同構(gòu)型在某一固定子區(qū)域內(nèi)進行變形飛行，也可以進行跨區(qū)域變形飛行。

(1)

變體飛行器在大包線內(nèi)的長時間飛行均在不同的典型構(gòu)型狀態(tài)下進行，因此，對于包線內(nèi)的某一高度和馬赫數(shù)區(qū)域，可以構(gòu)建基于不同飛行器構(gòu)型的多個多胞系統(tǒng)，將此類多胞系統(tǒng)記為Θi, j，其中i∈ΩM={M15,M20,…,M60}為該多胞系統(tǒng)的構(gòu)型指標，j∈ΩF={F1,F2,…,FN}為多胞系統(tǒng)的包線區(qū)域指標，q∈Θi,j為該多胞系統(tǒng)的頂點指標。進而，可以將大包線內(nèi)不同構(gòu)型下的變體飛行器建模為如下的切換多胞系統(tǒng)。

(2)

(3)

大包線跨區(qū)域變形飛行的具體時序圖如圖1所示，當飛行至兩區(qū)域交界處某點時，如圖1中Fi-1和Fi重疊區(qū)域某工作點，可以切換控制增益的計算方式，由多胞系統(tǒng)Fi-1頂點增益插值切換為多胞系統(tǒng)Fi頂點增益插值。

圖1 跨區(qū)域變形飛行時序圖

(4)

由于在重疊區(qū)域附近飛行時，臨近頂點的加權(quán)權(quán)重較大，且這部分頂點由Fi-1和Fi共有，故這類切換不會引起系統(tǒng)的抖振，實現(xiàn)了平滑切換。與變形切換過程占據(jù)較短時間不同的是，跨區(qū)域切換僅在某一時刻改變控制器增益計算方式，該切換點可以選在固定構(gòu)型階段的某一時刻，并避免在變形過程中切換包線區(qū)域，實際上由于變形時間較短，這一做法是很容易實現(xiàn)的，能夠更方便地分析穩(wěn)定性和計算控制增益。綜上所述，可以得到研究對象模型(2)中的矩陣如式(4)所示。

2 控制器設(shè)計

2.1 基于權(quán)值速率有界的時變參數(shù)多胞系統(tǒng)穩(wěn)定性

定理1 對于時變參數(shù)多胞系統(tǒng)(3)，令u(t)≡0，如果存在一組正定矩陣Pi>0和常數(shù)γ>0，使得?i,j∈{1,2,…,N},i≤j，下列線性矩陣不等式組成立

Φi,j+Φj,i<0

(5)

(6)

其中

(7)

則系統(tǒng)(3)參數(shù)依賴二次穩(wěn)定且具有H性能指標γ。

2.2 跨區(qū)域變形飛行穩(wěn)定性

在分析跨區(qū)域變形飛行的穩(wěn)定性時，同樣采用Lyapunov函數(shù)方法，由于飛行器在包線區(qū)域內(nèi)飛行時間較長，可以采用駐留時間方法保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。由于各個包線區(qū)域參數(shù)差別較大，采用駐留時間或平均駐留時間方法均容易給設(shè)計過程引入較大的保守性，這里通過包線依賴駐留時間概念分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。

(8)

(9)

(10)

(11)

其中

(12)

(13)

(14)

在各個包線區(qū)域內(nèi)飛行的包線依賴駐留時間滿足

(15)

則變體飛行器以局部重疊切換律σF(t)跨包線區(qū)域，并以鏈式切換律σM(t)做變形飛行時，系統(tǒng)參數(shù)依賴二次穩(wěn)定且具有H性能指標γ。

2.3 大包線變形飛行魯棒變增益控制

下面通過定理形式給出變體飛行器雙信號切換多胞系統(tǒng)魯棒變增益控制器設(shè)計方法。

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

在各個包線區(qū)域內(nèi)飛行的包線依賴駐留時間滿足

(23)

則存在如下形式的魯棒變增益控制器：

(24)

其中

(25)

使得當變體飛行器以鏈式切換律σM(t)做變形飛行時，系統(tǒng)參數(shù)依賴二次穩(wěn)定且具有H性能上界γ。

證明：由定理2的證明過程易知，當系統(tǒng)具有變增益控制結(jié)構(gòu)時，上述定理條件能夠滿足系統(tǒng)的參數(shù)依賴二次穩(wěn)定性和H性能上界要求，即控制增益陣如下：

(26)

又由切換多胞系統(tǒng)表述可知，系統(tǒng)的變增益控制器有如下特殊結(jié)構(gòu)：

(27)

3 算例與仿真驗證

本節(jié)應(yīng)用變體飛行器在包線內(nèi)跨區(qū)域變形飛行的姿控系統(tǒng)仿真來驗證雙信號切換多胞系統(tǒng)魯棒變增益切換控制。

以下對變體飛行器在包線內(nèi)變形飛行過程進行仿真，首先給出包線的包絡(luò)工作點。

表1 變體飛行器包線內(nèi)的6個工作點

選取如表1所示的6個工作點，并將其在飛行包線內(nèi)的包絡(luò)區(qū)域作為變體飛行器跨區(qū)域變形飛行的設(shè)計示例區(qū)域，將上述工作點集劃分為兩個子集F1={1,2,3,4}和F2={3,4,5,6}，相應(yīng)的可以得到包線內(nèi)的2個子區(qū)域如圖2所示，則可知上述子區(qū)域具有局部重疊特性，即F1∩F2≠φ。假設(shè)變體飛行器在包線內(nèi)的飛行軌跡如圖2中虛線所示，由t0=0 s時刻開始到tf=40 s時刻結(jié)束，整個過程歷時40秒，且ts=20 s時刻其在工作點4處由子區(qū)域F1切換至子區(qū)域F2。同時，設(shè)變體飛行器在t1,t2,t3,t4分別進行機體變形，每次變形歷時2秒，變形后以固定構(gòu)型在包線內(nèi)飛行至下一次變形點，在t5=35s時刻之后，保持飛行高度和馬赫數(shù)不變至飛行結(jié)束，整個過程依次經(jīng)歷后掠角為60°，55°，50°，45°，40°的5種構(gòu)型。

圖2 包線區(qū)域劃分

假設(shè)飛行器按照上述假設(shè)依次在相應(yīng)的時間點達到飛行包線內(nèi)的指定位置并完成預(yù)定的區(qū)域切換或構(gòu)型切換，飛行高度和馬赫數(shù)隨飛行時間的變化曲線以及變形飛行的主要時間節(jié)點如圖3所示。

圖3 包線參數(shù)變化與飛行時序圖

由選取的狀態(tài)點可知，本文所使用的雙信號切換多胞系統(tǒng)的子系統(tǒng)集為ΥΞ={〈F1,M60〉,〈F1,M55〉,〈F1,M50〉,〈F2,M50〉,〈F2,M45〉,〈F2,M40〉}，且有各個子系統(tǒng)對應(yīng)子區(qū)域的頂點個數(shù)均為4，即NF1=NF2=4。根據(jù)定理3給出各個設(shè)計參數(shù)的取值為如下：

ηF1=0.07,ηF2=0.095,μF1=1.21,μF2=1.27,κF1=1.83,κF2=1.76

(28)

另外，可以由式(22)計算得到系統(tǒng)在各個包線區(qū)域內(nèi)的構(gòu)型平均駐留時間如下所示：

仿真驗證由“線性控制器+非線性模型”的結(jié)構(gòu)完成，這里僅考慮縱向短周期運動的姿態(tài)鎮(zhèn)定問題。給定仿真初始時刻的系統(tǒng)攻角為α0=3°，俯仰角速率為q0=0°/s，升降舵偏角為δe,0=4°，仿真時長40秒。仿真結(jié)果曲線如圖4～9所示。

圖4 攻角響應(yīng)

圖5 俯仰角速率響應(yīng)

圖6 攻角變化率響應(yīng)

圖7 俯仰角速率變化率響應(yīng)

圖8 升降舵偏角響應(yīng)

圖9 升降舵偏角變化率響應(yīng)

由仿真結(jié)果可知，變體飛行器姿態(tài)在所設(shè)計的切換多胞系統(tǒng)魯棒變增益控制器作用下，由初始值收斂至平衡點，且隨著機體構(gòu)型和包線區(qū)域的切換始終收斂至不同的平衡狀態(tài)。仿真中，飛行器構(gòu)型和包線參數(shù)均是連續(xù)變化，由于雙信號切換多胞系統(tǒng)的變增益控制作用，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)也基本保持平穩(wěn)連續(xù)的變化，僅在初始時刻和各次變形時刻產(chǎn)生較小抖動，且均在可接受的范圍內(nèi)。

4 結(jié)論

針對變體飛行器在大包線范圍內(nèi)快速變形飛行的情況，研究其姿態(tài)鎮(zhèn)定控制問題?；跈?quán)值速率有界條件給出了跨區(qū)域變形飛行的穩(wěn)定性條件，并提出了雙信號切換多胞系統(tǒng)的魯棒變增益控制器設(shè)計方法。

(1)在分析變體飛行器跨包線區(qū)域變形飛行特征的基礎(chǔ)上，基于多胞權(quán)值速率有界約束給出了時變參數(shù)多胞系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件；

(2)考慮變體飛行器具有包線和構(gòu)型雙信號切換多胞系統(tǒng)特征，分析了大包線內(nèi)跨區(qū)域變形飛行的穩(wěn)定性；

(3)提出了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能的魯棒變增益切換控制器設(shè)計方法。

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(責任編輯：吳萍 英文審校：趙歡)

附 錄

1.定理1的證明過程

證明 正文中的系統(tǒng)(3)參數(shù)依賴二次穩(wěn)定且具有H性能指標γ的充分條件是存在參數(shù)依賴矩陣函數(shù)P(ρ(t))>0，易知其成立的充分條件是

(1)

且

(2)

(1)先證正文中式(5)保證附錄式(1)成立，用diag(P-1(ρ(t)),I,I)對附錄式(1)進行全等變換，同時定義

(3)

可以得到附錄式(1)成立的充分條件是

(4)

(5)

則可知附錄式(1)成立的充分條件是

(6)

即

(7)

其中，Φi,j如正文中式(7)所示。再證明正文中式(6)是附錄中式(7)成立的充分條件，由正文中式(4)可知

Φi,i<0,?i=1,2,…,N

(8)

且

Φi,j+Φj,i<0,1≤i

(9)

(10)

由前述分析可知正文中式(5)是附錄中式(1)成立的充分條件。

(2)再證明正文中式(6)保證附錄中式(2)成立

(11)

則由正文中式(6)易知

(12)

綜合(1)、(2)可知，定理條件正文中的式(5)、(6)是系統(tǒng)參數(shù)依賴二次穩(wěn)定且具有H性能指標γ的充分條件。證畢。

2.定理2的證明過程

由上述證明可知定理2的條件保證系統(tǒng)在各個包線區(qū)域內(nèi)飛行的時間段[ζi,ζi+1)內(nèi)，有

又由正文中的式(11)條件可知，在包線區(qū)域切換時刻t=ζi處，有

(14)

分析系統(tǒng)的參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)，可得

(15)

(16)

再分析系統(tǒng)的H性能，定理2的條件保證系統(tǒng)在各個包線區(qū)域內(nèi)飛行的時間段[ζi,ζi+1)內(nèi)，有

(17)

對上式左端以[ζi,ζi+1)為積分域進行積分，可得

(18)

同樣對上式右端以[ζi,ζi+1)為積分域進行積分，可得

(19)

綜合附錄中式(17～19)，可得

(20)

(21)

分析系統(tǒng)跨包線區(qū)域飛行的過程，則由正文中的式(14) (15)可知

(22)

則可知系統(tǒng)具有H性能指標γ。證畢。

Robust variable gain control of dual-signal switched polytopic system

ZHENG Bin-fenga,DONG Chao-yanga,WANG Qingb

(a.School of Aeronautic Science and Engineering,b.School of Automation Science and ElectricalEngineering,Beihang University,Beijing 100191,China)

Based on dual-signal switched polytopic system,a robust gain scheduled switching control scheme was proposed to deal with the problem of attitude stabilization during morphing within full envelop.The characteristics of morphing aircraft flight across multiple envelop regions were analyzed.The sufficient condition of stability for the time-varying polytopic system was proposed by the restriction of polytopic weights′velocity boundary.The specialty of the double switching signals in envelop regions and structures′ switching laws was further studied.The stability of morphing flight across multiple envelop regions were analyzed.The robust gain scheduled switching controller was designed to guarantee the stability and robust performance.

morphing aircraft;switched polytopic;dual-signal;robust variable gain

2017-04-27

國家自然科學基金(項目編號：61374012)

鄭斌峰(1985-)，男，陜西乾縣人，碩士研究生，主要研究方向：飛行動力學與控制，E-mail：sy1505427@buaa.edu.cn;董朝陽(1966-)，男，河北平鄉(xiāng)人，教授，主要研究方向:飛行動力學與控制，E-mail:dongchaoyang@buaa.edu.cn。

2095-1248(2017)03-0017-09

V249.1

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.03.002