Hom-弱Hopf代數(shù)上的Hom-smash積

鄭乃峰

(寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江寧波 315211)

Hom-弱Hopf代數(shù)上的Hom-smash積

鄭乃峰

(寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江寧波 315211)

本文研究了在Hom-Hopf代數(shù)上引入Hom-弱Hop代數(shù)的問題.通過建立弱左H-模Hom-代數(shù)的方法,構(gòu)造Hom-smash積,證明Hom-smash積是Hom-代數(shù),且給出使之成為Hom-弱Hopf代數(shù)的充分條件,推廣了由Bohm等人定義的弱Hop代數(shù).

Hom-弱Hopf代數(shù);弱左H-模Hom-代數(shù);Hom-smash積

1 引言

代數(shù)形變理論現(xiàn)在已是代數(shù)學(xué)的重要分支之一.近年來作為代數(shù)另一類形變代數(shù)-Hom-代數(shù)的引入,引起了許多代數(shù)學(xué)者的關(guān)注.Hom-代數(shù)的概念是由Makhlouf和Silvestrov于2006年在研究擬李代數(shù)時(shí)引入的(見文獻(xiàn)[1]).Hom-代數(shù)的引入實(shí)際上是推廣了結(jié)合代數(shù)的概念,把結(jié)合代數(shù)中的結(jié)合性法則作了形變,將其變成了線性變換α結(jié)合性條件,即α(a)(bc)=(ab)α(c).隨著Hom-代數(shù)研究的深入,一些學(xué)者在文獻(xiàn)[2-5]中又陸續(xù)引入了Hom-余結(jié)合余代數(shù)、Hom-雙代數(shù)和Hom-Hopf代數(shù)等,并給出了一些重要的性質(zhì).在文獻(xiàn)[6,7]中,作者定義了Hom-ω-smash積和Hom-ω-smash余積,并分別研究了它們的擬三角結(jié)構(gòu)和辮化結(jié)構(gòu).

弱Hopf代數(shù)是由Bohm 和Nill等人定義的(見文[8]),作為Hopf代數(shù)(見文[9])的推廣,弱Hopf代數(shù)與Hopf代數(shù)有著相似的構(gòu)成,只是用更弱的條件去代替余乘法運(yùn)算的保單位性和余單位運(yùn)算的保乘法性.因此,弱Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比Hopf代數(shù)復(fù)雜.

綜合上述討論,在弱Hopf代數(shù)上引入Hom-代數(shù)的結(jié)合性條件成為自然的問題,這也是寫這篇文章的動(dòng)機(jī).在Hom-弱Hopf代數(shù)和模結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,建立弱左H-模Hom-代數(shù)的結(jié)構(gòu)并通過它構(gòu)造Hom-smash積,證明Hom-smash積是Hom-代數(shù),且給出使之成為Hom-弱Hopf代數(shù)的充分條件.

2 Hom-弱Hopf代數(shù)

本文的所有工作都在域k上進(jìn)行的.所討論的張量積和線性映射均指域k上的.文中將使用Sweedler關(guān)于余代數(shù)余乘法的記號,即對于H中的任意元關(guān)于Hom-代數(shù)和Hom-余代數(shù)的概念請參閱文獻(xiàn)[1-3].

定義 2.1[10]如果(H,μ,η,α)是一個(gè)Hom-代數(shù),(H,△,ε,α)是一個(gè)Hom-余代數(shù),且代數(shù)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足下列相容性

則稱六元組 (H,μ,η,△,ε,α)為一個(gè) Hom-弱雙代數(shù),并簡記為 (H,α).

定義2.2[10]設(shè)(H,α)是一個(gè)Hom-弱雙代數(shù),S：H→H是一個(gè)線性映射,如果滿足

則稱(H,α)是一個(gè)Hom-弱Hopf代數(shù),并稱S是Hom-弱Hopf代數(shù)(H,α)的對極映射.

注2.3由(2.7)和(2.8)式,容易得到∑(x11S(x12))α2(x2)=α4(x)和∑α2(x1)(S(x21)x22)=α4(x).對于(2.9)式的合理性證明如下

注2.4Hom-弱Hopf代數(shù)既不滿足結(jié)合律也不滿足余結(jié)合律,但當(dāng)扭曲映射α=Id時(shí),它就是弱Hopf代數(shù).但當(dāng)余單位ε是代數(shù)映射時(shí),Hom-弱Hopf代數(shù)就是Hom-Hopf代數(shù).相對于(余)結(jié)合性,Hom-弱Hopf代數(shù)也有Hom-(余)結(jié)合性,即μ?(α?μ)=μ?(μ?α)和(α?△)?△=(△?α)?△.因此Hom-弱Hopf代數(shù)的非(余)結(jié)合性的程度是由扭曲映射α偏離恒等映射的距離決定的.關(guān)于Hom-弱Hopf代數(shù)的相關(guān)性質(zhì)請參閱文獻(xiàn)[10].

命題2.5設(shè)(H,α)是一個(gè)Hom-弱Hopf代數(shù),且滿足條件ε?S=ε,則有如下結(jié)論

證對任意x∈H,有

同理可證=成立.

上面的命題說明S(HL)?HR和S(HR)?HL.由于α(1)=1,因此有∑α(11)?α(12)=∑11?12,所以有α(HL)?HL和α(HR)?HR.

命題2.6設(shè)(H,α)是一個(gè)Hom-弱Hopf代數(shù),則有如下結(jié)論

證對任意x,y∈H,有

3 Hom-弱Hopf代數(shù)上的smash積

關(guān)于Hom-模、Hom-余模、Hom-模代數(shù)和Hom-模余代數(shù)的相關(guān)概念可參閱文獻(xiàn)[5].下面,給出弱左H-模Hom-代數(shù)的概念.

定義3.1設(shè)(H,α)是Hom-弱Hopf代數(shù),(A,β)是Hom-代數(shù).如果有一個(gè)線性映射ρ：H?A→A,ρ(h?a)=h·a,使得對任意h,g∈H和a,b∈A,有下面條件成立

則稱Hom-代數(shù)(A,β)是一個(gè)弱左H-模Hom-代數(shù).若α=Id和β=Id,則弱左H-模Hom-代數(shù)是文獻(xiàn)[11]中的一個(gè)弱左H-模代數(shù).若(H,α)是Hom-Hopf代數(shù),則弱左H-模Hom-代數(shù)是文獻(xiàn)[5]中的一個(gè)左H-模Hom-代數(shù).

本節(jié)設(shè)(H,α)是Hom-弱Hopf代數(shù),其弱對極S是雙射,(A,β)是弱左H-模Hom-代數(shù),設(shè)=β?α.為方便,分別記1H為1,1A為.

(A,β)在(H,α)上的Hom-smash積(A#H,γ)是指帶有下面乘法運(yùn)算的向量空間A?HLH,運(yùn)算規(guī)定如下

H通過乘法構(gòu)成左HL模,A通過下面作用構(gòu)成右H-模

引理3.2(A,β)在(H,α)上的Hom-smash積是一個(gè)帶有單位元的Hom-代數(shù).

證 對任意a,b,c∈A和h,g,k∈H,有

注3.3若α=Id和β=Id,則Hom-smash積是文獻(xiàn)[12]中的smash積;若(H,α)是Hom-Hopf代數(shù),則Hom-smash積是文獻(xiàn)[6]中的Hom-smash積.

引理3.4設(shè)是一個(gè)Hom-smash積,則對任意a,b∈A和h,g∈H,下面關(guān)系式成立

證對任意a,b∈A和h,g∈H,有

定理3.5設(shè)(H,α)是Hom-弱Hopf代數(shù),其弱對極為S,(A,β)是Hom-弱雙代數(shù).如果(A,β)是弱左H-模Hom-代數(shù),并且對于任意h∈H,a∈A,下面條件成立

若此時(shí)(A,β)又是Hom-弱Hopf代數(shù),其弱對極為SA,滿足性質(zhì),則Hom-smash積也是Hom-弱Hopf代數(shù),其弱對極為

證顯然,Hom-smash積是Hom-代數(shù)和Hom-余代數(shù).假設(shè)定理?xiàng)l件成立,證明Hom-smash積滿足定義2.1的(2.1)-(2.5)項(xiàng).對任意a,b∈A和h,g∈H,有

運(yùn)用定理中的條件,可得如下關(guān)于余單位的弱乘運(yùn)算

同理可得

由于對于任意的a∈A,x∈HL,有,因此有,又由于εH?S=εH成立,因此由命題 2.5 可知S(HL)?HR和S(HR)?HL成立,所以有

同理可得

最后,設(shè)(H,α)和 (A,β)是Hom-弱 Hopf代數(shù)且由于

對于定義2.2中的(2.9)式,利用定義3.1中的(3.1)、(3.2)式和引理3.3及定理中的條件,有

注3.6如果線性映射α和β是恒等映射,即對任意的a∈A和h∈H,有γ(a?h)=a?h,則Hom-smash積是由文獻(xiàn)[8]定義的弱Hopf代數(shù),并可得文獻(xiàn)[13]中的例1.8或文獻(xiàn)[16]中的定理2.2.如果(H,α)和(A,β)是Hom-Hopf代數(shù),則Hom-smash積是Hom-Hopf代數(shù),并可得文獻(xiàn)[6]中的例2.2.

[1]Makhlouf A,Silvestrov S.Hom-algebras structures[J].J.Gen.Lie Theory Appl.,2008,2：51-64.

[2]Caenepeel S,Goyvaerts I.Monoidal Hom-Hopf algebras[J].Comm.Alg.,2011,39(6)：2216-2240.

[3]Makhlouf A,Silvestrov S.Hom-algebras and Hom-coalgebras[J].J.Alg.Appl.,2010,9：553-589.

[4]Makhlouf A,Silvestrov S.Hom-Lie admissible Hom-coalgebras and Hom-Hopf algebras[A].Silvestrov S,Paal E,Abramov V,Stolin A,eds.Generalized lie theory in mathematics,physics and beyond[C].Berlin：Springer-Verlag,2009,189-206.

[5]Yau D.Hom-bialgebras and comodule Hom-algebras[J].Inter.Elect.J.Algebra,2010,8：45-64.

[6]鄭乃峰.Hom-ω-smash積Hopf代數(shù)的擬三角結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)年刊,2013,34(6)：689-708.

[7]鄭乃峰.Hom-ω-smash余積Hopf代數(shù)上的辮化結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2013,33(6)：1068-1088.

[8]Bohm G,Nill F,Szlachanyi K.Weak Hopf algebras I：Integral theory andC?-structure[J].J.Alg.,1999,221：385-438.

[9]Sweedler M.Hopf algebra[M].New York：Benjamin,1969.

[10]鄭乃峰.Hom-弱Hopf代數(shù)上的Hom-Smash余積[J].數(shù)學(xué)雜志,2016,36(2)：393-402.

[11]Nikshych D,Vainerman L.Finite quantum groupoid and their applications[J].Math.Sci.Res.Inst.Publ.,2002,43：211-262.

[12]Nikshych D.A duality theorem for quantum groupoids[J].Contemp.Math.,2000,267：237-243.

[13]鄭乃峰.弱Hopf代數(shù)上的Smash雙積[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2009,38(5)：553-565.

[14]鄭乃峰.弱Hopf代數(shù)上的混合積[J].數(shù)學(xué)年刊,2010,31(6)：757-768.

[15]鄭乃峰.弱Hopf代數(shù)上的ω-交叉積[J].數(shù)學(xué)年刊,2012,33(1)：77-90.

[16]侯波,王志璽.弱Hopf代數(shù)作用與沖積[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,50A(1)：89-96.

HOM-SMASH PRODUCTS OVER HOM-WEAK HOPF ALGEBRAS

ZHENG Nai-feng
(College of Science,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

In this paper,we study the concept of weak Hopf algebras over Hom-Hopf algebras. Using the method of establishing weak leftH-module Hom-algebras,we construct Hom-smash product and demonstrate that Hom-smash product is a Hom-algebra and Hom-weak Hopf algebra,which generalizes weak Hopf algebra introduced by Bohm etc..

Hom-weak Hopf algebra;weak leftH-module Hom-algebra;Hom-smash product

on：16W30;16E10

O153.3

A

0255-7797(2017)04-0871-10

2015-7-31接收日期：2015-11-25

國家自然科學(xué)基金資助(60873267);寧波自然科學(xué)基金資助(2011A610172).

鄭乃峰(1968-),男,浙江慈溪,副教授,主要研究方向：Hopf代數(shù)及量子群.