Banach空間中一類(lèi)二階具阻尼項(xiàng)的積分-微分包含的可控性

劉宏亮,石 峰,朱 琳

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150025)

Banach空間中一類(lèi)二階具阻尼項(xiàng)的積分-微分包含的可控性

劉宏亮,石 峰,朱 琳

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150025)

本文討論了一類(lèi)二階具阻尼項(xiàng)的積分-微分包含問(wèn)題.利用集值不動(dòng)點(diǎn)定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,進(jìn)而得到系統(tǒng)可控性的充分條件.

微分包含;可控性;不動(dòng)點(diǎn)定理;集值映射

1 引言

Balachandran等[1]討論了一類(lèi)二階積分-微分系統(tǒng)的可控性,利用Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理,給出了系統(tǒng)可控性的充分條件;Benchohra,Ntouyas[2]利用Martelli壓縮集值映射不動(dòng)點(diǎn)定理,研究了在Banach空間中一類(lèi)中立型微分和積分微分包含的存在性;Chang-Li[3]利用集值不動(dòng)點(diǎn)定理,考慮集值函數(shù)具有非凸值時(shí)二階微分包含和積分微分包含的可控性.有關(guān)具阻尼項(xiàng)的微分包含也進(jìn)一步發(fā)展起來(lái),Benchohra等[4]利用不動(dòng)點(diǎn)定理研究了集值映射具有凸和非凸值的情形的阻尼微分包含的存在性;Chalishajar[5]利用Ma不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了二階半線性具阻尼項(xiàng)的中立型微分包含可控性的充分條件.到目前為止,有關(guān)具阻尼項(xiàng)的微分系統(tǒng)的研究成果參見(jiàn)文獻(xiàn)[8,9],但有關(guān)具阻尼項(xiàng)的積分-微分包含系統(tǒng)的研究成果尚未見(jiàn)報(bào)道.

本文討論如下具阻尼項(xiàng)的積分-微分包含

可控性的問(wèn)題,其中E是Banach空間,F：J×E→2E是有界閉凸集值映射.

A是E=(E,‖·‖)中有界線性算子的強(qiáng)連續(xù)余弦算子半群{C(t),t∈R}的無(wú)窮小生成元.

控制函數(shù)u∈L2(J,U),這里U是一個(gè)Banach空間,B是從U到E的有界線性算子,D是E上的有界線性算子.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(X,‖·‖)是Banach空間,J=[0,m],C(J,E)是從J到X的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,賦予范數(shù)‖x‖∞=sup{‖x(t)‖：t∈J},L1(J,X)表示 Bochner可積函數(shù)x：J→X構(gòu)成的Banach空間的全體.

記P(X)表示所有非空子集的全體,Pk(X)表示所有緊子集的全體,Pb(X)表示所有有界子集的全體,Pf(X)表示所有閉子集的全體,Pc(X)表示所有凸子集的全體,Pbfc(X)表示所有有界、閉、凸子集的全體.集值映射G：X→P(X),若對(duì)于任意的x∈X,G(x)是凸(閉、有界、緊）集,則稱G(x)是凸值(閉值、有界值、緊值)映射.對(duì)于任意的x0∈X,若對(duì)包含G(x0)的任意開(kāi)集U,存在x0的鄰域V使得G(V)?U,則稱G是上半連續(xù)的.若集值函數(shù)G是全連續(xù)的且具有非空緊值,則G是上半連續(xù)的等價(jià)于G有閉圖,即

若存在x∈X使得x∈G(x),則稱G有不動(dòng)點(diǎn).設(shè)集值函數(shù)G：J→Pf(X),若對(duì)任意的x∈X,d(w,G(x))=inf{‖w-z‖：z∈G(x)}是J上的可測(cè)函數(shù),則稱G是可測(cè)的.對(duì)于任意的x∈X,SG,x表示G(x(·))的所有的 Lebesgue-Bochner可積全體,即

稱Banach空間有界線性算子半群{C(t)：t∈R}是強(qiáng)連續(xù)余弦算子半群當(dāng)且僅當(dāng)

(1)C(0)=I,其中I是在B(X)中的單位算子;

(2)對(duì)于任意的s,t∈R,C(t+s)+C(t-s)=2C(t)C(s);

(3)對(duì)于任意x∈X,映射t→C(t)x是強(qiáng)連續(xù).結(jié)合給定的強(qiáng)連續(xù)余弦算半群{C(t)：t∈R},定義

則稱{S(t)：t∈R}是強(qiáng)連續(xù)正弦算半群.令A(yù)：X→X,定義為

其中K(A)={x∈X：C(t)x是關(guān)于t的二次連續(xù)可微函數(shù)},則稱A為強(qiáng)連續(xù)余弦族{C(t)：t∈R}的無(wú)窮小生成元.定義E={x∈X：C(t)x是關(guān)于t的一次連續(xù)可微函數(shù)}.

引理2.1[6]設(shè)X是一個(gè)Banach空間,設(shè)集值函數(shù)G：J×X→Pbfc(X)滿足

(1)對(duì)于任意的x∈X,(t,x)→G(t,x)是關(guān)于t可測(cè)的;

(2)對(duì)于幾乎處處的t∈J,(t,x)→G(t,x)關(guān)于x是上半連續(xù)的;

(3)對(duì)每個(gè)固定的x∈C(J,E),集合

非空的.并且設(shè)Γ：L1(J,X)→C(J,X)是線性連續(xù)映射,則

是C(J,X)×C(J,X)上的閉圖算子.

引理2.2[7](Leray-Schauder替換定理)設(shè)X是Banach空間,C?X是X的非空凸子集,0∈C,集值映射G：C→Pk,c(C)是上半連續(xù)的,并且映C的有界子集為相對(duì)緊集,則下述論斷必有一個(gè)成立

(1)集合Γ={x∈C：x∈λG,λ∈(0,1)}是無(wú)界的;

(2)集值映射G(·)在C中存在不動(dòng)點(diǎn).

定義2.1函數(shù)y(·)∈C(J,E)滿足

并且y(0)+f(y)=y0,y′(0)=z0,則y(·)稱為系統(tǒng) (1.1)-(1.2)的 mild解.

定義2.2系統(tǒng)(1.1)-(1.2)在J上可控,是指對(duì)任意的y0∈K(A)和z0∈E1,存在控制u∈L2(J,U),使得系統(tǒng)(1.1)-(1.2)的mild解滿足y(m)+f(y)=y0.

我們需要如下假設(shè)

(A1)A是Banach空間E上有界線性算子的強(qiáng)連續(xù)余弦算子半群{C(t)：t∈J}的無(wú)窮小生成元,且存在常數(shù)M＞0,使得M=sup{‖C(t)‖：t∈J}.

(A2)f是全連續(xù)的,且存在常數(shù)L＞0,使得對(duì)任意的y∈E,||f(y)||≤L.

(A3)線性算子W：L2(J,U)→E,定義為),存在取值于L2(J,U)kerW上的有界逆算子W-1,且存在M1,M2＞0,使得‖B‖≤M1,‖W-1‖≤M2.

(A4)F：J×E→Pbfc(E),且F滿足對(duì)任意的y∈E,t→F(t,y)是可測(cè)的,對(duì)于幾乎處處t∈J,y→F(t,y)是上半連續(xù)的;對(duì)每個(gè)固定的y∈C(J,E),集合

為非空的;

(A5)存在一個(gè)連續(xù)非降函數(shù)ψ：R+→(0,∞),及p(t)∈L1(J,R+)對(duì)于幾乎處處的t∈J,y∈E有

(A6)對(duì)于任意的t∈J,β(t,s)在[0,t]上可測(cè),并且

在J上有界;

(A7)從J到L∞(J,R),映射t→βt是連續(xù)的,其中βt(s)=β(t,s).

3 主要結(jié)果

定理3.1若假設(shè)條件(A1)-(A7)成立,并且存在正數(shù)θ＞0,使得

其中

則系統(tǒng)(1.1)-(1.2)是可控的.

證由(A3),對(duì)任意的y(·)∈C(J,E),定義控制函數(shù)

其中

利用控制函數(shù)定義集值映射Φ(·)：C(J,E)→2C(J,E),具有如下形式

(1)對(duì)于任意的y∈C(J,E),y是凸的.

設(shè)h1,h2∈Φy,存在v1,v2∈SF,y,使得對(duì)任意的t∈J,有

令0≤α≤1,有

因?yàn)镕有凸值,SF,y是凸的,則αh1+(1-α)h2∈Φy.

(2)Φ把C(J,E)中的有界集映成有界集.

令Vq={y∈C(J,E),‖y‖≤q},要證存在一個(gè)正數(shù)?l,使得對(duì)任意的y∈Vq,h∈y,有‖h‖∞≤ ?l.若h∈Φy,則存在v∈SF,y,使得

對(duì)任意的t∈J,由假設(shè)(A1)-(A7)知

其中

(3)Φ將C(J,E)中的有界集映射為等度連續(xù)的集合.設(shè)t1,t2∈J,0＜t1＜t2,對(duì)任意的y∈Vq,h∈Φy,使得(3.2)式成立,于是有

當(dāng)t2→t1時(shí),上述不等式右端趨于零,因而Φ(Vq)是等度連續(xù)的.

(4)Φ把有界集映射為E中的相對(duì)緊集.固定0＜t≤m,并且實(shí)數(shù)ε滿足0＜ε＜t,對(duì)于任意的y∈Vq,定義

因?yàn)镃(t)和S(t)是緊算子,集合Yε(t)={hε(t)：hε(t)∈Φy}是相對(duì)緊集.對(duì)于每一個(gè)h∈y,當(dāng)ε→0+時(shí),‖h(t)-hε(t)‖→0,因此存在相對(duì)緊集任意逼近集合{h(t)：h∈Φy}.從而,{h(t)：h∈Φy}是相對(duì)緊的.因此算子Φ是全連續(xù)的集值映射.

(5)Φ(·)有閉圖象.令yn→y?,hn∈Φyn,且hn→h?,要證h?∈Φy?.事實(shí)上,hn∈yn,則存在vn∈SF,yn,使得

需要證明存在v?∈SF,y?使得

令

由f,W-1和D是連續(xù)的,則,?t∈J.從而當(dāng)n→∞時(shí),

定義線性連續(xù)算子 Γ：L1(J,E)→C(J,E),

并且

由引理2.1知Γ?SF,y是閉圖算子,并且有

因?yàn)閥n→y?,所以

因此Φ是具有閉凸值且上半連續(xù)的集值映射.

由引理2.2知,為了證明Φ有不動(dòng)點(diǎn),還需要下面一個(gè)步驟.

令對(duì)于任意的λ∈(0,1),y∈λΦ(y)的t∈J,存在v∈SF,y使得

對(duì)任意的t∈J,有

因此

由(3.1)式知存在Φ,使得‖y‖/θ.設(shè)集合U={y∈C(J,E),‖y‖＜ θ}.在U中,當(dāng)λ∈(0,1)時(shí),不存在y∈?U滿足y∈λΦ(y).因此由引理2.2知Φ有不動(dòng)點(diǎn),則系統(tǒng)(1.1)-(1.2)是可控的.

[1]Balachandran K,Park D.G,Manimegalai P.Controllability of second-order integrodifferential evolution systems in Banach spaces[J].Comp.Math.Appl.,2005,49：1623-1642.

[2]Benchohra M,Ntouyas S K.Existence results of neutral functional di ff erential and integrodi ff erentail inclusions in Banach spaces[J].Elec.J.Di ff.Equ.,2000,20：1-15.

[3]Chang Y K,Li W T.Controllability of second-order di ff erential and inegrodi ff erential inclusions in Banach spaces[J].J.Optim.The.Appl.,2006,129(1)：77-87.

[4]Benchohra M,Gatsori E P,Ntouyas,S K.Nonlocal quasilinear damped di ff erential inclusions[J].Elec.J.Di ff.Equ.,2002,7：1-14.

[5]Chalishajar D N.Controllability of damped second order semi-linear neutral functional di ff erential inclusions in Banach spaces[J].Auto.Contr.Syst.J.,2009,2：1-7.

[6]Lasota A,Opial Z.An application of the Kakutani-Ky-Fan theorem in the theory of ordinary di ff erential equations[J].Bull.Acad.Polon.Sci.,1965,13：781-786.

[7]Dugundij J,Grans A.Fixed point theory[M].Warsaw：Mongra fi e Mat.PWN,1982.

[8]Lin Q,Yu Y.Interval oscillation criteria for emden-fowler equation with a damping term[J].J.Math.,2012,32(4)：716-722.

[9]Jiang L,Ding W.Periodic solutions of damped impulse systems[J].J.Math.,2016,36(5)：920-928.

CONTROLLABILITY OF SECOND-ORDER DIFFERENTIAL INCLUSIONS IN BANACH SPACE WITH DAMPED AND INTEGRAL TERMS

LIU Hong-liang,SHI Feng,ZHU Lin
(College of Mathematics Science,Harbin Normal University,Harbin 150025,China)

In this paper,a class of di ff erential inclusions with the damped term and integral term in Banach space was studied.By using fi xed point theorem,a sufficient condition for the controllability for such di ff erential inclusion was obtained.

di ff erentail inclusion;controllability; fi xed point theorem;multivalued map

on：34A60

O175.12

A

0255-7797(2017)04-0811-08

2016-03-31接收日期：2016-12-01

黑龍江省教育廳教育項(xiàng)目(12541242).

劉宏亮(1978-),男,河北秦皇島,副教授,主要研究方向：運(yùn)籌與控制.

石峰.