復(fù)線性微分方程解的增長(zhǎng)性的幾個(gè)結(jié)果

龍見仁

(北京郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院;理學(xué)院,北京 100876)(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州貴陽 550001)

復(fù)線性微分方程解的增長(zhǎng)性的幾個(gè)結(jié)果

龍見仁

(北京郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院;理學(xué)院,北京 100876)(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州貴陽 550001)

本文研究了復(fù)線性微分方程解的增長(zhǎng)性問題.利用兩類具有某種漸進(jìn)增長(zhǎng)性質(zhì)的函數(shù)作為線性微分方程的系數(shù),討論了兩類二階線性微分方程解的增長(zhǎng)性,獲得了方程解為無窮級(jí).這些結(jié)果推廣了先前的一些結(jié)果.

復(fù)微分方程;整函數(shù);無窮級(jí);下級(jí);漸進(jìn)增長(zhǎng)

1 引言及主要結(jié)果

對(duì)復(fù)平面C上的亞純函數(shù)f,其級(jí)與下級(jí)分別定義為

和

如果f是整函數(shù),則上述定義中的Nevanlinna特征函數(shù)T(r,f)可以被logM(r,f)所替代,其中

.從定義容易看到有μ(f)≤ρ(f),并且嚴(yán)格不等式也是可能的,參見文獻(xiàn)[1-3].在這篇文章里,我們假設(shè)讀者熟悉亞純函數(shù)值分布理論的基本記號(hào)與主要的結(jié)果,例如T(r,f),m(r,f),N(r,f)等,更多的細(xì)節(jié)參看文獻(xiàn)[4-6].

為了陳述下面的結(jié)果,先回憶幾個(gè)記號(hào).集合E?[0,∞)的Lebesgue線性測(cè)度是,其上、下線性密度分別是

集合F?[1,∞)的對(duì)數(shù)測(cè)度是,其上、下對(duì)數(shù)密度分別是

從文獻(xiàn)[14,p.121]容易看到,對(duì)任意集合F?[1,∞),

在文獻(xiàn)[15]中,Laine-Wu利用系數(shù)是具有某種漸進(jìn)增長(zhǎng)性質(zhì)的整函數(shù)去研究復(fù)線性微分方程解的增長(zhǎng)性,并獲得了

定理A設(shè)A(z)和B(z)是兩個(gè)滿足ρ(B)＜ρ(A)＜∞的整函數(shù).設(shè)A(z)滿足

其中ml(E)＜∞,則線性微分方程

的所有非平凡解都是無窮級(jí).

(1.1)式意味著下面極限

在除去一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度有限的r值例外集合上成立.

Kwon和Kim在文獻(xiàn)[16]推廣了定理A,通過系數(shù)A(z)允許除去一個(gè)更大的r值例外集使得條件(1.1)成立.

定理B設(shè)A(z)和B(z)是兩個(gè)滿足ρ(B)＜ρ(A)＜∞的整函數(shù).設(shè)A(z)在除去r值例外集E上滿足條件(1.1),其中.則微分方程(1.2)的所有非平凡解都是無窮級(jí).

這里考慮系數(shù)的下級(jí)對(duì)微分方程(1.2)解的快速增長(zhǎng)的影響,將定理A、B中系數(shù)A(z)和B(z)的級(jí)用其下級(jí)代替,獲得了下面的結(jié)果.我們的證明不同于定理A、B,使用了一個(gè)來自于Miles-Rossi的結(jié)果(見文獻(xiàn)[17,定理1]),關(guān)于對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的反面估計(jì),這個(gè)估計(jì)在定理A、B的證明中沒有使用.

定理1設(shè)A(z)和B(z)是兩個(gè)滿足μ(B)＜μ(A)＜∞的整函數(shù).設(shè)A(z)在除去r值例外集E上滿足條件(1.1),其中則微分方程(1.2)的所有非平凡解都是無窮級(jí).

本文的第二個(gè)結(jié)果,利用一種新的研究思路去研究線性微分方程解的增長(zhǎng)性,即方程(1.2)的系數(shù)A(z)是另一個(gè)二階線性微分方程

的非平凡解,其中P(z)=anzn+···+a1z+a0,an/0.眾所周知,方程(1.3)的任何非平凡解的增長(zhǎng)級(jí)為.關(guān)于方程(1.3)解的更多的性質(zhì),參看文獻(xiàn)[7-8,18].Hille[19]利用他的方法刻畫了方程(1.3)解的漸進(jìn)增長(zhǎng).本文的第二結(jié)果就是利用方程(1.3)解的漸進(jìn)性質(zhì)去研究方程(1.2)解的增長(zhǎng)性,獲得了

定理2設(shè)A(z)是方程(1.3)的一個(gè)非平凡解,B(z)是一個(gè)ρ(B)/ρ(A)的超越整函數(shù),且

本文的第三個(gè)結(jié)果涉及到另一類二階線性微分方程

其中Q(z)是整函數(shù).為此先回顧方程(1.5)解的一些性質(zhì).對(duì)于Q(z)是多項(xiàng)式的情形,在以往的文獻(xiàn)中,可以發(fā)現(xiàn)很多關(guān)于方程(1.5)解的結(jié)論,例如文獻(xiàn)[20-23].對(duì)于Q(z)是超越整函數(shù),有兩個(gè)結(jié)果值得注意,一個(gè)是Gundersen[24]證明了如果Q(z)是超越整函數(shù)并且ρ(Q)/1,則方程(1.5)的所有非平凡解都是無窮級(jí).另一個(gè)是Chen[25]證明了如果Q(z)=h(z)ebz,其中h(z)是一個(gè)非零多項(xiàng)式,b/-1,則方程(1.5)的所有非平凡解都是無窮級(jí).從Chen的結(jié)果可以看出當(dāng)系數(shù)Q(z)的增長(zhǎng)級(jí)等于1時(shí),方程(1.5)有無窮級(jí)解.在文獻(xiàn)[26]中,Li-Wang討論了方程(1.5)解的增長(zhǎng)性.他們證明了如果Q(z)=h(z)ebz,h(z)是一個(gè)級(jí)小于的超越整函數(shù),b是一個(gè)實(shí)常數(shù).則方程(1.5)的所有非平凡解都是無窮級(jí).針對(duì)整函數(shù)Q(z)級(jí)為1的情形,Wang-Laine[27]考慮了線性微分方程

其中h(z)是一個(gè)滿足ρ(h)＜ρ(Q)=1的整函數(shù).他們假定系數(shù)Q(z)具有某一個(gè)漸進(jìn)增長(zhǎng)條件時(shí),研究了方程(1.6)解的增長(zhǎng)性.

定理C設(shè)Q(z)和h(z)是兩個(gè)滿足ρ(h)＜ρ(Q)=1的整函數(shù).設(shè)Q(z)滿足

相比定理C,這里利用另一類具有某種漸進(jìn)性質(zhì)的整函數(shù)去研究微分方程(1.6)解的增長(zhǎng)性.即對(duì)于常數(shù)α∈(0,1),如果Q(z)在一個(gè)足夠大的r值集合上滿足

定理3設(shè)Q(z)和h(z)是兩個(gè)滿足ρ(h)＜ρ(Q)=1的整函數(shù).設(shè)Q(z)在除去一個(gè)上對(duì)數(shù)密度為0的r值集合上對(duì)α∈(,1)滿足條件(1.7).則微分方程(1.6)的所有非平凡解都是無窮級(jí).

提出條件(1.7)是很自然的,有很多的函數(shù)在除去一個(gè)適當(dāng)?shù)膔值例外集上滿足條件(1.7).一個(gè)簡(jiǎn)單的例子就是Q(z)=ez,條件(1.7)對(duì)成立,沒有例外集.下面稍微復(fù)雜一點(diǎn)的例子可以在文獻(xiàn)[28,p.158]中找到.

例1設(shè)Q(z)=(1-3eiz)ez2-ze-iz2,則條件(1.7)對(duì)成立,沒有例外集.

相比例1,更一般的例子就是形如Q(z)=P1(z)eQ1(z)+···+Pn(z)eQn(z)的指數(shù)多項(xiàng)式,其中Pj(z),Qj(z)(j=1,···,n)是多項(xiàng)式,參見文獻(xiàn)[28].根據(jù)定義,容易證明Q(z)是完全正規(guī)增長(zhǎng)的函數(shù)(見文獻(xiàn)[29,p.6]).于是有下面的例子.

例2如果Q(z)是上面形式的指數(shù)多項(xiàng)式,則根據(jù)文獻(xiàn)[29,定理1.2.1],有

對(duì)所有的[0,1]∪E成立,其中(因此所以條件(1.7)在除去一個(gè)上對(duì)數(shù)密度為0的r值例外集上對(duì)

成立.

2 引理

為了證明上述定理,需要如下的幾個(gè)引理.

引理2.1[30]假設(shè)f是一個(gè)有窮級(jí)超越亞純函數(shù),k,j是兩個(gè)滿足k＞j≥0的整數(shù).則對(duì)任意給定的常數(shù)ε＞0,下列三個(gè)結(jié)論成立.

(1)存在一個(gè)集合E1?[0,2π),m(E1)=0,使得如果ψ0∈([0,2π)-E1),則存在常數(shù)R0=R0(ψ0)＞1,使得對(duì)所有滿足argz=ψ0,|z|≥R0的z,有

(2)存在一個(gè)集合E2?(1,∞),ml(E2)＜∞,使得對(duì)所有滿足|(E2∪[0,1])的z,不等式(2.1)成立.

(3)存在一個(gè)集合E3?[0,∞),m(E3)＜∞,使得對(duì)所有滿足|3的z,有

下面的結(jié)果是文獻(xiàn)[17,定理1]的一個(gè)簡(jiǎn)單形式,但足夠本文使用.

引理2.2假設(shè)f是一個(gè)級(jí)為ρ(＜∞)的非常數(shù)整函數(shù).對(duì)β∈(0,1)及r＞0,令

則對(duì)M(＞3)存在一個(gè)集合EM?[1,∞),,使得對(duì)所有的r∈EM,

為了介紹Hille關(guān)于方程(1.3)解的漸進(jìn)增長(zhǎng)性質(zhì),需要一些記號(hào).假設(shè)α,β是兩個(gè)常數(shù)滿足β-α＜2π及α＜β,對(duì)任意r＞0,定義

假設(shè)f是一個(gè)級(jí)為ρ∈(0,∞)的整函數(shù),為了敘述方便,令.如果對(duì)任意θ∈(α,β),有

則稱f在S內(nèi)以指數(shù)增長(zhǎng)趨于無窮;如果對(duì)任意θ∈(α,β),有

則稱f在S內(nèi)以指數(shù)增長(zhǎng)趨于零.

下面的結(jié)果源自文獻(xiàn)[19,第7.4節(jié)],也可以在文獻(xiàn)[31]找到它的陳述.

引理2.3假設(shè)w是方程(1.3)的一個(gè)非平凡解,其中P(z)=anzn+···+a1z+a0,an0. 令,Sj=S(θj,θj+1),j=0,1,2,···,n+1,其中θn+2=θ0+2π. 則w具有下面的性質(zhì).

(1)在每一個(gè)角域Sj,w或者以指數(shù)增長(zhǎng)趨于無窮,或者以指數(shù)增長(zhǎng)趨于零.

(2)對(duì)某個(gè)j,如果w在Sj以指數(shù)增長(zhǎng)趨于零,則w在Sj+1和Sj-1必須以指數(shù)增長(zhǎng)趨于無窮.但是w在幾個(gè)相鄰角域以指數(shù)增長(zhǎng)趨于無窮是可能的.

(3)如果w在Sj以指數(shù)增長(zhǎng)趨于零,則w在至多有有窮多個(gè)零點(diǎn).

(4)如果w在Sj和Sj-1以指數(shù)增長(zhǎng)趨于無窮,則對(duì)任意給定的ε＞0,w在內(nèi)有無窮多個(gè)零點(diǎn).進(jìn)一步有,當(dāng)r→∞,

引理2.4[27]設(shè)f是級(jí)為ρ(＜∞)的整函數(shù),對(duì)每一個(gè)r＞0,令M(r,f)=f(reiθr).對(duì)

給定的ζ＞0和0＜C(ρ,ζ)＜1,則存在一個(gè)常數(shù)和一個(gè)集合,使得對(duì)所有充分大的r∈Eζ及所有滿足|θ-θr|≤l0的θ,

在文獻(xiàn)[32,定理3],Gundersen證明了下面的結(jié)果.

引理2.5設(shè)A(z)和B(z)(0)是兩個(gè)整函數(shù),對(duì)實(shí)數(shù)α,β,θ1,θ2,其中α＞0,β＞0及θ1＜ θ2,當(dāng)z→ ∞,(θ1,θ2)={z：θ1≤argz≤θ2},有

和

對(duì)任意給定的ε＞0,令如果f是方程(1.2)的級(jí)為ρ(f)(＜∞)的非平凡解.則下列結(jié)論成立.

(1)存在一個(gè)常數(shù)b(/=0)使得當(dāng)z→ ∞,(θ1+ε,θ2-ε),f(z)→b. 進(jìn)一步有當(dāng)z→ ∞,(θ1+ε,θ2-ε),

(2)對(duì)每一個(gè)k＞1,當(dāng)z→ ∞,(θ1+ε,θ2-ε),有

下面的引理描述了函數(shù)eP(z)的性質(zhì),其中P(z)是一個(gè)線性多項(xiàng)式.關(guān)于這類函數(shù)更一般的性質(zhì)參看文獻(xiàn)[33,p.254].

引理2.6設(shè)P(z)=(α+iβ)z,其中α,β是兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足 |α|+|0.假設(shè)A(z)(0)是一個(gè)級(jí)小于1的亞純函數(shù).令g(z)=A(z)eP(z),δ(P,θ)=αcosθ-βsinθ,其中z=reiθ,則對(duì)任意給定的ε＞0,存在一個(gè)集合E?(1,∞),m(E)＜∞,使得對(duì)任意的θ∈[0,2π)-H,有一個(gè)實(shí)數(shù)R＞0,使得對(duì)所有滿足|z|=r＞R及的z,有

(1) 如果δ(P,θ)＞0,則

(2) 如果δ(P,θ)＜0,則

其中H={θ∈[0,2π)：δ(P,θ)=0}.

3 定理的證明

定理1的證明假設(shè)方程(1.2)有一個(gè)級(jí)為?(f)(＜∞)的非平凡解f,將看到一個(gè)矛盾.對(duì)于給定的常數(shù),定義

因?yàn)锳(z)在|z|=上滿足條件(1.1),其中.所以不難知道存在一個(gè)集合F1?[1,∞),,使得

其中

結(jié)合(3.1)和(3.2)式,存在θ0∈Ur-Ic(r),對(duì)充分大的r∈F1∩F2,有

使用類似于文獻(xiàn)[32,p.426]的推導(dǎo),不難得到方程(1.2)的任何非平凡解至少存在一個(gè)零點(diǎn).因此對(duì)θ0∈Ur-Ic(r),及充分大的r∈F1∩F2,有

于是對(duì)θ0∈Ur-Ic(r),r∈F1∩{r：r≥r0},

對(duì)于B(z),存在一個(gè)無窮序列(rn),當(dāng)n→∞,rn→∞,使得

應(yīng)用引理2.1,存在一個(gè)集合F4∈(1,∞),ml(F4)＜∞,使得對(duì)所有滿足|z|=(F4∪[0,1])的z,有

令F=F1∩{r：r≥r0}∩F2∩F3.通過計(jì)算知

所以在集合F-(F4∪[0,1])中存在一個(gè)無窮數(shù)列(tj),當(dāng)j→∞,tj→∞,使得(3.3)-(3.6)式成立.于是結(jié)合方程(1.2),有

從而有

顯然對(duì)充分大的j,這是一個(gè)矛盾,所以定理得證.

定理2的證明如果ρ(A)＜ρ(B),則定理的結(jié)論已被Gundersen證明文獻(xiàn)[32,定理2].因此假定ρ(A)＞ρ(B).假設(shè)方程(1.2)有一個(gè)級(jí)為ρ(f)(＜∞)的非平凡解f,將得到一個(gè)矛盾.由定理?xiàng)l件知A(z)是方程(1.3)的一個(gè)非平凡解,其中P(z)=anzn+···+a1z+a0,an0. 令及Sj={z：θj＜argz＜θj+1}(j=0,1,2,···,n+1),其中θn+2=θ0+2π.依據(jù)引理2.3分兩種情形證明.

(1)假設(shè)A(z)在所有的Sj(j=0,1,···,n+1)里都以指數(shù)增長(zhǎng)趨于無窮,即對(duì)任意的θ∈(θj,θj+1),有

和

其中α是一個(gè)依賴于ε的正常數(shù).結(jié)合(3.8),(3.9)式和引理2.5,存在一個(gè)相應(yīng)的常數(shù)bj/0,使得當(dāng)z→∞,z∈Sj(ε)(j=0,1,···,n+1),

(2)假設(shè)在n+2個(gè)角域Sj(0≤j0≤n+1)里至少存在一個(gè)角域使得A(z)以指數(shù)增長(zhǎng)趨于零,不妨假設(shè)是Sj0={z：θj0＜argz＜θj0+1}(0≤j0≤n+1).這就意味著對(duì)任意的θ∈(θj0,θj0+1),有

因?yàn)樵诩螮上B(z)滿足條件(1.4),令.所以不難看到當(dāng)r→∞且r∈E,有m(Id(r))→0.利用引理2.1和引理2.4,可以挑選一個(gè)無窮點(diǎn)列zn=rneiθ0,當(dāng)n→∞,zn→∞,且θ0∈(θj0,θj0+1)-Id(r),使得zn滿足(2.1),(3.11)式和

結(jié)合上式與(1.2),(2.1),(3.11)式,有

定理3的證明假設(shè)方程(1.6)有一個(gè)級(jí)為ρ(f)(＜∞)的非平凡解f,將看到一個(gè)矛盾.對(duì)給定的0＜l＜1,定義

因?yàn)樵谏螿(z)對(duì)所有的滿足條件(1.7),其中.所以不難看到對(duì)任意給定的ε＞0,當(dāng)r→∞且r/∈E,有.因此對(duì)l∈(0,1)充分接近1,則存在一個(gè)集合F1?[1,∞),使得m(Il(r))＜π,r∈F1.結(jié)合引理2.1,存在一個(gè)無窮點(diǎn)列zn=rneiθ0,當(dāng)n→∞,zn→∞且θ0(r),使得(2.1)式和

成立,同時(shí)δ(-z,θ0)＜0,利用引理2.6,

結(jié)合(1.6),(2.1),(3.12)和(3.13)式,對(duì)充分大的n,有

因此對(duì)充分大的n,有

這與Q(z)是超越整函數(shù)矛盾,所以方程(1.6)的所有非平凡解都是無窮級(jí).

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SOME RESULTS ON THE GROWTH OF SOLUTIONS OF COMPLEX LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

LONG Jian-ren
(School of Computer Science;School of Science,Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 100876,China)(School of Mathematical Science,Guizhou Normal University,Guiyang 550001,China)

In this paper,we study the growth problem of solutions of two classes of second order linear di ff erential equations.By assuming their coefficients which have the properties of asymptotic growth,we obtain that all nontrivial solutions are of in fi nite order,which improves and extends previous results.

complex di ff erential equations;entire functions;in fi nite order;lower order;asymptotic growth

on：34M10;30D35

O174.5

A

0255-7797(2017)04-0781-11

2016-03-03接收日期：2016-04-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11501142);貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助(黔科合J字[2015]2112號(hào));貴州師范大學(xué)2016年博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目資助.

龍見仁(1981-),男,苗族,貴州錦屏,副教授,主要研究方向：復(fù)分析.