正交各向異性鋼筋混凝土板的應(yīng)力及應(yīng)變分析

鐘浩, 印長(zhǎng)俊, 方宏華

(湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院, 湖南 湘潭, 411105)

正交各向異性鋼筋混凝土板的應(yīng)力及應(yīng)變分析

鐘浩, 印長(zhǎng)俊, 方宏華

(湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院, 湖南 湘潭, 411105)

為了研究正交各向異性材料的應(yīng)力、應(yīng)變及彈性模量等力學(xué)參數(shù), 本文從材料的物理力學(xué)特性出發(fā), 推導(dǎo)了正交各向異性材料的彈性本構(gòu)方程。用有限元分析軟件模擬得到了正交各向異性鋼筋混凝土板在自重與受荷作用下的應(yīng)力、應(yīng)變及板中撓度值。對(duì)比分析了視鋼筋混凝土板為各向同性時(shí)的應(yīng)力及應(yīng)變情況。發(fā)現(xiàn)2種情況下的應(yīng)力、應(yīng)變及板中撓度值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均較接近, 因此, 本文的有限元分析方法是可行性的。由于2種情況下模擬結(jié)果相近, 因此可視正交各向異性材料為各向同性進(jìn)行分析, 以簡(jiǎn)化分析過(guò)程。

正交各向異性; 鋼筋混凝土板; 應(yīng)力; 應(yīng)變; 有限元分析

建筑材料中存在大量的正交各向異性材料[1], 鋼筋混凝土板就是典型的正交各向異性材料。對(duì)于各向異性材料而言, 確定其物理特性需要21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù), 而在正交各向異性材料中, 由于垂直于對(duì)稱(chēng)面上的方向?yàn)閺椥灾鞣较? 在此方向上, 材料具有相同的彈性特性。因此, 確定正交各向異性材料應(yīng)力、應(yīng)變等物理特性所需的獨(dú)立常數(shù)為9個(gè)。在以往對(duì)鋼筋混凝土板的有限元分析中, 將鋼筋混凝土等水泥基材料視為鋼筋和混凝土2種材料的組合, 提出了一系列的計(jì)算模型, 比如將鋼筋與混凝土分別劃分單元, 或根據(jù)2種材料的相對(duì)位置進(jìn)行力學(xué)性能的均勻化處理[2], 建立能代表宏觀力學(xué)性能的細(xì)觀代表性單胞單元, 即在對(duì)水泥基材料進(jìn)行應(yīng)力及應(yīng)變分析時(shí), 各向采用同一彈性模量、泊松比等力學(xué)參數(shù)以簡(jiǎn)化計(jì)算。

本文通過(guò)對(duì)實(shí)際案例中的鋼筋混凝土板中的鋼筋與混凝土等材料物理參數(shù)的提取, 計(jì)算確定正交各向異性材料所需的9個(gè)獨(dú)立常數(shù), 經(jīng)過(guò)有限元建模及分析計(jì)算, 得到在考慮水泥基材料正交各向異性情況下材料的應(yīng)力及應(yīng)變結(jié)果, 并將此結(jié)果與將鋼筋混凝土板視為各向同性情況下的應(yīng)力及應(yīng)變結(jié)果進(jìn)行比較分析。

1 彈性本構(gòu)方程與力學(xué)參數(shù)的確定

1.1 彈性本構(gòu)方程

正交各向異性材料中, 將平行彈性主方向的方向軸稱(chēng)為彈性主軸, 用X、Y和Z表示這3個(gè)主軸。根據(jù)廣義虎克定律, 彈性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系為:

式中, Ei為i方向彈性模量; Gij為i、j左邊軸間的剪切模量; uij為i方向作用拉(壓)應(yīng)力引起j方向縮(伸)的泊松比。根據(jù)彈性矩陣的對(duì)稱(chēng)性有Exμyx= Eyμxy, Eyμzy= Ezμyz, Ezμxz= Exμzx, 因此, 式(2)中的12個(gè)常數(shù)中的9個(gè)是獨(dú)立的。為求得式(1)中工程常數(shù)與彈性系數(shù)間的關(guān)系, 計(jì)算(2)式的逆矩陣可得: dxx=。該9個(gè)參數(shù)即為計(jì)算正交各向異性材料所需9個(gè)獨(dú)立參數(shù), 其中。

1.2 彈性力學(xué)參數(shù)確定

本文所采用的基本假設(shè)[3]有: 鋼筋與混凝土之間沒(méi)有相對(duì)滑移, 兩者是相互粘結(jié)的; 鋼筋混凝土板線彈性宏觀均勻、宏觀正交各向異性, 且沒(méi)有初始應(yīng)力。從假設(shè)條件下的鋼筋混凝土板中取代表性結(jié)構(gòu)微元如圖1所示。

圖1 鋼筋混凝土板結(jié)構(gòu)單元

由于本文所采用鋼筋混凝板中的鋼筋為雙層雙向設(shè)置, 對(duì)板下表面受拉以及上表面受壓時(shí)的裂縫開(kāi)展均可產(chǎn)生明顯的控制和約束作用[4]。混凝土在受拉作用下極易產(chǎn)生裂縫, 裂縫將使混凝土產(chǎn)生應(yīng)力重分布, 從而加速混凝土的破壞, 也使得對(duì)混凝土應(yīng)力及應(yīng)變分析變得復(fù)雜[5]。

本文所采用實(shí)驗(yàn)中的鋼筋混凝土板在雙層雙向鋼筋的約束下, 受自身荷載與均布荷載的作用, 在受力方向并未出現(xiàn)明顯的裂縫, 裂縫開(kāi)展均在受拉鋼筋保護(hù)層范圍內(nèi), 處在線彈性假設(shè)階段[6]。因此, 本文假設(shè)在混凝土板受力方向上的剛度保持不變。

將鋼筋看成纖維材料, 正交分布于混凝土中, 形成混凝土復(fù)合材料, 根據(jù)復(fù)合材料的性質(zhì)來(lái)確定其各項(xiàng)彈性力學(xué)參數(shù)。沿鋼筋分布方向設(shè)為坐標(biāo)軸X、Y。設(shè)在X軸方向上有作用力Fx, 則

式中: Fcx為混凝土在x方向上所受荷載; Fsx為鋼筋在x方向上所受荷載; σx為鋼筋混凝土板應(yīng)力; σcx為混凝土應(yīng)力; σsx為鋼筋應(yīng)力。根據(jù)鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)假設(shè)與虎克定律:

對(duì)于x、y方向, 提供上式中3個(gè)參數(shù)中的2個(gè)即可計(jì)算得出第3個(gè)參數(shù)的值。由于本文所采用的是鋼筋混凝土板, z方向的厚度遠(yuǎn)小于x、y方向的跨度, 在z方向上鋼筋對(duì)鋼筋混凝土板的增強(qiáng)作用較弱, 取μz= μcz。對(duì)于x、y方向, 假設(shè)混凝土在x方向受拉, 產(chǎn)生的橫向收縮變形量為 Δby= byεy= -byεxμxy,式中: by為代表性結(jié)構(gòu)微元橫向尺度; εy為代表性結(jié)構(gòu)微元橫向應(yīng)變。

由基本假設(shè)知, 橫向收縮變形為鋼筋與混凝土橫向收縮變形量之和, 即Δby= Δbcy+ Δbsy=-bcyεcxμcbsyεsxμs。式中: μs為鋼筋泊松比; μc為混凝土泊松比。且εx= εcx= εsx, 因此有。

2 有限元建模與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提取

根據(jù)實(shí)驗(yàn)所采用四邊固結(jié)矩形混凝土板[8], 提取參數(shù)為: 長(zhǎng)4.5 m, 寬3.5 m, 厚100 mm; 混凝土密度25 kN/m3, 上板面承受4.5 kN/m2均布荷載; 鋼筋與混凝土彈性模量分別為2.1 × 105和2.8 × 104N/mm2, 鋼筋混凝土板的彈性模量為2.87 × 104N/mm2; 鋼筋的泊松比為0.3, 混凝土的泊松比為0.2; 鋼筋與混凝土的剪切模量分別為7.94 × 104N/mm2, 1.11 × 104N/mm2。x、y方向的配筋率分別為0.551%和0.433%。鋼筋混凝土板在荷載與自重共同作用下板中最大撓度值為0.946 mm。

將以上數(shù)據(jù)代入各相關(guān)公式得彈性常數(shù): Ex= 28 980 N/mm2, Ey= 28 766 N/mm2, Ez= 28 550 N/mm2;Gxy= 11 896 N/mm2, Gxz= 11 986 N/mm2, Gyz= 12 075 N/mm2; μxy= μyx≈ 0.2, μxz≈ 0.2, μyz≈ 0.2。

2.2 有限元建模與分析

隨著計(jì)算機(jī)在數(shù)值模型方面的迅速發(fā)展, 出現(xiàn)了大量的有限元分析軟件, 其中Ansys[9–10]就是一款大型通用的有限元(FEA)分析軟件。Ansys15.0的主要三部分為前處理模塊、分析計(jì)算模塊和后處理模塊。前處理模塊提供了非常強(qiáng)大的實(shí)體建模以及網(wǎng)絡(luò)劃分工具, 在前處理階段, 建立三維尺寸為4.5、3.5、0.1的板塊結(jié)構(gòu), 采用各向異性單元Solid185, 在材料屬性部分輸入前文得到的正交各向異性材料的9個(gè)獨(dú)立力學(xué)參數(shù), 隨即建立四邊固結(jié)正交各向異性鋼筋混凝土板有限元模型。對(duì)板四周施加固定約束后進(jìn)行自由分網(wǎng)如圖2所示。

圖2 鋼筋混凝土板有限元模型及分網(wǎng)

對(duì)板上表面施加向下均布荷載以及考慮板的自重, 通過(guò)有限元結(jié)構(gòu)計(jì)算, 得到X、Y、Z各個(gè)方向上的應(yīng)力及應(yīng)變情況分別如圖3、圖4所示。

圖3 正交各向異性材料各方向應(yīng)力

圖4 正交各向異性材料各方向應(yīng)變

為獲取鋼筋混凝土板在受力方向上的撓度, 通過(guò)Ansys后處理工具顯示受力方向, 即Z方向上的位移撓度如圖5所示, 其中最大撓度值為0.981 mm。

圖5 正交各向異性混凝土板Z方向撓度

為了與考慮鋼筋混凝土板為各向同性時(shí)的情況進(jìn)行比較,建立各向同性鋼筋混凝土板有限元模型。取各向同性有限元單元Solid65[11], 將鋼筋混凝土板的彈性模量與泊松比作為參數(shù)進(jìn)行有限元模擬分析, 得到各向同性鋼筋混凝土板各方向的應(yīng)力及應(yīng)變以及Z方向的撓度值分別如圖6～8所示。最大撓度值為1.012 mm。為直觀地比較2種情況下混凝土板的應(yīng)力、應(yīng)變及位移撓度, 提取各向同性以及各向異性情況下的鋼筋混凝土板的各方向應(yīng)力、應(yīng)變值如表1所示。

圖6 各向同性材料各方向應(yīng)力

圖7 各向同性材料各方向應(yīng)變

通過(guò)對(duì)鋼筋混凝土板分別在各向同性與正交各向異性的情況下的有限元應(yīng)力、應(yīng)變分析(表1), 可以發(fā)現(xiàn):在不考慮鋼筋混凝土板的正交各向異性時(shí), 在板自重與均布荷載作用下的板中撓度為1.012 mm;在考慮鋼筋混凝土板的正交各向異性時(shí), 其板中撓度為0.981 mm, 較前者減少了3.23%。2種情況下的應(yīng)力及應(yīng)變值基本接近。

圖8 各向同性混凝土板Z方向撓度

表1 各向同性與正交各向異性材料應(yīng)力及應(yīng)變

3 結(jié)論

本文對(duì)正交各向異性材料的應(yīng)力及應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了推導(dǎo)。并將鋼筋配筋率作為影響鋼筋混凝土板彈性模量的因素, 結(jié)合有限元建模及其分析方法, 計(jì)算與分析了正交各向異性板的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系及力學(xué)參數(shù), 得到以下結(jié)論。

(1) 鋼筋對(duì)混凝土板的增強(qiáng)效果通過(guò)配筋率體現(xiàn), 使得鋼筋混凝土作為復(fù)合材料來(lái)計(jì)算其各項(xiàng)力學(xué)參數(shù)。提取計(jì)算正交各向異性材料所需的9個(gè)獨(dú)立參數(shù), 對(duì)正交各向異性鋼筋混凝土板的應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行有效地有限元分析, 得到了各個(gè)方向的應(yīng)力、應(yīng)變及非約束向的撓度值。

(2) 分別考慮在材料的各向同性與正交各向異性的情況下, 鋼筋混凝土板承受均布荷載, 得到了各個(gè)方向的應(yīng)力、應(yīng)變以及板中撓度。其中, 當(dāng)視材料為各向同性時(shí), 其應(yīng)力、應(yīng)變及板中撓度均大于視材料為正交各向異性的情況, 差別幅度不大。2種情況下的有限元模擬分析所得撓度值均大于實(shí)驗(yàn)值,且較實(shí)驗(yàn)值的差別幅度在7%以內(nèi), 說(shuō)明本文所采用的有限元分析方法具有實(shí)質(zhì)意義。

(3) 根據(jù)實(shí)驗(yàn)的裂縫情況, 本文假設(shè)鋼筋混凝土板在受力方向上的剛度保持不變, 未考慮混凝土應(yīng)力重分布對(duì)鋼筋混凝土板的應(yīng)力、應(yīng)變產(chǎn)生的影響, 雖此假設(shè)不影響正交各向異性混凝土板與各向同性混凝土板的應(yīng)力、應(yīng)變分析比較, 但由此假設(shè)所產(chǎn)生的具體量化影響還有待進(jìn)一步考察。

(4) 由于有限元分析軟件的廣泛應(yīng)用, 本文所做的各向同性與正交各向異性的鋼筋混凝土板的應(yīng)力、應(yīng)變分析結(jié)果為分析各向異性材料的力學(xué)性能提供了簡(jiǎn)化思路。視材料為各向同性時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變均大于視材料為正交各向異性時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變, 若在混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中考慮該因素, 工程會(huì)更偏向于安全。

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(責(zé)任編校: 江河)

Analysis of stress and strain about orthotropic steel reinforced concrete slab

Zhong Hao, Yin Changjun, Fang Honghua
(School of Civil Engineering and Mechanics, Xiangtan University, Xiangtan 411105, China)

For the research of orthotropic material stress strain relationship and the mechanical parameters such as elastic modulus, starting from the physical and mechanical properties of materials, the equations of the elastic orthotropic material constitutive equation are put forward. The orthogonal anisotropy of reinforced concrete plate under dead weight and the loading of stress-strain relationship and plate deflection value are simulated by finite element analysis software. Also, the reinforced concrete slab as isotropic stress and the strain of the situation are contrasted. It is found out that two cases of stress strain relationship and deflection values with the experimental data are close to the plate, so it is feasible. According to the results of the two cases of similar simulation, it provides a simplified way of thinking.

orthotropic; reinforced concrete slab; stress and strain; FEA

TU 375.2

: A

1672–6146(2017)03–0054–05

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.03.012

鐘浩, 53790310@qq.com。

: 2017–03–16