七芯鎧裝電纜傳輸特性仿真模型研究

王鋆晟，孟文博，文曉哲，王洪超

（吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，吉林 長春 130026）

七芯鎧裝電纜傳輸特性仿真模型研究

王鋆晟，孟文博，文曉哲，王洪超

（吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，吉林 長春 130026）

為經(jīng)濟(jì)有效地獲取任意長度七芯鎧裝電纜的傳輸特性，基于多導(dǎo)體傳輸線理論對(duì)七芯鎧裝電纜的傳輸特性進(jìn)行建模仿真分析。首先采用有限元方法計(jì)算模型參數(shù)即電纜單位長度分布參數(shù)，將趨膚效應(yīng)和鋼制鎧裝鄰近效應(yīng)的影響計(jì)算在內(nèi)；然后以相似變化思想解模型方程即多導(dǎo)體傳輸線方程，獲得電纜近端及遠(yuǎn)端傳輸特性曲線；最后以長度為3km的七芯鎧裝電纜為例，將模型仿真結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，證明模型的有效性。結(jié)果表明：外圍纜芯的傳輸特性更加復(fù)雜多變且衰減劇烈；中間纜芯的傳輸特性衰減變化較平緩，更適合用于高速通信。

七芯鎧裝電纜；多導(dǎo)體傳輸線；有限元仿真；傳輸特性

0 引 言

在VSP測井及水力壓裂過程監(jiān)測等井中測試領(lǐng)域，對(duì)作為傳輸介質(zhì)的七芯鎧裝電纜的傳輸特性有清晰的認(rèn)識(shí)是進(jìn)行高質(zhì)量數(shù)據(jù)傳輸?shù)那疤?。測試過程中所使用的七芯鎧裝電纜長達(dá)幾千米，信號(hào)在電纜上的傳輸屬于長線傳輸，受分布電阻、分布電感、分布電容等參數(shù)的影響,電纜可用帶寬很窄,長期以來一直是提升井中數(shù)據(jù)傳輸速率和質(zhì)量的瓶頸。此外,電纜的傳輸特性具有非線性，非線性信道對(duì)不同形式的信號(hào)所產(chǎn)生的影響也不盡相同，很難給出固定參數(shù)來精確計(jì)算信號(hào)傳輸特性[1]。

自20世紀(jì)70年代末，Clayton教授[2-4]系統(tǒng)地提出多導(dǎo)體傳輸線理論，并采用這種有效的近似分析方法分析了帶狀電纜、雙絞線電纜信號(hào)傳輸過程的衰減、串?dāng)_問題，使得多導(dǎo)體傳輸線理論在多芯電纜傳輸特性的分析領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。如Mazloom等[5]針對(duì)瑞典鐵路用懸空信號(hào)電纜，進(jìn)行了建模和試驗(yàn)研究；Spadacini等[6]借助多導(dǎo)體傳輸線理論對(duì)衛(wèi)星供電線路的電磁輻射量進(jìn)行預(yù)測研究；謝彥召等[7]對(duì)架空多導(dǎo)體傳輸線纜的電磁脈沖響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算，為防護(hù)設(shè)計(jì)提供參考。七芯鎧裝電纜相對(duì)于常用多芯電纜結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，七根絞在一起的屏蔽電纜的外側(cè)尚有一層厚厚的鋼制鎧裝。受鐵磁性物體臨近效應(yīng)的影響，電纜傳輸特性變化情況更加難以預(yù)測。目前國內(nèi)主要采取測試方法獲得七芯鎧裝電纜的傳輸特性[8]。但對(duì)千米級(jí)七芯鎧裝電纜而言，測試法需針對(duì)不同的通信方案和硬件連接狀況分別進(jìn)行測試，不僅會(huì)嚴(yán)重延遲研發(fā)進(jìn)度，還需要大量經(jīng)費(fèi)支持。

為了以一種經(jīng)濟(jì)有效的方法獲得任意長度的七芯鎧裝電纜的傳輸特性。參照上述多芯電纜傳輸特性分析方法，本文將七芯鎧裝電纜視作一種準(zhǔn)TEM（橫向電磁場，即電場和磁場分量均分布在與傳播方向垂直的平面內(nèi)，也即沿傳播方向沒有電場和磁場分量）結(jié)構(gòu)，則各纜芯間的電壓和流過纜芯的電流能夠被唯一的定義，繼而可通過建模方法獲得電纜的傳輸特性。

圖1 多導(dǎo)體傳輸線系統(tǒng)

1 理論基礎(chǔ)

本文將七芯鎧裝電纜視作一種準(zhǔn)TEM結(jié)構(gòu)，也是一種多導(dǎo)體傳輸線結(jié)構(gòu)，因而可借助多導(dǎo)體傳輸線理論[9]建立模型分析鎧裝電纜的傳輸特性。

分析一個(gè)由n+1個(gè)導(dǎo)體組成的總長為L的多導(dǎo)體傳輸線結(jié)構(gòu)，n+1個(gè)導(dǎo)體互相平行且平行于Z坐標(biāo)軸（如圖 1 所示）。 在近端（z=0）和遠(yuǎn)端（z=L）處的鏈接網(wǎng)絡(luò)以廣義戴維南模型表示，包含集中式激勵(lì)源。

假設(shè)電磁場沿導(dǎo)體傳輸時(shí)是橫向電磁場（TEM）結(jié)構(gòu)，以0號(hào)導(dǎo)體作為參考導(dǎo)體和電流回路，傳輸線方程為

其中V和I為n×1階向量，包含n個(gè)導(dǎo)體的電壓[V（z，t）]i=Vi（z，t）和 n 個(gè)導(dǎo)體的電流[I（z，t）]i=Ii（z，t），i代表此分量處于向量中的第i行，也代表此分量是第i個(gè)導(dǎo)體的數(shù)據(jù)，z表征其在z軸上的坐標(biāo)，t表征時(shí)間。同樣其中R、L、C、G分別是單位長度電阻矩陣、單位長度電感矩陣、單位長度電容矩陣和單位長度電導(dǎo)矩陣。各矩陣組成元素如圖2所示，單位長度參數(shù)矩陣的形式如下式：

從多導(dǎo)體傳輸線理論可知獲得多導(dǎo)體傳輸線的單位長度分布參數(shù)是對(duì)多導(dǎo)體傳輸線分析的前提條件，解多導(dǎo)體傳輸線方程是獲得各個(gè)導(dǎo)體上的電壓、電流分布的必要過程。因而本文將首先通過有限元法計(jì)算七芯鎧裝電纜的單位長度分布參數(shù)矩陣R、L、C、G（獲取模型參數(shù)），然后通過矩陣轉(zhuǎn)換方法解多導(dǎo)體傳輸線頻域方程（解模型方程）以獲得千米級(jí)電纜的傳輸特性。

圖2 單位長度等效電路圖

2 模型建立

由理論分析可知，對(duì)七芯鎧裝電纜的傳輸特性建模分析主要分為兩步。

2.1 有限元法計(jì)算模型參數(shù)

一般情況下，傳輸線的單位長度參數(shù)多采用解析方式獲得。解析方式簡潔迅速，但只能解決簡單結(jié)構(gòu)的問題，對(duì)結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的多導(dǎo)體傳輸線（如七芯鎧裝電纜）是無能為力的[10]。

本文采用有限元方法計(jì)算七芯鎧裝電纜的單位分布參數(shù)，不受復(fù)雜結(jié)構(gòu)的限制，且能充分考慮到趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)對(duì)單位參數(shù)的影響，獲得各對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)下分布參數(shù)值。具體思路如下：

一個(gè)任意形狀的截面圖形Ω如圖3所示，其中Ω1，Ω2，…，Ωn為 n 個(gè)導(dǎo)體（本文中即為纜芯），Ωn+1，Ωn+2，…，Ωn+m為包圍著n個(gè)導(dǎo)體的m塊介電常數(shù)不同的絕緣區(qū)域（本文中為纜芯外絕緣物質(zhì)）。

又有差分形式的頻域麥克斯韋方程組為

式中：σ——電導(dǎo)率；

E——電場強(qiáng)度；

B——磁通量密度；

圖3 截面的幾何構(gòu)造

H——磁場強(qiáng)度；

D——電通量密度；

ρ——電荷密度；

ω——角頻率。

2.1.1 求解電阻、電感

結(jié)合式（3）和式（4）可得：

采用有限元方法結(jié)合諾埃曼邊界條件n×A=0（n為截面區(qū)域Ω邊界的法向量）在電纜截面區(qū)域內(nèi)解方程,可解得截面區(qū)域內(nèi)電流分布狀況。

從能量損耗角度[11-14]計(jì)算自電阻值rii：

式中Jz為沿Z軸方向流過電纜橫截面的電流密度矢量。

在計(jì)算出自電阻后，假設(shè)i導(dǎo)體中電流為Ix，j導(dǎo)體中電流為-Ix，則功率損耗Q與互電阻rij的關(guān)系為

自電感Lii和互電感Lij是通過計(jì)算整個(gè)區(qū)域的磁蓄能Wm獲得：

假設(shè)i導(dǎo)體和j導(dǎo)體流過的電流分別是Ii和Ij，其他導(dǎo)體內(nèi)電流為0，則：

2.1.2 求解電容

自電容和互電容是通過在所有非導(dǎo)體區(qū)域內(nèi)解給出狄利克雷邊界條件的拉普拉斯方程獲得電勢分布后求得。

計(jì)算i導(dǎo)體的自電容Cii時(shí)將其表面電位設(shè)為Vi，其他導(dǎo)體表面和鎧裝表面電位均為0，則：

We為在所有非導(dǎo)體區(qū)域Ωm=Ωn+1∪Ωn+2∪…∪Ωn+m內(nèi)的電場蓄能：

互電容Cij則是假設(shè)相應(yīng)的i導(dǎo)體和j導(dǎo)體的表面電位分別為Vi和Vj。

2.1.3 求解電導(dǎo)

電導(dǎo)表征導(dǎo)體周圍介質(zhì)的導(dǎo)電性能，因鎧裝電纜采用的絕緣介質(zhì)，電導(dǎo)值很小趨近于0，本文中假設(shè)其為0。

2.2 頻域方法解模型方程

按上述方法求得模型參數(shù)后，獲得傳輸特性的過程轉(zhuǎn)化為求解模型方程（多導(dǎo)體傳輸線方程）的過程。本文通過相似變換的方法求解多導(dǎo)體傳輸線方程[15]。

假定隨時(shí)間變化的傳輸線的激勵(lì)源是正弦波并已處于穩(wěn)態(tài)。因此，傳輸線上的電壓和電流也是與激勵(lì)源同頻率的正弦波。則多導(dǎo)體傳輸線方程的頻域形式為

其中n×n單位長度阻抗矩陣 Z=R+jωL，導(dǎo)納矩陣Y=G+jωC。

假設(shè)傳輸線是均勻的，即傳輸線橫截面的尺度和傳輸線周圍介質(zhì)的特性沿傳輸線均是不變的（與Z無關(guān)）。將式（16）轉(zhuǎn)化為二階常微分方程

上式方程是互相耦合的。因?yàn)閆Y和YZ是滿秩矩陣，即每一組的電壓 Vi（z）和電流 Ii（z）影響著其他所有組的電壓和電流。求解方法的基本思想是采用相似變換對(duì)方程解耦。

進(jìn)行模量變換：

其中n×n非奇異復(fù)矩陣Tx和Ty定義為傳輸線上實(shí)際的相量電壓V和I與模電壓Vm和Im間的變量變換，則式（17）可變?yōu)?/p>

這里γ2是一個(gè)n×n對(duì)角矩陣：

若能找到變換矩陣Tx和Ty，則式（19）被成功解耦。

因?yàn)閆和Y均為對(duì)稱陣，則ZY的轉(zhuǎn)置即是YZ，有相同的特征值，因此只需找到Tx和Ty中的一個(gè)，就能解耦方程。方程（19）解耦后，參照雙導(dǎo)體傳輸線計(jì)算思路，可得到解為

其中，指數(shù)矩陣定義為

Vm和Im是n×1待定常數(shù)向量，它們與前向、反向橫行波有關(guān)，即：

利用式（18），可以將求得的模電壓和模電流通過變換獲得傳輸線上實(shí)際的電壓和電流：

也可轉(zhuǎn)化為僅用Im表示，即：

其中Im+、Im-在方程解偶后結(jié)合如圖1所示的終端條件，由下式求得：

其中特征阻抗矩陣 Zc=ZTyγ-1Ty-1。 電壓矩陣 VS、VL表征圖1中近端及遠(yuǎn)端的電壓量，阻抗矩陣ZS、ZL表征圖1中近端及遠(yuǎn)端的端接阻抗。

通過上述過程求得長度為z的七芯鎧裝電纜上的電壓、電流值，即可獲得其傳輸特性。

3 模型驗(yàn)證及實(shí)例應(yīng)用

按上述建模方法對(duì)一長度為3 km的七芯鎧裝電纜的傳輸特性進(jìn)行建模仿真，首先使用有限元軟件計(jì)算七芯鎧裝電纜的單位長度分布參數(shù)。

使用三角形有限元對(duì)七芯鎧裝電纜的截面進(jìn)行剖分，在結(jié)構(gòu)尺寸越加精細(xì)的部分進(jìn)行更加精細(xì)的劃分，以滿足計(jì)算精度要求（見圖4）。圖中黑色部分即為結(jié)構(gòu)交界處及精細(xì)結(jié)構(gòu)被進(jìn)行精細(xì)剖分的結(jié)果。各部分材質(zhì)屬性設(shè)置如表1所示，纜芯的材質(zhì)是銅，鎧裝的材質(zhì)是鋼。

圖4 電纜截面剖分效果圖

表1 電纜仿真材質(zhì)屬性

如上文建模方法中所述對(duì)截面區(qū)域內(nèi)的電流密度和電勢分布進(jìn)行了分析（如圖5、圖6所示），可看到電流密度分布和電勢分布受趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)影響明顯，即鎧裝電纜的單位長度分布參數(shù)受頻率影響。通過有限元方法計(jì)算電纜單位長度分布參數(shù)即可將鄰近效應(yīng)和趨膚效應(yīng)的影響納入計(jì)算范圍，得到與實(shí)際狀況相符的結(jié)果。

在使用有限元法獲得電纜單位長度分布參數(shù)后，按2.2中所述方法使用Fortran語言編寫程序解模型方程，如圖1所示，在電纜末端加50Ω匹配電阻，分別以中間芯和外圍芯進(jìn)行信號(hào)傳輸仿真，獲得電纜近端和遠(yuǎn)端傳輸特性。

對(duì)一長度為3 km纏繞在電纜盤上的七芯鎧裝電纜的近端及遠(yuǎn)端傳輸特性進(jìn)行測試，在近端傳輸信號(hào)的纜芯處通過一內(nèi)阻為50 Ω的信號(hào)源輸入幅值為5V的正弦激勵(lì)，其余纜芯通過50Ω的匹配電阻接地，電纜遠(yuǎn)端同仿真模型一樣接以50Ω匹配電阻，逐個(gè)頻率點(diǎn)進(jìn)行測試獲得測試結(jié)果。測試結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)對(duì)比，如圖7～圖9所示。

圖5 相鄰纜芯分別通以1A，-1A（300kHz）電流時(shí)電流密度分布

可以看出電纜近端的仿真結(jié)果可以與實(shí)測數(shù)據(jù)很好的吻合，隨著頻率的增大，衰減也在逐漸增大，在100kHz附近增益約為-6dB。

經(jīng)過3km的傳輸后，外圍纜芯遠(yuǎn)端的仿真結(jié)果也能較好地與實(shí)測數(shù)據(jù)吻合。但可看出幅度增益波動(dòng)劇烈，在100kHz附近波動(dòng)可達(dá)5dB，因而外圍纜芯不適合用于高速傳輸方案，會(huì)產(chǎn)生較高的誤碼率。

圖8 3km電纜外圍芯遠(yuǎn)端傳輸特性

圖9 3km電纜中間芯遠(yuǎn)端傳輸特性

從圖中可看出，中間纜芯遠(yuǎn)端的仿真結(jié)果能更好地與測試結(jié)果吻合，且通過與圖8對(duì)比可看出，中間纜芯衰減更小，幅度曲線更平滑，可以很好地解釋七芯鎧裝電纜應(yīng)用中的經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論：外圍纜芯的傳輸特性更加復(fù)雜多變，且衰減劇烈；比較而言，中間纜芯更適合用于高速通信。

綜上所述，通過文中所用仿真模型可以簡單有效地獲得任意長度七芯鎧裝電纜的傳輸特性，且結(jié)果中的誤差是在假設(shè)整根七芯鎧裝電纜是均勻的，即電纜任意一處橫截面的尺寸和周圍介質(zhì)的特性沿電纜軸向均不變的前提下產(chǎn)生的，這與實(shí)際情況有一定偏差。若對(duì)精度有更高要求，可將長距離鎧裝電纜進(jìn)行分段，每一段的截面尺寸和周圍介質(zhì)屬性根據(jù)實(shí)際情況分別設(shè)置，上一段的輸出作為下一段的輸入進(jìn)行更加精細(xì)的處理，即可根據(jù)需求得到更高的精度。

4 結(jié)束語

本文基于多導(dǎo)體傳輸線理論對(duì)七芯鎧裝電纜的傳輸特性進(jìn)行了建模，采用有限元法計(jì)算模型參數(shù)，通過矩陣轉(zhuǎn)換方法解模型方程，獲得了電纜近端與遠(yuǎn)端的傳輸特性。并以長度為3km的電纜為例，將模型仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，證明了仿真模型的有效性。實(shí)際應(yīng)用中鎧裝電纜沿軸向方向截面特性受多因素影響，并非均勻不變的。為進(jìn)一步提高精度可將電纜截面特性沿軸向變化情況作為模型參數(shù)之一納入考慮范圍，進(jìn)行分段計(jì)算，但精度的提升是以計(jì)算量的增加為代價(jià)的。

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（編輯：李妮）

Simulation research on seven-core armored cable’s transmission characteristics

WANG Junsheng，MENG Wenbo，WEN Xiaozhe，WANG Hongchao
（College of Instrumentation ＆ Electrical Engineering，Jilin University，Changchun 130026，China）

In order to obtain the transmission characteristics of seven-core armored cable of arbitrary length in a cost-effective manner，based on the theory of multiconductor transmission lines，the transmission characteristics of seven-core armored cable were simulated and analyzed.Firstly，the finite elementmethod wasused to calculate the cable unitlength distribution parameters，and the effect of the skin effect and proximity effect caused by steel armor were calculated.Then，the transmission equation of the multiconductor was solved by the similarity transformation idea.Finally，the simulation results of seven-core armored cable with length of 3km were compared with the measured data，which proved the effectiveness of the model.The results show that the transmission characteristics of the outer cable core are more complicated and decay drastically.The transmission characteristics of the inter cable core change more slowly and more suitable for high-speed transmission.

seven-core armored cable；multiconductor transmission line；finite element simulation；transmission characteristics

A

1674-5124（2017）04-0118-07

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.04.025

2016-09-03；

2016-10-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41074074）

王鋆晟（1989-），男，河南平頂山市人，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)榫峦ㄐ偶夹g(shù)。