以動態(tài)問題為例，談如何讓學于生

石春秀

【摘要】本文以作者在蘇州某市上的一節(jié)數學公開課《動態(tài)問題的研究》為例，研究自主學習型生態(tài)課堂教學模式下如何讓學于生，通過事先錄制好微課、編制好學案等形式開展自主學習，從而打造活潑高效的數學課堂，讓學生主動參與，自主構建，進而提升學生整體的學習力。

【關鍵詞】生態(tài)課堂；讓學于生；動態(tài)問題

運動型問題是近年來中考的熱點，探索在運動過程中動點的運動路徑是運動型問題的考查重點。由于動點運動路徑往往不明晰，所以對任何一個年級的學生來講都有一定的難度，尤其是對于初三的學生來說，隨著年級的升高，題目的難度系數加大更成為學生解決問題的一個障礙，所以尋覓通用的方法對學生來講至關重要。在學生的認知結構里，他們更喜歡接受靜止的事物，所以我們需要賦予學生“以靜制動”的思想來解決這一類問題，即交給學生通用的解決此類問題的方法，這樣才能夠事半功倍。將處理起來有難度的動態(tài)問題轉化為容易解決的靜態(tài)問題是解決這類問題的有效辦法，教師的教學智慧正在于此，不是講解一個題目，而是交給一種方法，用“解決方法”開啟學生的智慧，學生才能透過一棵樹看到一片森林，這樣的數學學習才會是輕松和快樂的，才能夠在真正意義上實現讓學于生。

動態(tài)問題一直是困擾學生的一個數學難點，學生解決起來要么無從著手，要么丟掉答案，鑒于學生學習動點問題的障礙，我采用“讓生于學、先學后教”，借助微課、幾何畫板、學案的形式展開，轉變以往的“教師講、學生聽”的傳統授課模式，通過改變教育形式展開動態(tài)問題的研究，學生的學習效率變高了。

一、在預習課中充分利用翻轉課堂，引領學生自學

通過微課制作，引導學生課前自主預習，這是本節(jié)課讓學于生的開端。作為數學教師，跳出教育看教育，跳出數學看數學，我們的目的是發(fā)展好每一個學生的數學能力，培養(yǎng)好每一位學生的數學思維，進而讓數學學習成為學生整體素質提升的一個增長點。只有源于學生內在的激發(fā)才是最有效的學習動機，自主學習不僅僅是一種學習方式，更是學生學習能力的體現。作為教師，要做到讓學于生，把培養(yǎng)學生自主學習能力列為課程目標。隨著生態(tài)課堂的提出，當翻轉課堂步入人們的視野時，我們深刻地感受到教育界又一場適合學生發(fā)展的教育改革已然拉開了序幕。通過微課的設計拉開動態(tài)問題的研究是符合學生學習成長的心理認知的，它會更大限度的激發(fā)學生的內在潛能。

動態(tài)型問題微課設計：（時間10分鐘）。

教師微課旁白：

“同學們好，數學因為運動才充滿了活力。動態(tài)能問題是中考的熱點問題，這類問題涉及的知識面廣、信息量大、綜合性強，在解答時我們要用運動和變化的眼光去審視問題，把握圖形運動、變化的全過程，認清變化過程中的本質，抓住運動中不同階段中的臨界情況，將動態(tài)問題轉化為靜態(tài)問題，在解答時，我們常用到分類討論、數形結合、函數方程等數學思想方法。

同學們是否聽到了幾個關鍵句：用運動和變化的眼光去審視問題、抓住運動中不同階段中的臨界情況、將動態(tài)問題轉化為靜態(tài)問題，接下來，我們用“以靜制動”的思路來解決這類問題?！?/p>

呈現一道經典例題：（線段中的動態(tài)問題）。

如圖，已知A、B、C是數軸上的三點，點C表示的數為6，BC=4，AB=12。

（1）寫出數軸上點A、B表示的數；

（2）動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以每秒6個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，M為AP的中點，點N在線段CQ上，且CN=CQ，設運動時間為t（t>0）秒。

①數軸上點M、N表示的數（用含t的式子表示）；

②t為何值時，原點O恰為線段PQ的中點？

（本題的關鍵點是點P、點Q都是動點，此題主要考查了數軸以及線段的計算，解決問題的關鍵是根據題意正確畫出圖形，學生要考慮各種情況，不要漏解。）

設計意圖：

新課程標準指出：“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發(fā)揮數學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用?！睌祵W教師要為學生的學習搭設橋梁，通過教師這座橋梁，讓學生找到解決問題的辦法，從而主動學習。而教師不是知識的搬運工，而是要通過適當的形式來激發(fā)學生的主動性，通過課前的有效設計，讓學生大膽地走進自主學習，鼓勵學生大膽地質疑和思考，通過自主學習這條有效的途徑，培養(yǎng)學生的思考力、創(chuàng)造力。在微元素流行的今天，我們要把握好微課的目的，要以人為本，培養(yǎng)學生學習的興趣。

在翻轉課堂的前提下，教師要用心為學生營造良好的學習環(huán)境，營造民主、開放、寬松的學習氛圍，讓學生在自主和諧中逐漸提升素養(yǎng)，激發(fā)學生的求知欲望，這是對傳統的填鴨式教學最好的一種改進，適合當下教育的發(fā)展，更能夠最大限度地激發(fā)學生整體素養(yǎng)的提升。

通過微課的觀看，能夠讓學生掌握數學動態(tài)問題的解決關鍵——動中取靜，化難為易。讓生于學，體現生態(tài)數學課堂的理念，給學生一個空間，讓學生自己往前走；給學生一個條件，讓他們自己去鍛煉；給學生一個時間，讓他們自己去安排；給學生一個問題，讓他們自己去找答案；給學生一個沖突，讓他們自己去討論。

二、課中通過幾何畫板和學案讓學生自主探究，引領學生自悟

自主學習型生態(tài)課堂教學模式強調主動性學習、合作性學習、探究性學習、體驗性學習、反思性學習等學習行為，全校教師要樹立科學的課堂教學觀，轉變教學方式，使“以學定教”形成共識，進而轉變學生的學習方式，引導、幫助學生認同自主學習、學會自主學習、養(yǎng)成自主學習的良好習慣。

課堂中通過觀看微課，采取學案的形式展開，實現如下的生態(tài)課堂構建的目標：①以學定教，先學后教；②先獨后合，先練后講；③自主學習，自主探究；④合作互助，展示質疑；⑤多學少教，保障時空；⑥精講精練，思維高質；⑦當堂檢測，補償提升；⑧釋疑建構，總結提煉。通過上述方式實現讓學于生的生態(tài)課堂的教與學的目標，讓課堂上的師生激情昂揚、活力四射。教師應關注到學生全體，讓每個孩子都感受到學以致用的價值。

1.例題探究

如圖1，一副三角板的兩個直角重疊在一起，∠A=30°，∠C=45°，△COD固定不動，△AOB繞著O點順時針旋轉α°（0°<α<180° ）.

（1）若△AOB繞著O點旋轉到圖2的位置，若∠BOD=60°，則∠AOC=？；（2）若0°<α<90°，在旋轉的過程中∠BOD+ ∠AOC的值會發(fā)生變化嗎？若不變化，請求出這個定值；（3）若90°<α<180°，問題（2）中的結論還成立嗎？說明理由；（4）將△AOB繞點O逆時針旋轉α度（0°<α<180°），問當α為多少度時，兩個三角形至少有一組邊所在的直線垂直？（請直接寫出所有答案）。

鋪設臺階，先研究如下的問題。

兩塊三角板△FOE、△MON如右圖放置，直角頂點重合于點O，將30°、60°、90°這塊三角板固定不動，另外一塊45°、45°、90°的三角板繞著直角頂點O逆時針旋轉，在旋轉的過程中找出邊MN與△FOE的邊垂直的情況，MN與△FOE的邊平行的情況。

探索：

幾何畫板呈現，學生通過轉動手中的兩塊三角板來尋找答案，并將結論的各種情況畫在備用圖上。

備用圖（為學生提供如右圖式的八個直角三角形）

設計反思：

知識的積累需要一個過程，這個過程的主要因素是學生自我的不斷內化，不斷吸收，不斷創(chuàng)新，只有學習個體積極主動的學習才會積極主動的思考，才會在不斷的認知和沖突中不斷地形成思維障礙，進而又不斷克服障礙，這個過程就是學生思維內化的有效過程。自主學習表現在學生具有積極的求知欲，主動的思考，進而培養(yǎng)學生的創(chuàng)造意識和探索能力。作為新時期的教師，首先要明確這一觀念。在教學中只有樹立正確而科學的教學理念，給更多學生動手的機會、參與的機會，才能夠讓學生的思維處于興奮的狀態(tài)，這種以學習者為中心的教學方式是學生喜歡的，更是學生樂于接受的。讓學于生，學生才會在課堂上既學習了數學，又發(fā)現了數學，既增長了知識，又提升了能力。

要知道數學知識本身是嚴謹的，但數學課堂結構應該是靈活、多樣的。在教學過程中，教師的作用是要形成一種使學生能夠獨立自主探究的情境，而不是古板地再現知識，以問題的形式激發(fā)學生的求知欲望。

2.延伸拓展

（1）如圖5，點A在線段DB上，在線段DB的同側做邊長分別為1和4的等邊△ADE和等邊△ABC，連接BE，CE，△ADE在繞點A順時針旋轉的過程中，求△BCE面積的最小值為多少。

（2）如圖6，邊長為1的正方形AEFG的邊AG在邊長為4的正方形ABCD的邊AD上，連接BG，DG，正方形AEFG在繞點A順時針旋轉過程中，△BDF面積的最小值為多少。

設計目的：

建構式生態(tài)課堂的理念滲透，激發(fā)學生的數學思維。

每個學生都有很強的獨立學習的能力，甚至在每個學生的內心深處都有著強烈的表現力，在自我向好愿望的激發(fā)下，學生更希望在同學和老師面前展現自己，證明自己。作為數學教師，要深刻的利用學生這樣的心理特點，充分利用各種因素創(chuàng)造條件讓學生積極主動的發(fā)展，設置有一定思維難度、學生跳一跳就可以解決的題目，這才是真正的以學定教。自主學習型生態(tài)課堂，力求培養(yǎng)學生的學習能力，教師更應該在題目給出之后采用讓學生主動參與，相互協作的方式，這樣可以更好地讓學生獲取知識，聽到同學們討論的聲音。這樣的課堂既有學生的獨立自主，又有學生之間的相互協作，讓學生主動探索數學知識的勇氣不斷增強，在學生求知欲不斷激活的過程中，教師適當點撥，引導學生思考探索，自己尋找解決問題的方法。

波利亞曾經指出：“學生的數學思維只能在學生自己的頭腦中產生，而教師只能起到一個‘助產婆 的作用。”讓學于生的數學課堂，要轉變教師的教學意識和教學行為，讓教師的角色從知識的傳授者過渡到課堂教學活動的引導者和啟發(fā)者，這比教師直接將知識倒給學生更有效果，對激發(fā)和培養(yǎng)學生思維的積極性和創(chuàng)造性都會起到啟迪和開拓的作用，在無形中促進學生數學素養(yǎng)的整體提升。

3.課堂小結、當堂檢測、課外延伸

課堂的最后一個環(huán)節(jié)，學生通過微課、幾何畫板對動態(tài)問題進行溫故知新后的課堂小結、當堂檢測、課外延伸，讓學生清楚地知道自己一節(jié)課的學習效果，并用自己的語言表述自己的收獲，這些都是對學生數學素養(yǎng)提升的一個很好的訓練。

更多的時候，教師可能更注重數學知識形成過程的探究，注重對例題的選取，而忽略了對學生整體情況的知曉。在本節(jié)課知識探索過后，學生已經對動態(tài)問題有了一定的掌握，首先，在小結部分，教師要認真傾聽學生的總結，關注到不同學生的總結情況，而不是教師一言堂的代勞。其次，我們在下課前要預留一定的時間，完成當堂檢測環(huán)節(jié)，教師事先要設置好典型性的檢測題目，選題時要針對本節(jié)課的重點，習題中要設置和本節(jié)課知識點緊密相扣的題目，當堂檢測，這樣就可以利用較短的時間真實而充分地了解每個學生的學習情況。最后一個過程，很多時候隨著課堂小結的結束，一堂課就畫上了句號，殊不知課后的思考環(huán)節(jié)更是對學生思維提升一個不可或缺的環(huán)節(jié)，教師用心的設置一道延伸拓展的題目，使學生的思維不因為課堂內容的結束而然而止，學生的思維無論在課上還是在課下都應處在積極的狀態(tài)中。當然這道題目的設置需要教師縱觀一堂課的全局，事先預設學生的學習情況，有針對性地選擇切實的數學題目。

改變思路，改變觀念，是自主學習型生態(tài)課堂的根基，只有教師的意識改變了，才會促進教學實踐的不斷改變，學生自主學習能力才會大幅度提高。

設計目的：

數學由于學科特點和各種因素的制約，很多學生帶著恐懼情緒學習，故教師要積極克服學生這種消極的學習狀態(tài)，通過教育的智慧讓學生從被動學習轉變?yōu)橹鲃犹剿鳌Ｔ谧寣W于生的生態(tài)課堂中，教師的教育角色是多樣的，教師既是教學的組織者，也是學生學習上的伙伴；教師既是教學的指導者，也是學生學習的參與者。引導學生思考，讓主動探究成為數學學習的習慣，培養(yǎng)學生敢提出問題，再培養(yǎng)學生學會提出問題。學生通過自我學習，通過自身的探索思考逐漸找到解決問題的辦法，就能慢慢培養(yǎng)起學生自主學習的習慣。

三、課后自主復習實現知識的再遷移、再內化

通過教師根據一節(jié)課學習的內容精心設置的數學題目，讓學生對學習進行有效回顧，自主梳理，知識的再遷移、再內化。

1.點C在射線AB上，點D為線段BC的中點，已知AB=6，以C為端點的所有線段之和為11，求線段BD的長。

2.（南充市中考題）在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，把一個三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B。

（1）求證：MA=MB；

（2）連接AB，探究：在旋轉三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由。

教后反思：

“自主學習型生態(tài)課堂教學模式” 課題在數學復習課中要倡導“三自六步”生態(tài)課堂體系，“三自”，即課前自主預習、課中自主探究、課后自主復習。教師要處理好以下幾個關系，預習與指導、學習與探究、交流與合作、講解與精煉、實踐與應用的關系。“六步”，即示、導、學、講、用、練。示——預習匯報，展示成果；導——明確目標，嘗試探索；學——自主學習，合作探究；講——釋疑解難，歸納總結；用——實踐運用，檢測鞏固；聯——拓展延伸，訓練提高?！叭粤健保瑑韧饴搫?，通過以上的教學改革激發(fā)學生的自主學習能力，在學習中主動拓展與提高，養(yǎng)成知識遷移的習慣。

很喜歡一句話，讓思想與教育同行，作為數學教師，我們要引導每個學生積極主動的探究、積極主動的思考，通過自己教育觀念的轉變來引導學生學習行為的轉變，帶領學生幸福的行進在數學的學習天地，這不僅是我們的責任，更是我們的使命。

如果把數學問題當作一顆顆珍珠，讓學于生就是那顆最璀璨而明亮的珍珠，在自主學習型生態(tài)課堂模式的建構下，我們要將教育思想與自己的數學教育緊密結合，通過數學自身的魅力，陶冶學生的思想情操，通過數學思維方法的滲透，培養(yǎng)學生開拓、創(chuàng)新的精神，激發(fā)學生內在的主動意識，潛移默化的培養(yǎng)學生良好的數學學習品質，這才是數學教育最大的育人價值。