利用數(shù)學(xué)模型打造中職數(shù)學(xué)高效課堂

周輝君

【摘 要】本文分析在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)的幾種數(shù)學(xué)模型，并探究如何利用數(shù)學(xué)模型打造中職數(shù)學(xué)高效課堂的四種策略：引導(dǎo)學(xué)生自主探究、改編習(xí)題、鏈接生活、結(jié)合專(zhuān)業(yè)深入發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型 中職數(shù)學(xué) 高效課堂

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）05B-0134-02

中職生群體具有一定的特殊性，他們中的大多數(shù)人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，學(xué)習(xí)主動(dòng)性也不高，因此中職數(shù)學(xué)的高效課堂一直難以實(shí)現(xiàn)。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，充分利用數(shù)學(xué)模型能夠有助于提高學(xué)生的解題效率，有效提高中職生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，高效課堂由此形成。

一、數(shù)學(xué)建模的思想概述

數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，從數(shù)學(xué)角度來(lái)反映實(shí)際問(wèn)題，從而得出關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述。數(shù)學(xué)建模的形式多樣，可以是方程或方程組、不等式，也可以是函數(shù)、幾何圖形等。學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升大有益處。下面介紹幾種數(shù)學(xué)模型及相關(guān)問(wèn)題的歸類(lèi)：

方程（組）一般涉及的問(wèn)題有：工程、行程、質(zhì)量分?jǐn)?shù)、增長(zhǎng)率（降低率）、利息、存貸、調(diào)配、面積等。

函數(shù)一般涉及的問(wèn)題有：方案優(yōu)化、風(fēng)險(xiǎn)估算、成本最低以及利潤(rùn)最大。

不等式、統(tǒng)計(jì)、概率等模型一般涉及的問(wèn)題有：最佳設(shè)計(jì)、租金預(yù)算、合理調(diào)配、人口、環(huán)保、投資估算等。

直角三角形模型一般涉及的問(wèn)題有：測(cè)高量距、航海、氣象、圖形設(shè)計(jì)、土地測(cè)量、堤壩設(shè)計(jì)、房屋設(shè)計(jì)等。

線性規(guī)劃初步模型一般涉及的問(wèn)題有：產(chǎn)品成本、銷(xiāo)售盈虧、投資獲利、城市規(guī)劃、產(chǎn)業(yè)預(yù)估、利潤(rùn)分配、生產(chǎn)方案設(shè)計(jì)等。

二、利用數(shù)學(xué)模型打造高效課堂策略

（一）引導(dǎo)學(xué)生自主探究

由于中職生的自制力較差，缺乏毅力和鉆研精神，上課時(shí)習(xí)慣于“走馬觀花”，因此學(xué)習(xí)效率低下，即使教師剛講完某道題的解題方法，下次遇到同類(lèi)問(wèn)題時(shí)依然有不少學(xué)生還會(huì)做錯(cuò)。因此筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)引入數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入探究，通過(guò)提煉數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的解題效率。

如筆者在對(duì)《概率與統(tǒng)計(jì)初步》這一章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，提出了一道關(guān)于抽獎(jiǎng)的探究性概率問(wèn)題，以考查學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的理解與應(yīng)用程度。

問(wèn)題 1：在日常生活中有各種各樣的抽獎(jiǎng)方式，其中有一種抽獎(jiǎng)方式為抽簽，每個(gè)人選擇的順序不同，但獲獎(jiǎng)的概率是否相同呢，這種抽獎(jiǎng)方式是否公平呢？

問(wèn)題提出后，學(xué)生展開(kāi)了激烈討論，有的學(xué)生認(rèn)為公平，有的學(xué)生認(rèn)為不公平，但是大家都沒(méi)有通過(guò)精確的計(jì)算來(lái)證明自己的結(jié)論，而只是給了直覺(jué)上的答案。因此筆者讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證自己的結(jié)論，并找出這一抽獎(jiǎng)方式的概率模型。假設(shè)有 m 個(gè)人抽獎(jiǎng)，共有 n 個(gè)不一樣的簽，而其中有獎(jiǎng)的只有 k 個(gè)。一開(kāi)始有學(xué)生回答：“隨著 m 個(gè)人的抽獎(jiǎng)順序，概率依次為，每個(gè)人得獎(jiǎng)的概率不同，所以不公平?！惫P者進(jìn)一步提示：這道題用這個(gè)模型來(lái)解答對(duì)不對(duì)？經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的深度思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)人抽獎(jiǎng)的結(jié)果有兩種可能，所以要分情況考慮：當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人抽獎(jiǎng)時(shí)，他的中獎(jiǎng)概率為，第二個(gè)人抽獎(jiǎng)時(shí)，若第一個(gè)人中獎(jiǎng)，則他中獎(jiǎng)概率為，若第一個(gè)人沒(méi)中獎(jiǎng)，則第二個(gè)抽獎(jiǎng)人的中獎(jiǎng)概率為，所以綜合兩種情況來(lái)看，第二個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為，即每個(gè)人獲獎(jiǎng)概率均為，所以這種抽獎(jiǎng)的方式是公平。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概率問(wèn)題進(jìn)行深入探究，使學(xué)生成功構(gòu)建了抽獎(jiǎng)的概率模型，既能培養(yǎng)學(xué)生的鉆研與自主探究的精神，還使課堂教學(xué)變得更高效。

（二）利用數(shù)學(xué)模型一題多改

數(shù)學(xué)模型是一種運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)的科學(xué)或工程模型。熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，將有助于促進(jìn)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，從而提高解題效率。因此中職數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過(guò)程中要利用數(shù)學(xué)模型對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行變式，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)舉一反三，融會(huì)貫通，進(jìn)而高效地完成教學(xué)目標(biāo)。

比如筆者在對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)習(xí)題練習(xí)建立二次函數(shù)的模型及應(yīng)用模型，學(xué)會(huì)解決用量最省、造價(jià)最低、利潤(rùn)最大等問(wèn)題。

問(wèn)題 2：某酒店有 100 間客房，每間客房房租均為 80 元每天，每天客房住滿無(wú)剩余?，F(xiàn)酒店管理員想提高房租價(jià)格，若每間房租提高 10 元，客房租數(shù)會(huì)減少 5 間。不考慮其他因素，若想要酒店的收入最高，房租應(yīng)定價(jià)多少？

這道習(xí)題是考查二次函數(shù)的典型例題，可設(shè)總收入為 y，房租提高 x 個(gè) 10 元，那么 y=（80+10x）（300-5x），然后求此二次函數(shù)最大值及其對(duì)應(yīng)的 x 值，則酒店收入最高時(shí)的房租即為80+10x。為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)熟練構(gòu)建二次函數(shù)的定價(jià)模型，筆者對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了改編：某雜志以每本 10 元價(jià)格出售，可售出 2 萬(wàn)本，價(jià)格每提高 1 元?jiǎng)t售出量減少 1000 本，為獲得最高收入，該雜志應(yīng)定價(jià)為多少元一本。改編后的問(wèn)題與之前問(wèn)題為一類(lèi)，可以通過(guò)原例題中構(gòu)建出的數(shù)學(xué)模型順利求解，通過(guò)這樣變式練習(xí)，學(xué)生能夠進(jìn)一步深入理解并掌握二次函數(shù)的定價(jià)模型。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)進(jìn)行習(xí)題改編，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)，使他們能夠自我挖掘并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，很好的滲透了數(shù)學(xué)建模的思想。

（三）鏈接生活，強(qiáng)化應(yīng)用

陶行知先生曾提出過(guò)“生活即教育”的教育理論，主張教學(xué)要與生活實(shí)踐相結(jié)合。教師授課時(shí)也應(yīng)當(dāng)從生活實(shí)踐出發(fā)，通過(guò)鏈接生活中的具體例子，將生活引入課堂。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從生活原型中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)際的統(tǒng)一，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育。

比如學(xué)習(xí)《函數(shù)》這一章節(jié)的內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)模型在生活中的巨大用處，筆者聯(lián)系生活設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

筆者首先講到：“同學(xué)們應(yīng)該都知道貸款這一借款方式吧，現(xiàn)在很多的車(chē)貸、房貸一族，都是通過(guò)向銀行貸款并分期按時(shí)償還本金及利息實(shí)現(xiàn)的，同學(xué)們就業(yè)后很可能也會(huì)去向銀行貸款，那你們想不想了解貸款呢？”這個(gè)與生活息息相關(guān)的話題成功引起了學(xué)生的興趣與求知欲，接下來(lái)筆者布置任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究：

問(wèn)題 3：小明準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一輛轎車(chē)，需向銀行貸款 8 萬(wàn)元，按復(fù)利計(jì)息，已知年利率為 8%，貸款期為 10 年，小明每年穩(wěn)定可有 9000 元的結(jié)余，若按年計(jì)息并還款，小明是否具有償還能力？

由于貸款+利息總額=還款總額，所以可以列方程為：8（1+8%）10=x（1+8%）9+x（1+8%）8+…+x=，最后解得 x=1.2，即每年結(jié)余 1.2 萬(wàn)元時(shí)才具有足夠的償還能力，小明目前不具有償還能力。接下來(lái)筆者讓學(xué)生總結(jié)出這一貸款方式的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生通過(guò)分析、思考與討論，最終得到了正確結(jié)論：a=（1+r）n=x（1+r）n-1+x（1+r）n-2+…+x，x=，其中 a為借款總額，r 為年利率，n 為償還期，x 為每年最低的結(jié)余。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)聯(lián)系生活實(shí)際引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的生活化，激發(fā)了學(xué)生應(yīng)用建模思想解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，取得了很好的教學(xué)效果。

（四）結(jié)合專(zhuān)業(yè)，深化發(fā)展

教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)善于以中職生的專(zhuān)業(yè)背景為基礎(chǔ)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，通過(guò)結(jié)合專(zhuān)業(yè)課中的數(shù)學(xué)問(wèn)題介紹建模方法，切實(shí)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力與重要性，引發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的重視，深化其發(fā)展。

比如筆者在對(duì)機(jī)電專(zhuān)業(yè)、數(shù)控專(zhuān)業(yè)的學(xué)生進(jìn)行教學(xué)時(shí)，非常注重培養(yǎng)學(xué)生作圖和用三角函數(shù)計(jì)算的能力。在《三角函數(shù)》這一章節(jié)的教學(xué)中，筆者要求這些專(zhuān)業(yè)的學(xué)生較旅游、漢語(yǔ)等專(zhuān)業(yè)的學(xué)生要更加深層次的掌握，這一章節(jié)的教學(xué)課時(shí)也會(huì)相應(yīng)的加大。此外，筆者在教學(xué)時(shí)還會(huì)根據(jù)學(xué)生的專(zhuān)業(yè)課內(nèi)容設(shè)計(jì)三角函數(shù)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算與練習(xí)，結(jié)合其專(zhuān)業(yè)滲透數(shù)學(xué)建模的思想。例如筆者在對(duì)機(jī)電專(zhuān)業(yè)進(jìn)行三角函數(shù)教學(xué)時(shí)，設(shè)計(jì)如下練習(xí)：

問(wèn)題 4：直徑為 20cm 的滑輪，每秒旋轉(zhuǎn) 45°，求滑輪上一點(diǎn) 5s 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)。

，5s 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為：，弧長(zhǎng)=弧度×半徑=，學(xué)生通常在弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化上存在一定的困難，通過(guò)聯(lián)系學(xué)生專(zhuān)業(yè)知識(shí)設(shè)計(jì)習(xí)題，不僅進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，而且能夠強(qiáng)化應(yīng)用。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)結(jié)合學(xué)生專(zhuān)業(yè)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，不僅向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)建模是思想，而且能夠?yàn)樗麄兊膶?zhuān)業(yè)知識(shí)打好基礎(chǔ)，通過(guò)靈活的教學(xué)方式，實(shí)現(xiàn)了高效的數(shù)學(xué)課堂。

綜上所述，教師在教學(xué)時(shí)，通過(guò)引導(dǎo)探究、習(xí)題改編、鏈接生活、結(jié)合專(zhuān)業(yè)這四種策略，能夠有效地在中職數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型求解問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而提高教學(xué)的質(zhì)量，構(gòu)建高效的中職數(shù)學(xué)課堂。

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（責(zé)編 韋 力）