借助數(shù)形結(jié)合巧建幾何直觀

梅燕

新標(biāo)準(zhǔn)“圖形與幾何”部分課程核心內(nèi)容首次提出在義務(wù)教育階段應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力?？梢妿缀沃庇^方面的研究是極其重要又與時(shí)俱進(jìn)的。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。小學(xué)階段，主要的研究對(duì)象，一個(gè)是數(shù)、字母，另一個(gè)就是圖形。該如何借助圖形獲得最大的教育價(jià)值，這是作為數(shù)學(xué)工作者應(yīng)該思考的一件事情。

在數(shù)學(xué)中建立學(xué)生的幾何直觀，要先從直觀教學(xué)開始，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用畫圖的策略分析題意，解決簡單的實(shí)際問題，逐步上升到能將直觀圖與數(shù)學(xué)語言、符號(hào)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并逐步在解決數(shù)學(xué)問題的過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，感悟數(shù)與形、形與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化。

一、重視畫圖策略的教學(xué)，直觀感知數(shù)學(xué)知識(shí)

為什么要重視畫圖的策略？第一，要充分發(fā)揮圖形帶來的好處。第二，要讓孩子主動(dòng)借助畫圖。第三，重視變換，把握?qǐng)D形與圖形的關(guān)系。第四，要在學(xué)生的頭腦中留住些圖形。

蘇教版四年級(jí)（下冊(cè)）《解決問題的策略》，主要教學(xué)用畫直觀示意圖的方法解決有關(guān)面積計(jì)算的實(shí)際問題。例：梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8米，在修建校園時(shí)，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？學(xué)生讀完例題，首先想到了解題還缺少原來的寬是多少這一條件，有很多學(xué)生無從下手，不會(huì)主動(dòng)想到用畫圖的策略分析數(shù)量關(guān)系。這時(shí)需要教師引導(dǎo)學(xué)生想到畫圖和鼓勵(lì)學(xué)生嘗試畫示意圖表示已知條件與問題，并通過充分交流，完善畫出的示意圖，這里的示意圖不僅能表示出條件和問題，而且能清楚地看出增加的小長方形的長就是所需條件——原來的寬。借助示意圖清楚地體現(xiàn)出僅憑頭腦不易想到的數(shù)量關(guān)系，列式解答后，再讓學(xué)生結(jié)合算式和示意圖說說解題思路，最后反思畫圖策略的價(jià)值，突出示意圖對(duì)解決該類面積問題的重要作用。

二、概念教學(xué)利用圖形滲透幾何直觀

在概念教學(xué)中，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，靈活滲透幾何直觀。在教學(xué)中可以尋求各種途徑與方法使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到圖形對(duì)概念理解、尋求解決辦法帶來的益處。很多有關(guān)概念問題在解決時(shí)能畫圖的盡量畫圖，把思考對(duì)象變得直觀，便于展開形象思維，這有助于將抽象的對(duì)象“圖形化”。比如，在教學(xué)倍的概念時(shí)，提出問題：8是2的幾倍？讓學(xué)生用自己喜歡的簡單圖形表示8，然后每兩個(gè)一份圈一圈，這時(shí)學(xué)生能直觀看出8里面有4個(gè)2，即8是2的4倍。這樣為抽象的倍的概念建立了具體的表象，便于學(xué)生理解和掌握。有這樣的基礎(chǔ)，以后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的“和倍、差倍”問題時(shí)，學(xué)生也會(huì)主動(dòng)想到運(yùn)用圖形幫助解決問題。

三、運(yùn)用幾何直觀理解數(shù)的意義

數(shù)的意義的理解與數(shù)感密切相關(guān)，數(shù)的概念本身是抽象的，學(xué)生理解和掌握數(shù)的意義要經(jīng)歷一個(gè)過程。在數(shù)的教學(xué)中，我們不僅要選擇學(xué)生熟悉的情境認(rèn)識(shí)數(shù)，還可以引導(dǎo)學(xué)生通過擺小棒、畫計(jì)數(shù)器上的珠、在直線上描點(diǎn)等一系列的幾何直觀活動(dòng)，深刻把握數(shù)的意義，逐步提高對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)。

例如，五年級(jí)下冊(cè)第四單元教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》一課，練一練中有這樣一題：分?jǐn)?shù)也可以用直線上的點(diǎn)來表示。你能在括號(hào)里填上分?jǐn)?shù)嗎？

教學(xué)時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生說說從哪兒到哪兒是“1”，而把“1”平均分后就可以表示不同的分?jǐn)?shù)，由此，要求學(xué)生在括號(hào)里填合適的分?jǐn)?shù)，進(jìn)而啟發(fā)：為什么左起第一個(gè)括號(hào)里既可以填2/3，又能填1/3？第二個(gè)括號(hào)除了填4/6，還可以填幾分之幾？該題通過用直線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)，使學(xué)生更加清楚地理解分?jǐn)?shù)是把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，也有利于學(xué)生更好地把握分?jǐn)?shù)和整數(shù)的關(guān)系，直觀感受分?jǐn)?shù)的大小，知道分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是整數(shù)發(fā)展的必然結(jié)果。同時(shí)，學(xué)生能夠直觀看出2/6與1/3相等，為以后學(xué)習(xí)通分和約分埋下伏筆。

四、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)手段，通過畫圖（線段圖、面積圖、示意圖等）將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。例如，蘇教版五年級(jí)（下冊(cè)）安排了《用轉(zhuǎn)化的策略解決實(shí)際問題》，例2是一個(gè)有關(guān)計(jì)算的問題，給出的算式是有規(guī)律的：幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母分別是2、4、8、16，要計(jì)算出這幾個(gè)分?jǐn)?shù)連加的和。

具體可以分三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。一是指導(dǎo)看圖，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。呈現(xiàn)算式后，教師可以給學(xué)生一些思考的時(shí)間和空間，學(xué)生一般會(huì)應(yīng)用通分的方法。這時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生思考其他方法，當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，出示直觀圖，先結(jié)合各個(gè)分?jǐn)?shù)理解直觀圖中各部分的意義，再啟發(fā)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為1-1/16進(jìn)行計(jì)算。二是適當(dāng)拓展，突出直觀。教師將算式拓展到1+1/2+1/4+1/8+…+1/128要求學(xué)生選擇上面的方法進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生一般會(huì)根據(jù)畫直觀圖的方法，將算式轉(zhuǎn)化為1-1/128進(jìn)行計(jì)算。三是深度思考，強(qiáng)化直觀。教師可以啟發(fā)學(xué)生觀察分母的特點(diǎn)，在直觀圖上先把正方形平均分成2份，取其中的1份；再把剩下的圖形平均分成2份，取其中的1份……最后分出的圖形與剩下的圖形相等，借助直觀圖，要求涂色部分的大小，只要用單位“1”減去剩下圖形的大小。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，而數(shù)形結(jié)合的思想就是抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì)數(shù)與形。“數(shù)”與“形”是事物的兩個(gè)側(cè)面，數(shù)形結(jié)合可以幫助我們認(rèn)識(shí)事物的特征，揭示其規(guī)律。將抽象的數(shù)與具體的形結(jié)合在一起，從而巧妙幫助學(xué)生建立幾何直觀。

[作者單位：揚(yáng)州市江都區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬小學(xué) 江蘇]