豪斯道夫微積分和分?jǐn)?shù)階微積分模型的分形分析

摘要： 清晰解讀豪斯道夫微積分和分?jǐn)?shù)階微積分階數(shù)的分形維意義，并比較這2種微積分建模方法的區(qū)別與聯(lián)系.這是首次清晰定量地導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階微積分的分形幾何基礎(chǔ).提供豪斯道夫?qū)?shù)模型描述歷史依賴(lài)過(guò)程的幾何解釋?zhuān)闯跏紩r(shí)刻依賴(lài)性問(wèn)題，并與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型對(duì)比.基于本文作者的早期工作，詳細(xì)描述非歐幾里得距離的豪斯道夫分形距離定義——豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散方程的基本解就是基于該豪斯道夫分形距離.該基本解實(shí)質(zhì)上就是目前廣泛使用的伸展高斯分布和伸展指數(shù)衰減統(tǒng)計(jì)模型.

關(guān)鍵詞： 豪斯道夫?qū)?shù)； 豪斯道夫微積分； 分?jǐn)?shù)階微積分； 非歐幾里得距離； 結(jié)構(gòu)距離； 豪斯道夫分形距離； 基本解

中圖分類(lèi)號(hào)： O39； O241.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

0 引 言

分形幾何[1]在科學(xué)與工程中廣泛而深入的應(yīng)用需要相應(yīng)的微積分建模工具.20世紀(jì)80年代發(fā)展起來(lái)的分形分析方法[2]是這方面的理論嘗試，但其數(shù)學(xué)表達(dá)復(fù)雜，難以用于實(shí)際問(wèn)題的建模.近年來(lái)非常流行的分?jǐn)?shù)階微積分方法與分形幾何的內(nèi)在聯(lián)系，理論上研究得還不是很清楚，尤其是有關(guān)的定量分析不成熟.[34]

本文作者[5]引入了豪斯道夫分形導(dǎo)數(shù)，近年來(lái)已成功用于水利學(xué)、蠕變、松弛、核磁共振、反常擴(kuò)散、經(jīng)濟(jì)學(xué)等問(wèn)題[611].豪斯道夫?qū)?shù)的基本概念數(shù)學(xué)上非常簡(jiǎn)單，是一個(gè)局部算子，比非局部的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)計(jì)算量大幅度減少.從豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散方程能夠直接推出目前廣泛使用的伸展高斯分布和伸展指數(shù)衰減，后者也被稱(chēng)為非德拜衰減、伸展松弛或KohlrauschWilliamsWatts（KWW） stretched Gaussian，其統(tǒng)計(jì)力學(xué)基礎(chǔ)非常清晰，與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的列維分布和MittagLeffler函數(shù)（本文簡(jiǎn)稱(chēng)ML）衰減的統(tǒng)計(jì)背景完全不同.[12]

最近的研究發(fā)現(xiàn)豪斯道夫?qū)?shù)與俄羅斯TARASOV[13]和美國(guó)LI等[14]學(xué)者分別提出的分形導(dǎo)數(shù)方法實(shí)質(zhì)上是等價(jià)的[15]，但他們的研究基本圍繞著空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)展開(kāi).目前，豪斯道夫分形導(dǎo)數(shù)方法的研究和應(yīng)用還很不成熟，主要問(wèn)題有：（1）豪斯道夫?qū)?shù)與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系缺乏深入的分析；（2）豪斯道夫微積分的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論還不是很清楚.

對(duì)以上所提的幾個(gè)問(wèn)題，本文嘗試做一些探索研究.第1節(jié)引入豪斯道夫分形距離的概念，基于豪斯道夫分形距離給出豪斯道夫?qū)?shù)微分方程的基本解，建立豪斯道夫?qū)?shù)方法的非歐幾里得距離理論；第2節(jié)從基本定義出發(fā)，分析豪斯道夫與分?jǐn)?shù)階微積分的區(qū)別與聯(lián)系及其分形幾何基礎(chǔ)；第3節(jié)從幾何坐標(biāo)源點(diǎn)依賴(lài)性、歷史依賴(lài)和非局部性等問(wèn)題出發(fā)，解釋豪斯道夫?qū)?shù)模型的物理意義；最后，第4節(jié)討論若干有待研究解決的問(wèn)題.

1 豪斯道夫分形距離和豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散方程的基本解

引入一維空間和時(shí)間的豪斯道夫分形時(shí)空距離[5]

式中：α為時(shí)間分形維；β為一維空間的分形維.很明顯，式（1）定義的非歐幾里得距離是基于分形不變形性和分形等價(jià)性的2個(gè)假設(shè)得到的.[5]BALANKIN等[10]進(jìn)一步給出一般的三維分形距離，豪斯道夫分形距離是其中一個(gè)特例.

式中：β是三維各向同性空間的分形維.當(dāng)β=1時(shí)，式（2）的豪斯道夫分形空間距離回歸到經(jīng)典的3維歐幾里得距離.如果設(shè)定初始時(shí)間t0=0，一維問(wèn)題源點(diǎn)坐標(biāo)xj=0，那么豪斯道夫分形距離定義式（2）簡(jiǎn)化為式（1）.

豪斯道夫?qū)?shù)[5]定義為

文獻(xiàn)[5]給出一維問(wèn)題豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散過(guò)程的基本解.三維豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散方程為

式中：H為亥維賽階躍函數(shù).[5]式（5）的右邊指數(shù)項(xiàng)就是科學(xué)與工程中廣泛應(yīng)用的伸展高斯分布.由式（5）可知，豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散方程式（4）的基本解刻畫(huà)伸展高斯分布對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)擴(kuò)散過(guò)程.伸展高斯分布概率密度函數(shù)是擴(kuò)散基本解的核函數(shù).當(dāng)α=β=1時(shí)，式（5）的豪斯道夫分形距離基本解回歸到經(jīng)典的整數(shù)階歐幾里得距離擴(kuò)散方程基本解[16]，描述經(jīng)典菲克擴(kuò)散（正常擴(kuò)散）過(guò)程粒子運(yùn)動(dòng)的高斯分布特征.

下面本文考慮僅含有時(shí)間豪斯道夫?qū)?shù)的擴(kuò)散方程

這里的常數(shù)C由初始條件確定.式（7）就是文獻(xiàn)中經(jīng)常出現(xiàn)的伸展指數(shù)衰減.當(dāng)α=1時(shí)，豪斯道夫?qū)?shù)模型解就退化為經(jīng)典整數(shù)階擴(kuò)散方程的德拜指數(shù)衰減.

可以證明，豪斯道夫?qū)?shù)拉普拉斯方程、波方程、Helmholtz方程、對(duì)流擴(kuò)散方程等也滿足豪斯道夫分形距離基本解.本文不再詳細(xì)討論.

此外，用結(jié)構(gòu)函數(shù)[17]替代式（1）和（2）豪斯道夫分形距離定義中的冪函數(shù)，就得到刻畫(huà)非冪律函數(shù)的一般分形（結(jié)構(gòu)形）[18]的結(jié)構(gòu)距離.

式中：G和Q分別為時(shí)間和空間結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)中的結(jié)構(gòu)函數(shù).BALANKIN等[10]的分形距離定義實(shí)際上也包括式（8）的定義.運(yùn)用以上結(jié)構(gòu)距離就能直接得到局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散方程的基本解.

2 豪斯道夫微積分與分?jǐn)?shù)階微積分及其與分形的內(nèi)在聯(lián)系

為不失一般性，考慮一個(gè)顆粒等速沿一維曲線按分形時(shí)間運(yùn)動(dòng)[19]，運(yùn)動(dòng)距離與時(shí)間的關(guān)系式為

式中：l為距離；v為均勻速度；τ為當(dāng)前時(shí)間；t0為初始時(shí)刻；α為時(shí)間分形維.如果速度不均勻，則相應(yīng)的豪斯道夫積分為

由式（10）可以得到相應(yīng)的豪斯道夫?qū)?shù)表達(dá)式

比較式（3）和式（11）這2個(gè)豪斯道夫?qū)?shù)定義，注意到其唯一的差別就是后者包含初始時(shí)間而前者假設(shè)初始時(shí)間為0，因而后者是更加一般的表達(dá).

式（9）所表達(dá)的顆粒運(yùn)動(dòng)在τ時(shí)刻的位置也可由式（12）計(jì)算.

式中：t為終點(diǎn)時(shí)間.式（12）右邊第一項(xiàng)是顆?？偟倪\(yùn)動(dòng)距離，第二項(xiàng)代表從τ時(shí)刻到終點(diǎn)時(shí)刻t要運(yùn)動(dòng)的距離.如果不是等速運(yùn)動(dòng)，對(duì)式（12）做τ變量的一階微分運(yùn)算，有

式中：Г為歐拉伽馬函數(shù)，是一個(gè)歸一化常數(shù).不考慮式（15）積分號(hào)前面的這個(gè)歸一化常數(shù)，則式（15）和（14）完全等價(jià).此外，經(jīng)典的RiemannLiouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義可以很容易地由分?jǐn)?shù)階積分式（15）對(duì)變量t求導(dǎo)數(shù)獲得.

根據(jù)以上分析可知豪斯道夫微積分和分?jǐn)?shù)階微積分與分形維數(shù)有內(nèi)在的定量本質(zhì)聯(lián)系，即時(shí)間豪斯道夫微積分和分?jǐn)?shù)階微積分的階數(shù)就是研究對(duì)象的時(shí)間分形維數(shù)α.

從時(shí)間分形的角度分析，豪斯道夫微積分和分?jǐn)?shù)階微積分是相反的過(guò)程，前者從初始時(shí)刻逐步推進(jìn)，而后者是由結(jié)束時(shí)刻反向遞推.從時(shí)間歷程分析看，兩者有某種反向?qū)?yīng)關(guān)系.

另一方面，豪斯道夫微積分是一個(gè)局部算子，分?jǐn)?shù)階微積分是非局部算子，因此即使兩者都是用來(lái)描述分形過(guò)程的，對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)過(guò)程也完全不一樣，是2個(gè)不同的微積分算子.此外，豪斯道夫?qū)?shù)方程的幾何基礎(chǔ)是非歐幾里得的豪斯道夫分形距離，而分?jǐn)?shù)階微積分的幾何基礎(chǔ)仍然為歐幾里得距離.兩者的統(tǒng)計(jì)力學(xué)背景也完全不同，豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散方程模型描述伸展高斯分布和伸展指數(shù)衰減的擴(kuò)散[5，12]，而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散方程刻畫(huà)列維穩(wěn)態(tài)分布[21]和ML衰減的擴(kuò)散[12，22].指數(shù)衰減、伸展指數(shù)松弛與ML衰減的比較見(jiàn)圖1.

由圖1可見(jiàn)，經(jīng)典的整數(shù)階擴(kuò)散模型對(duì)應(yīng)的指數(shù)衰減最快，被認(rèn)為沒(méi)有記憶和歷史依賴(lài)性，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的ML衰減最慢，豪斯道夫?qū)?shù)模型對(duì)應(yīng)的伸展松弛衰減介于兩者之間.

空間豪斯道夫微積分與分形的內(nèi)在聯(lián)系可用類(lèi)似方法分析.考慮一個(gè)分形維為β的桿的縱向振動(dòng)，由牛頓第二定律有

式中：x0為桿的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)（一般可設(shè)置為0），桿長(zhǎng)方向?yàn)閤軸坐標(biāo)；u為桿變形位移；dx為桿的一個(gè)微段長(zhǎng)度；dm為相應(yīng)桿微段的質(zhì)量；P為單位面積沿x軸方向所受的彈性力；S為桿的截面面積.若ρ為桿的密度，則有

根據(jù)胡克定律，彈性力P與應(yīng)變成正比

3 幾何物理解釋

分?jǐn)?shù)階微積分是非局部算子，因而與經(jīng)典的整數(shù)階算子相比最顯著的特征就是能夠描述空間非局部和歷史依賴(lài)（記憶）問(wèn)題.局部的豪斯道夫?qū)?shù)也能夠描述非高斯非馬爾科夫過(guò)程，盡管這兩種算子的描述有本質(zhì)的區(qū)別，但作為局部算子，為何豪斯道夫?qū)?shù)模型能夠描述非局部行為是一個(gè)重要的基礎(chǔ)問(wèn)題呢.

歷史依賴(lài)過(guò)程或記憶問(wèn)題，在某種程度上就是初始時(shí)刻依賴(lài).注意式（2）中的初始時(shí)刻項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)

所有α≠1的豪斯道夫時(shí)間導(dǎo)數(shù)模型的解均依賴(lài)于初始時(shí)刻的設(shè)定，這與經(jīng)典整數(shù)階局部導(dǎo)數(shù)模型本質(zhì)上不同.不同初始時(shí)刻t0的設(shè)置對(duì)伸展指數(shù)衰減的影響見(jiàn)圖2.

圖2清楚地顯示不同初始時(shí)刻設(shè)置對(duì)豪斯道夫

時(shí)間導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散模型的伸展指數(shù)衰減的影響，初始時(shí)刻的值越大，衰減得越慢.另一方面，圖2也表明經(jīng)典的指數(shù)衰減不受初始時(shí)刻設(shè)置的影響.

不同初始時(shí)刻t0的設(shè)置下伸展指數(shù)衰減與ML衰減行為比較見(jiàn)圖3.很明顯兩者都受到初始時(shí)刻設(shè)置的明顯影響，而且初始時(shí)刻的值愈大，衰減得越慢.

4 討 論

本文首次定量地給出分?jǐn)?shù)階微積分的分形幾何基礎(chǔ)，比較豪斯道夫微積分和分?jǐn)?shù)階微積分的區(qū)別與聯(lián)系；給出豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散方程描述歷史依賴(lài)過(guò)程的幾何解釋?zhuān)闯跏紩r(shí)刻依賴(lài)性問(wèn)題.這些工作為豪斯道夫微積分的應(yīng)用提供明確的幾何背景.此外，本文詳細(xì)地介紹作為豪斯道夫微積分幾何基礎(chǔ)的豪斯道夫分形距離的定義，并由此分析豪斯道夫?qū)?shù)擴(kuò)散方程的基本解.

下面是6個(gè)有待深入研究的問(wèn)題：

（1）空間分?jǐn)?shù)階微積分的分形幾何分析.

（2）豪斯道夫微積分和豪斯道夫分形距離的時(shí)空坐標(biāo)必須為正值，否則豪斯道夫距離有可能為復(fù)數(shù)值.實(shí)際應(yīng)用中注意原點(diǎn)坐標(biāo)的選擇，滿足時(shí)空坐標(biāo)為正值的要求并不難，但有關(guān)的理論解釋有待研究.

（3）本文所提的工作與結(jié)構(gòu)形[18]和結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)[17，23]有密切的內(nèi)在聯(lián)系，這方面進(jìn)一步的工作會(huì)很有意義.

（4）基于豪斯道夫分形距離的徑向基函數(shù)方法可用于數(shù)據(jù)重構(gòu)和圖形處理、數(shù)值解豪斯道夫微分方程、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和向量支持機(jī).

（5）基于豪斯道夫分形距離也可以發(fā)展非局部的豪斯道夫微積分.

（6）時(shí)間豪斯道夫?qū)?shù)的力學(xué)模型及其數(shù)值仿真相對(duì)比較成熟，而空間豪斯道夫?qū)?shù)模型的工程應(yīng)用不多，特別是有關(guān)的數(shù)值仿真還很少.

致謝：本文三維豪斯道夫分形距離擴(kuò)散方程基本解的證明和圖1～3的制作得到蔡偉博士的幫助，在此表示感謝.

參考文獻(xiàn)：

[1]

MANDELBROT B B. The fractal geometry of nature[M]. New York： W H Freeman， 1982： 247272.

[2] KIGAMI J. Analysis on fractals[M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2001： 1232.

[3] CARPINTERI A， MAINARDI F. Fractals and fractional calculus in continuum mechanics[M]. Berlin： SpringerVerlag Wien GmbH， 1997.

[4] PODLUBNY I. Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation[EB/OL]. （20170425）[20011022]. http：//people.tuke.sk/igor.podlubny/pspdf/0110241.pdf.

[5] CHEN W. Timespace fabric underlying anomalous diffusion[J]. Chaos， Solitons & Fractals， 2006， 28（4）： 923929.

[6] SUN H G， MEERSCHAERT M M， ZHANG Y， et al. A fractal Richards equation to capture the nonBoltzmann scaling of water transport in unsaturated media[J]. Advances in Water Resources， 2013， 52： 292295. DOI： 10.1016/j.advwatres.2012.11.005.

[7] LIN G X. An effective phase shift diffusion equation method for analysis of PFG normal and fractional diffusions[J]. Journal of Magnetic Resonance， 2015， 259： 232240. DOI： 10.1016/j.jmr.2015.08.014.

[8] REYESMARAMBIO J， MOSER F， GANA F， et al. A fractal time thermal model for predicting the surface temperature of aircooled cylindrical Liion cells based on experimental measurements[J]. Journal of Power Sources， 2016， 306： 636645. DOI： 10.1016/j.jpowsour.2015.12.037.

[9] CAI W， CHEN W， XU W X. Characterizing the creep of viscoelastic materials by fractal derivative models[J]. International Journal of NonLinear Mechanics， 2016， 87： 5863. DOI： 10.1016/j.ijnonlinmec.2016.10.001.

[10] BALAMLIN A S， BORYREYES J， SHAPIRO M， Towards a physics on fractals： Differential vector calculus in threedimensional continuum with fractal metric[J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2016， 444： 345359. DOI： 10.1016/j.physa.2015.10.035.

[11] HU Z H， TU X K. A new discrete economic model involving generalized fractal derivative[J]. Advances in Difference Equations， 2015（1）： 111. DOI： 10.1186/s1366201504168.

[12] 陳文， 孫洪廣， 李西成. 力學(xué)與工程問(wèn)題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2010.

[13] TARASOV V E. Continuous medium model for fractal media[J]. Physics Letters A， 2005， 336（2/3）： 167174. DOI： 10.1016/j.physleta.2005.01.024.

[14] LI J， OSTOJASTARZEWSKI M. Comment on “Hydrodynamics of fractal continuum flow” and “Map of fluid flow in fractal porous medium into fractal continuum flow”[J]. Physical Review E， 2013， 88（5）： 057001.

[15] WEBERSZPIL J， LAZO M J， HELAYEINETO J A. On a connection between a class of deformed algebras and the Hausdorff derivative in a medium with fractal metric[J] Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2015， 436： 399404.

[16] KYTHE P K. Fundamental solutions for differential operators and applications[M]. Boston： Birkhuser， 1996： 60136.

[17] CHEN W， LIANG Y J. Structural derivative based on inverse MittagLeffler function for modeling ultraslow diffusion[J]. Fractional Calculus and Applied Analysis， 2016， 19（5）： 12501261. DOI： DOI： 10.1515/fca20160064.

[18] CHEN W. Nonpowerfunction metric： a generalized fractal[EB/OL]. （20161231）[20170521]. http：//viXra.org/abs/1612.0409.

[19] SHLESINGER M F. Fractal time and 1/f noise in complex systems[J]. Annals of the New York Academy Sciences， 1987， 504： 214228. DOI： 10.1111/j.17496632.1987.tb48734.x.

[20] SAMKO S G， KILBAS A A， MARICHEV O I. Fractional integrals and derivatives： theory and applications[M]. Philadelphia： Gordon and Breach Science Publishers， 1993： 483532.

[21] FELLER W. An introduction to probability theory and its applications： Volume 1[M]. 3rd ed. New York： Wiley， 1971： 574581.

[22] SAICHEV A I， ZASLAVSKY G M. Fractional kinetic equations： solutions and applications[J]. Chaos， 1997， 7 （4）： 753764.

[23] CHEN W， LIANG Y J. New methodologies in fractional and fractal derivatives modeling[J]. Chaos： Solitions and Fractals， 2017. DOI： 10.1016/j.chaos.2017.03.066.

（編輯 武曉英）