層層質(zhì)疑，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值

林朝冰

[摘要]教書最終是為了育人，拓展學(xué)科的育人價值是培養(yǎng)新一代高素質(zhì)人材的需要，當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值與質(zhì)疑精神遇時，將碰撞出怎樣的火花？本文通過兩個實(shí)例來探討如何通過層層質(zhì)疑的方法探究數(shù)學(xué)概念的形成過程及數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

[關(guān)鍵詞]層層質(zhì)疑 學(xué)科的育人價值 概念的形成過程 問題的本質(zhì)

[中圖分類號]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]2095-3089（2017）12-0078-02

數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值包括很多方面，其中以數(shù)學(xué)概念的形成過程、某類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)的挖掘過程作為育人資源，可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本思想和方法，并利用學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)的思想和方法逐漸建立起自己的發(fā)現(xiàn)方法和理性思維策略，形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這是數(shù)學(xué)教學(xué)所特有的教育價值。質(zhì)疑是探索知識，發(fā)現(xiàn)問題的開始，是獲得真知的必要步驟，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一個師生共同設(shè)疑，釋疑的過程。通過層層質(zhì)疑的方法探究數(shù)學(xué)概念的形成過程，數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，更能彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價值。本文通過兩個實(shí)例來探討如何通過層層質(zhì)疑的方法探究數(shù)學(xué)概念的形成過程及數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價值。

一、通過層層質(zhì)疑，探究概念的形成過程

正確理解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，缺乏產(chǎn)生過程的概念教學(xué)將導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識缺乏整體性。下面以導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)為例，說明如何通過層層質(zhì)疑的方法探究概念的形成過程。

1.設(shè)問題情境，引發(fā)自主探究

高速公路的某處，限速100km/h，一輛汽車以120km/h的速度到達(dá)距測速攝像頭50米處，駕駛員發(fā)現(xiàn)攝像頭后立即減速，正好以100km/h的速度通過測速點(diǎn)，問該輛汽車是否超速？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑測速攝像頭所測到的“速度”是平均速度還是瞬時速度？瞬時速度是如何得到的？平均速度是怎樣計(jì)算的？（ ），瞬時速度又是怎樣計(jì)算的？（ ），通過層層質(zhì)疑和探究體會到瞬時速度是平均速度的極限。

2.曲線的切線問題探究

問題一、圓與圓錐曲線的切線是如何定義的？

問題二、觀察圖1（用幾何畫板使切線運(yùn)動）。

圖象中的動直線始終是曲線的切線，切線與曲線可以有多個公共點(diǎn)，而且曲線圖象的也不總在切線的一側(cè)，學(xué)生開始質(zhì)疑以前學(xué)的切線的定義，接下來引導(dǎo)學(xué)生尋找新的切線的定義方法。

問題三、圖2中割線MN與點(diǎn)M處的切線有何關(guān)系？

引導(dǎo)學(xué)生通過運(yùn)動得到切線，體會由“割”變“切”的過程，從而體會逼近和極限的數(shù)學(xué)思想。并得出曲線的切線的定義，切線是割線MN當(dāng)N點(diǎn)沿曲線運(yùn)動到點(diǎn)M時的極限位置。得出切線的定義后，又引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：

問題四、切線的斜率應(yīng)該如何求？

回顧問題二，引導(dǎo)學(xué)生探究，切線是由割線運(yùn)動的極限位置，那么切線的斜率是否可通過割線的斜率求得？

問題五、平均速度及割線的斜率本質(zhì)是什么？

通過問題五使學(xué)生體會到導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是平均變化率的極限，從而實(shí)現(xiàn)了思維的飛躍。

本例通過引導(dǎo)學(xué)生層層質(zhì)疑，體會到數(shù)學(xué)來源于生活，體會了由特殊到一般的抽象過程，體會了逼近和極限的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生的思維得到了升華，從而彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

二、通過層層質(zhì)疑，探究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)

透過問題的現(xiàn)象，探究問題的本質(zhì)，通過層層質(zhì)疑，使學(xué)生在不斷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中，產(chǎn)生主動探究的欲望，培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)新能力，從而提高學(xué)生的解題能力；同時產(chǎn)生豐富的情感體驗(yàn)，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科在培養(yǎng)學(xué)生信心、習(xí)慣、意志、態(tài)度和價值觀等情感的育人價值。下面以“幾何體外接球的體積”為例說明如何通過層層質(zhì)疑的方法探究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。例、一個正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長為a，求球的體積。

此例比較簡單，學(xué)生完成后教師提出問題：

問題一、能不能把正方體換成其它幾何體？

學(xué)生得出以下兩個問題：

（1）一個正六棱柱的底面邊長為a，高為h，頂點(diǎn)都在球面上，求球的體積。

（2）一個正三棱柱的底面邊長為a，高為h，頂點(diǎn)都在球面上，求球的體積。

問題（1）學(xué)生模仿例一能輕松解決，然而對于問題（2）學(xué)生將三棱柱補(bǔ)形成四棱柱來解決。

問題二、你能確定補(bǔ)形后的四棱柱的頂點(diǎn)都在球面上？

學(xué)生開始反思，“要使四棱柱的頂點(diǎn)都在球面上，底面四邊形必須是圓內(nèi)接四邊形！”

問題三、球心與底面外接圓的圓心有什么位置關(guān)系？

學(xué)生自主研究并容易得出以下結(jié)論，“球心到底面的正投影就是與底面外接圓的圓心”

小結(jié)反思：“本題的關(guān)鍵是什么？”（球心的位置）?！氨绢}的本質(zhì)是什么？”（球的半徑與正方體棱長的關(guān)系）。

問題四、如何找出球心的位置？

經(jīng)過自主探究學(xué)生得出尋找球心的方法：先找到底面多邊形的外心，再垂直向上尋找球心。

學(xué)生探究問題（2）后，得出結(jié)論“球心位于底面正三角形中心垂直向上距底面處”。

問題五、球心到底面的距離是否一定是高h(yuǎn)的一半？

問題六、你能再次改變球內(nèi)接幾何體的形狀嗎？

得出以下問題：

（3）三棱錐V-ABC中，AB=AC=a，VA底面ABC，頂點(diǎn)都在球面上，求球的體積。

（4）三棱錐V-ABC中，AB=AC=BC=a，VA底面ABC，頂點(diǎn)都在球面上，求球的體積。

（5）正三棱錐V-ABC中，AB=AC=BC=a，高為h，頂點(diǎn)都在球面上，求球的體積。

問題（3）、（4）的結(jié)論是：球心到底面的距離是否一定是高h(yuǎn)的一半。問題（5）的結(jié)論卻不同。學(xué)生自然會問為什么？引導(dǎo)學(xué)生觀察下圖：

問題（3）、（4）中，頂點(diǎn)V在底面的投影正好是底面頂點(diǎn)如圖1示，因?yàn)榍蛐腛到點(diǎn)v的距離與到點(diǎn)A的距離相等，所以球心到底面的距離是高h(yuǎn)的一半。問題（5）中，頂點(diǎn)V在底面的投影正好是底面多邊形外接圓的圓心如圖2示，因?yàn)榍蛐腛到點(diǎn)V的距離與到點(diǎn)A的距離相等，所以球心到底面的距離不等于高h(yuǎn)的一半。緊接著引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生新問題：

問題七、幾何體外接球的半徑R與幾何體的高h(yuǎn)及底面外接圓的半徑有什么關(guān)系？

結(jié)合圖1、圖2學(xué)出容易得出以下結(jié)論：（i）當(dāng)錐體側(cè)棱與底面垂直時，R²=r²+2h²，（ii）當(dāng)錐體側(cè)棱與底面不垂直，頂點(diǎn)v在底面的投影正好是底面多邊形外接圓的圓心時，R²=r²+（h-R）²

問題八、已知A，B，C三點(diǎn)在球面上，AB=AC=2，球心到面ABC的距離為1，求球的體積。

本例通過引導(dǎo)學(xué)生改變幾何體的形狀，層層質(zhì)疑，探究出此類問題的本質(zhì)及解決辦法，學(xué)生處在一種愉快的探索知識的過程中，學(xué)習(xí)和體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)和探究問題的基本方法，不僅使學(xué)生所學(xué)知識縱向加深，橫向溝通，使學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維得到了培養(yǎng)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還使學(xué)生得到了豐富的情感體驗(yàn)，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值不能停留在教學(xué)數(shù)學(xué)知識上，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的過程，數(shù)學(xué)的質(zhì)疑精神，思維方式，思想方法以及在數(shù)學(xué)探究過程的情感體驗(yàn)等等都具有豐富的育人價值，廣大的數(shù)學(xué)教師應(yīng)將育人的意識，貫穿于自己的教育教學(xué)的始終，落實(shí)在教學(xué)活動實(shí)際中。