尋根溯源殊途同歸

崔曉富

在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問(wèn)題，稱為幾何最值問(wèn)題。近年，各地中考題常通過(guò)幾何最值問(wèn)題考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力、空間想象能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。筆者針對(duì)安徽省近兩年中考數(shù)學(xué)的幾何最值問(wèn)題作一探究與分析，希望對(duì)大家有所幫助。

一、實(shí)例探討與評(píng)點(diǎn)

問(wèn)題一：（2016年安徽省中考數(shù)學(xué)第10題）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；圓周角定理。

【分析】首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的☉O上，連接OC與☉O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問(wèn)題。

教師運(yùn)用“幾何畫板”進(jìn)行解析，取CQ的中點(diǎn)O，連接OP，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短，所以CQ=2OP取最小值。

二、拓展與引申

閱讀下列材料：小華遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖3，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。

小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了。他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問(wèn)題。他的做法：如圖4，將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDC，連接PD，BE，則BE的長(zhǎng)即為所求。

（1）請(qǐng)你寫出圖4中，PA+PB+PC的最小值為____________；

（2）參考小華的思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：

即當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)為。

三、歸納小結(jié)教學(xué)啟示

1.解決平面幾何最值問(wèn)題的常用方法

（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；

（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；

（3）應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值；

（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；

（5）應(yīng)用其他知識(shí)求最值。

2.對(duì)教學(xué)的啟示

（1）教師的數(shù)學(xué)功底和文字表述水平；

（2）教師應(yīng)有廣闊的視角；

（3）加強(qiáng)“動(dòng)態(tài)幾何”訓(xùn)練；

（4）緊扣《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，透析《安徽中考考綱》。

“幾何最值問(wèn)題”試題新穎別致，頗具魅力，成為中考試題中的一朵朵奇葩，但我們尋根溯源，定能殊途同歸。讓我們共同努力，共同探索，共同為之奮斗！

（作者單位：安徽省南陵縣城東實(shí)驗(yàn)學(xué)校）