九九歌考

金順利，劉寶煒

(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北滄州061001)

九九歌考

金順利，劉寶煒

(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北滄州061001)

通過對中國古算數(shù)學(xué)梳理、考證，揭示了九九歌是在殷商十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)與運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上總結(jié)的成果，從而確定了九九歌形成年代為西周時(shí)期，勘正了九九歌形成于上古伏羲時(shí)期的訛誤.考證了古文獻(xiàn)九九歌的不同版本之差別以及宋元時(shí)期統(tǒng)一的歌訣句式，并介紹了九九歌的社會影響及其在日本傳播的情況.

九九歌；殷商；西周；春秋；里耶秦簡；孫子算經(jīng)

在遼闊的中華大地上，我們的祖先在此繁衍生息，創(chuàng)造著物質(zhì)和文化.中國古代數(shù)學(xué)作為中華文化的一部分，源遠(yuǎn)流長，成就輝煌，碩果累累.九九歌又稱九九表、九因歌、小九九，因起句“九九八十一”而得名，是我國古代數(shù)學(xué)進(jìn)行乘除運(yùn)算的基本法則，也是中國古代數(shù)學(xué)傳唱最久、傳播最廣、影響巨大的一首歌謠，可謂家喻戶曉、婦孺皆知，由九九歌衍生出的傳統(tǒng)文化有其獨(dú)特魅力并發(fā)揮著重要的社會作用.

1 數(shù)之起源與九九歌雛形

1.1 數(shù)感與計(jì)數(shù)

數(shù)的發(fā)源史是人類文明進(jìn)步史，人類對數(shù)的認(rèn)識，是從識別事物的多寡開始，以事物的多少得到“數(shù)感”，再抽象到“數(shù)”的概念，這經(jīng)歷了一個(gè)漫長與漸進(jìn)的過程.“這種數(shù)的概念形成可能與火的使用一樣古老，大約是在30萬年前，他對于人類文明的意義也絕不亞于火的使用”[1](P11)，當(dāng)數(shù)的認(rèn)識越來越明晰，需要一定的方式來表達(dá)事物的特征和屬性，于是計(jì)數(shù)就應(yīng)運(yùn)而生了，最原始最早的計(jì)數(shù)方法可能是手足計(jì)數(shù)，雅典時(shí)期呂園學(xué)派的創(chuàng)始人亞里士多德曾說，十進(jìn)制的廣泛采用，只不過是我們大多數(shù)人生來具有10個(gè)手指這樣一個(gè)解剖學(xué)事實(shí)的結(jié)果.當(dāng)手指入不敷出時(shí)就出現(xiàn)了堆石計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕記數(shù)等方式.

1.2 中國完整十進(jìn)制計(jì)數(shù)始于殷商

圖1 中國甲骨文數(shù)字(公元前1600年左右)

原始人的思維是復(fù)雜的，計(jì)數(shù)的方式多種多樣，史料記載中國早期的鄂倫春、赫哲族用骨片計(jì)數(shù)，貴州苗族曾以石頭計(jì)數(shù)、糧食計(jì)數(shù)、羊屎計(jì)數(shù)，紅河哈尼族木刻計(jì)數(shù)等等.史學(xué)界比較認(rèn)可并且有文字可考的是結(jié)繩計(jì)數(shù)，中國古代文獻(xiàn)《周易·系辭下》云“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契”.李儼先生云“上古之外，未有文字，先以結(jié)繩為記……書契之作，今日可考者，實(shí)始于殷代”[2].從結(jié)繩而治到易之以書契，經(jīng)歷了一個(gè)漫長的過程，對古人“書契”的解釋有多種，近代殷墟甲骨發(fā)現(xiàn)后，最早的甲骨研究者之一羅振玉對“書契”一詞提出了一種新的解釋，即“刻出來的文字”.此后甲骨文就被很多研究者稱為“書契”了.圖1是現(xiàn)在所能搜集到的數(shù)字最早最原始的形式[1](P13)，從甲骨文的數(shù)字表示來看，數(shù)字每到十的倍數(shù)，就有一個(gè)專門符號.可以判斷殷商時(shí)期有了比較完整的十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng).

《中國歷代度量衡考》中有三種商尺，均在河南安陽殷墟出土，該商尺都是一尺刻十寸，前兩尺都有每寸刻十分，這與甲骨文十進(jìn)制計(jì)數(shù)相契合[3](P69).

1.3 基于運(yùn)算始有九九表

有了比較科學(xué)的計(jì)數(shù)，數(shù)與數(shù)之間的書寫、運(yùn)算成為可能，在此基礎(chǔ)上的初等算術(shù)產(chǎn)生，必然會出現(xiàn)運(yùn)算法則與口訣.在整數(shù)的四則運(yùn)算中，用算籌做加減法十分簡便，從算籌計(jì)數(shù)的發(fā)展來看，商代是籌算形成期，算籌的用途逐漸固定，開始用木棒進(jìn)行專門的計(jì)數(shù)與運(yùn)算.要進(jìn)行任意整數(shù)的乘除法，就必須有一套乘法表，此基礎(chǔ)上，九九歌則呼之欲出.

2 九九歌之成與流行

2.1 九九歌伏羲之說

2.2 九九歌成于西周

西周開始出現(xiàn)貴族教育體系，周王官學(xué)要求貴族子弟掌握六種基本才能：禮、樂、射、御、書、數(shù).《周禮·地官司徒》云：“保氏掌諫王惡，而養(yǎng)國子以道，乃教之六藝.一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五御，五曰六書，六曰九數(shù).”[3](P81)這就是所說的“通五經(jīng)貫六藝”之“六藝”.錢寶琮先生說“數(shù)作為六藝之一，開始成為一個(gè)學(xué)科.用算籌來計(jì)數(shù)和四則運(yùn)算可能在西周已經(jīng)開始了”[3](P103).從西周的社會背景看，需要分封賜地、稅收及財(cái)務(wù)管理、工程建設(shè)、調(diào)配軍隊(duì)，這些都需要數(shù)學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)方法，因此九九表形成有其必然性.

數(shù)乘法計(jì)數(shù)是西周經(jīng)常出現(xiàn)的語言表述，西周的歷史典籍之一《穆天子傳》有“先豹皮十、良馬二六”“天子乃□之人□吾黃金之環(huán)三五.朱帶貝飾三十.工布之四.□吾乃膜拜而受.天子又與之黃牛二六”[3](P104)，這里“二六”、“三五”是指十二、十五，等同今人所說“年方二八”，這或?yàn)槲髦艹删啪疟淼囊粋€(gè)旁證.

在中國最早的天文和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中有述：“昔者周公問于商高曰：‘竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？’商高曰：‘?dāng)?shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五.既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五.兩矩共長二十有五，是謂積矩.故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也’.”[5]其中有最早見到的一句“九九八十一”九九歌.據(jù)考，這里的周公姓姬名旦，武王之弟，為西周初的大政治家.商高何人？則有不同說法，一說為商朝遺老，而為周所用.這就把九九表推到了殷商年代，有學(xué)者認(rèn)為這與甲骨文十進(jìn)制計(jì)數(shù)法還不十分成熟相悖.一說為周初有封地為商，商高居于封地而得名，為周朝賢大夫.筆者對觀點(diǎn)二認(rèn)同.因此《周髀算經(jīng)》所述成為西周成九九表的另一個(gè)佐證.

3 九九歌流行于春秋

3.1 春秋之后的文獻(xiàn)多有“九九”歌訣

春秋以后保留至今的文獻(xiàn)非常多，從中出現(xiàn)很多“九九歌”散句，如：《管子》“地員”篇有“命之曰五施，五七三十五尺而至于泉.”“命之曰四施，四七二十八尺而至于泉.”“命之曰三施，三七二十一尺而至于泉.”“墳延者，六施，六七四十二尺而至于泉.”[3](P107)《逸周書·武順解》有“五五二十五曰元卒”.《呂氏春秋》[3](P107)有“熒惑有三徙舍，舍行七星，星一徙當(dāng)一年，三七二十一，臣故曰君延年二十一歲矣”.[3](P107)《大戴禮記》“易本命”篇有“天一，地二，人三；三三而九，九九八十一；一主日，日數(shù)十(乾？)，故人十月而生.八九七十二，偶以承奇，奇主辰，辰主月，月主馬，故馬十二月而生(坤？).七九六十三，三主斗，斗主狗，故狗三月而生.六九五十四，四主時(shí)；時(shí)主豕；故豕四月而生.五九四十五，五主音，音主猿，故猿五月而生.四九三十六，六主律，律主禽鹿，故禽鹿六月而生也.三九二十七，七主星，星主虎，故虎七月而生.二九十八，八主風(fēng)，風(fēng)主蟲，故蟲八日化也”.[3](P107)《戰(zhàn)國策》有“昔周之伐殷，得九鼎，凡一鼎而九萬人挽之，九九八十一萬人”[3](P107).

從以上文獻(xiàn)中看出春秋時(shí)期或稍晚一些的戰(zhàn)國時(shí)期，“九九歌”歌訣已十分普及，甚至流行于街市.

3.2 九九歌與齊桓公招賢

齊桓公招賢，善“九九歌”者應(yīng)召，古人有多篇記載，所述應(yīng)為不假，所述完整者應(yīng)為漢文帝時(shí)韓嬰《韓詩外傳》，云：“齊桓公設(shè)庭燎，為士之欲造見者.期年，而士不至.于是東野鄙人有以‘九九’之術(shù)見者，桓公使戲之曰：‘九九何足以見乎？’鄙人對曰：‘臣非以九九為足以見也，臣聞主君設(shè)庭燎以待士，期年而士不至.夫士之所以不至者，以君天下賢君也；四方之士，皆自以論而不及君，故不至也.夫九九薄能耳，而君猶禮之，況賢于九九乎？……’桓公曰：‘善’，乃因禮之.期月，四方之士相攜而并至矣.”[6]

史書上記載的齊桓公有二個(gè)人，一為春秋五霸之一，一為戰(zhàn)國中期齊國國君.流傳廣泛的“扁鵲見蔡桓公”故事中的蔡桓公(公元前400年-公元前357年)，實(shí)際上指的是齊桓公田午.據(jù)考，這里的齊桓公應(yīng)為春秋五霸之一(公元前685年-公元前642年)，姜姓，名小白，在位期間，重用管仲，改革齊政，國富兵強(qiáng)，為春秋首霸.文中述“東野鄙人”，說明市井之人都能吟誦，以示流行之廣.“桓公使戲之曰：‘九九何足以見乎？’”說明此時(shí)“九九歌”已經(jīng)被視為雕蟲小技，以此為能，桓公才戲之，以示流傳之深.而以“九九歌”為薄能，無非用乘法口訣展示乘除運(yùn)算之技能，說明當(dāng)時(shí)有較為成熟的運(yùn)算技能.

4 里耶秦簡與《孫子算經(jīng)》里的九九表

考古發(fā)現(xiàn)及傳世典籍中的九九表中，里耶秦簡九九表及《孫子算經(jīng)》的九九表最為完整.

里耶秦簡九九表是目前所能見到的中國乘法口訣的最早實(shí)物，文字、內(nèi)容、句數(shù)均有其獨(dú)特之處.2002年出土于湖南省龍山縣里耶鎮(zhèn).秦簡九九表[7]始于“九九八十一”，38句.全文如下：

九九八十一八九七十二七九六十三六九五十四五九四十五四九卅六三九廿七二九十八八八六十四七八五十六六八四十八五八四十四八卅二三八廿四二八十六七七四十九六七四十二五七卅五四七廿八三七廿一二七十四六六卅六五六卅四六廿四三六十八二六十二五五廿五四五廿三五十五二五而十四四十六三四十二二四而八三三而九二三而六二二而四一一而二二半而一凡千一百一十三字

《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，屬算經(jīng)十書之一.約成書于公元四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年不詳.傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷.古算文獻(xiàn)所載完整的九九表最早見于《孫子算經(jīng)》[8](P4)，卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法，以卷上所述，可歸結(jié)為“九九口訣表”“九九平方表”“九九求和表”三個(gè)表，其中“九九口訣表”為完整45句，始于“九九八十一”，止于“一一如一”，與后人所用九九表只是順序不同.

5 小九九與大九九

大約在公元十三、十四世紀(jì)宋朝年間，九九歌的順序才變成和現(xiàn)在所用的一樣，即從“一一如一”起到“九九八十一”止.南宋末年陳元靚撰《事林廣記》，元代數(shù)學(xué)家朱世杰著的《算學(xué)啟蒙》(1299年)均與現(xiàn)在九九表順序相同，為45句，也稱為“小九九”.

南宋楊輝的數(shù)學(xué)著作《乘除通變本末》，成書于公元1274年，是傳世的著作《楊輝算法》的重要組成部分，首先提出“習(xí)算綱目”，即為從九九表、乘除法開始到《九章算術(shù)》各種方法的教學(xué)計(jì)劃，包括學(xué)習(xí)要點(diǎn)、方法、時(shí)間安排等，由淺入深.其中九九表與今天的“小九九”相一致.

“大九九”是81句，即從“一一”到“一九”,從“二一”到“二九”，從“三一”到“三九”……從“九一”到“九九”，通常稱為“大九九”.

歷史中有36句、38句、45句九九歌之說，錢寶琮先生《中國數(shù)學(xué)史》撰文：“現(xiàn)在的乘法口訣是從一一如一起，到九九八十一止，共四十五句.古代的乘法口訣是從九九八十一起，到二二如四止(缺少一九如九、一八如八等九句),只有三十六句”.[8](P4)而敦煌算經(jīng)九九表的句數(shù)有45句和36句兩種[8](P4).

6 九九歌之傳播

6.1 九九歌意義延伸

6.2 九九歌傳播至日本

在隋、唐期間，九九歌傳入日本，公元970年日本人源為憲《口游》中載有始于九九終于一一的逆序九九口訣全文.后來在1627年出版的吉田光由《塵劫記》中載有36句九九歌，1658年久田玄哲對《算學(xué)啟蒙》進(jìn)行點(diǎn)訓(xùn)(即在漢字旁邊注日文讀音字母和標(biāo)點(diǎn))，1690年賢部建弘又加以注釋和翻印[4](P14)，使九九歌訣在日本廣泛流傳至今.日本數(shù)學(xué)史家三上義夫(1875年～1950年)所說：“本數(shù)學(xué)勃興之時(shí)，不管怎么說，也是由于中國數(shù)學(xué)的傳入.給予日本主要影響的則是《算學(xué)啟蒙》和《算法統(tǒng)宗》二書”[10](P108).日本學(xué)者認(rèn)為《算法統(tǒng)宗》對于日本的和算及日本的數(shù)學(xué)教育影響都是很大的[10](P108).

我們的祖先所創(chuàng)造的杰出數(shù)學(xué)成就和數(shù)學(xué)思想，不僅為中華民族當(dāng)時(shí)的社會作出了貢獻(xiàn)，而且讓后世子孫受惠無窮，以至在今天日常的經(jīng)濟(jì)生活中我們還用著已經(jīng)流傳了幾千年的乘法表以及各種各樣的運(yùn)算方法和數(shù)學(xué)公式.中華民族的古算思想還通過當(dāng)代數(shù)學(xué)大師的吸收消化，轉(zhuǎn)化為當(dāng)今數(shù)學(xué)前沿的思想源泉，因此，我們的數(shù)學(xué)史，不僅是過去的歷史，是先哲的紀(jì)念碑，也擔(dān)負(fù)著為新世紀(jì)創(chuàng)造新文化的重任.

[1] 李文林.數(shù)學(xué)史教程[M].北京:高等教育出版社，2011.

[2] 李儼.中國算學(xué)史(復(fù)制版)[M].上海:上海三聯(lián)書社，2014.

[3] 鄒大海.中國數(shù)學(xué)興起與先秦?cái)?shù)學(xué)[M].石家莊:河北科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

[4] 潘紅麗.九九歌訣的歷史[J].珠算，2000,(4):14.

[5] 程貞一，聞人軍.周髀算經(jīng)譯注[M].上海:上海古籍出版社，2012.

[6] 紀(jì)志剛.南北朝隋唐數(shù)學(xué)[M].石家莊:河北科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

[7] 王煥林.里耶秦簡九九表初探[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(社會科學(xué)版)，2006,(1):46-51.

[8] 張小虎.敦煌算經(jīng)九九表探析[J].溫州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011,32(2)：1-6.

[9] 九九歌[EB/OL].[2016-11-10].http://baike.baidu.com/subview/155182/13678161.htm.

[10] 羅其精.珠算考[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(社會科學(xué)版)，2002,(1):105-109.

[責(zé)任編輯：尤書才]

Textual Research on “99” Multiplication Table

JIN Shun-li, LIU Bao-wei

(College of Mathematics and Statistics, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001, China)

Based upon textual research on ancient mathematics of China,this thesis reveals the “99” multiplication tableshould be summarized on the basis ofdecimal counting system and algorithmin the Yin-Shang Dynasty. As a result, it can be certified that “99” multiplication table was formed during the Western Zhou Dynasty, which further corrects the prevalent misconception that itwas formedduring Spring and Autumn Period.Textual researches on the different versions of the“99” multiplication table and its rhymed formulas sentence during Song and Yuan Dynasties are made, and the social impactand dissemination of the“99” multiplication tablein Japan are also introduced.

“99” multiplication table; Yin-Shang Dynasty; Western Zhou Dynasty; Spring and Autumn Period;Liye strips of Qin dynasty;Sunzi Mathematical Classics

2016-11-11

金順利(1963-)，男，河北獻(xiàn)縣人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化； 劉寶煒(1967-)，男，河北鹽山人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副院長，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)建模.

O121.5

A

2095-2910(2017)02-0014-04