關(guān)于某些P-葉解析函數(shù)類的系數(shù)估計(jì)

敖恩, 李書海, 斯琴其木格

(1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000;2.赤峰學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

關(guān)于某些P-葉解析函數(shù)類的系數(shù)估計(jì)

敖恩1, 李書海1, 斯琴其木格2

(1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000;2.赤峰學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

利用擬從屬關(guān)系引進(jìn)了一些新的P-葉解析函數(shù)的子類,應(yīng)用解析函數(shù)的基本不等式和分析技巧,討論了相應(yīng)函數(shù)類的系數(shù)估計(jì),得到了準(zhǔn)確結(jié)果,推廣了一些相關(guān)結(jié)果,并給出了 Hadamard卷積在 Fekete-Szeg¨o問題上的應(yīng)用.

解析函數(shù);P-葉函數(shù);擬從屬;系數(shù)估計(jì);Fekete-Szeg¨o問題;Hadamard卷積

1 引言

單葉函數(shù)和多葉函數(shù)的系數(shù)估計(jì)問題一直受到各國數(shù)學(xué)家高度重視.Fekete-Szeg¨o問題是解析函數(shù)系數(shù)方面研究的一個(gè)重要分支,這類問題實(shí)質(zhì)上是對單葉函數(shù)的第二項(xiàng)系數(shù)和第三項(xiàng)系數(shù)之間關(guān)系的一個(gè)估計(jì).具體的來說是估計(jì)單葉函數(shù)類上的系數(shù)泛函的上界.在1933年,文獻(xiàn)[1]首先提出了單葉函數(shù)類上的系數(shù)泛函的精確估計(jì)問題,并得到結(jié)果.

且對任意的μ∈[0,1)等號均成立.由此,許多研究者利用從屬關(guān)系引進(jìn)單葉函數(shù)的各種子類,對函數(shù)類的 Fekete-Szeg¨o問題進(jìn)行了研究 (如文獻(xiàn) [2-6]).在對單葉解析函數(shù)的 Fekete-Szeg¨o問題研究基礎(chǔ)上,許多學(xué)者對多葉解析函數(shù)的Fekete-Szeg¨o問題也進(jìn)行了研究.最近,在文獻(xiàn)[7-11]中,一些研究者利用比從屬關(guān)系具有更廣泛意義的擬從屬關(guān)系引進(jìn)了一些單葉和雙向單葉解析函數(shù)子類,并研究了函數(shù)類的系數(shù)估計(jì)和Fekete-Szeg¨o問題.受到上面文獻(xiàn)的啟發(fā),本文利用擬從屬關(guān)系引進(jìn)三類P-葉解析函數(shù),討論了相應(yīng)函數(shù)類的系數(shù)估計(jì)和Fekete-Szeg¨o問題,得到了準(zhǔn)確結(jié)果,從而推廣了文獻(xiàn)[7,12]中一些相關(guān)結(jié)果,并給出了Hadamard卷積在Fekete-Szeg問題上的應(yīng)用.

2 預(yù)備知識

設(shè)Ap表示在單位圓盤D={z:|z|<1}內(nèi)解析,且具有如下形式:

3 系數(shù)估計(jì)

為了得到本文的主要結(jié)果,需要引進(jìn)下面的引理.

引理 3.1[14]設(shè)φ(z)=c0+c1z+c2z2+···在單葉圓盤 D 內(nèi)解析且

則

引理 3.2[14]設(shè) ω(z)=ω1z+ω2z2+···在單葉圓盤 D 內(nèi)解析且|ω(z)|<1,則對任意復(fù)數(shù)t,有

當(dāng)函數(shù)ω(z)=z2或ω(z)=z時(shí)上式等號成立.

引理 3.3[15]設(shè) ω(z)=ω1z+ω2z2+···在單葉圓盤 D 內(nèi)解析且|ω(z)|<1,則對任意實(shí)數(shù)t,有

又將函數(shù)φ(z),?(z)和ω(z)的冪級數(shù)展開式代人(5)式右側(cè),整理可得

于是將(6)式和(7)式代入到(5)式,比較兩邊同次冪的系數(shù)可得

在定理1中,令ω(z)=z,得到如下結(jié)論.

推論 3.1如果f(z)∈Ap滿足:

且對任何復(fù)數(shù)μ,有

當(dāng)μ≤σ1或者μ≥σ2時(shí),分別有t≤?1和t≥1.于是應(yīng)用引理3.3,可得(10)式中第一個(gè)和最后一個(gè)不等式;又當(dāng)σ1≤μ≤σ2時(shí),有|t|≤1.由引理3.3,可知(10)式中第二個(gè)不等式也成立.

當(dāng)μ<σ1或者μ>σ2時(shí),對應(yīng)的極值函數(shù)f(z)滿足:

當(dāng)σ1<μ<σ2時(shí),對應(yīng)的極值函數(shù)f(z)滿足:

當(dāng)μ=σ1或者μ=σ2時(shí),對應(yīng)的極值函數(shù)f(z)分別滿足:

和

另外,根據(jù)引理3.3也可以得到(11)式和(12)式成立.綜上所述,定理3.2證畢.

注 3.1(1)在定理3.1和定理3.2中,令φ(z)≡1,得到文獻(xiàn)[7]中定理8的結(jié)論;

(2)在定理 3.1中,令p=1,α=0,得到文獻(xiàn)[12]中定理2.1的結(jié)論;

(3)在定理3.1和推論3.1中,令p=1,α=1,得到文獻(xiàn) [12]中定理2.4和定理2.5的結(jié)論;

(4)在定理3.1和推論3.1中,令p=1,得到文獻(xiàn)[12]中定理2.10和定理2.12的結(jié)論.

定理 3.3如果 f(z)∈Lq,p(α,?),那么

且對任何復(fù)數(shù)μ,有

證明設(shè) f(z)∈ Lq,p(α,?),則存在解析函數(shù) φ(z)和 ω(z)滿足 |φ(z)|≤ 1,ω(0)=0和 |ω(z)|<1,使得

令β=1?α.將(1)式代入(13)式左側(cè),通過計(jì)算分別可得

將上式和(6)式代入(13)式,比較兩邊同次冪的系數(shù),得

類似于定理3.1的證明,利用引理3.1和引理3.2,可知結(jié)論成立.因此,定理3.3證畢.

在定理3.3中,令ω(z)=z,得到如下結(jié)論.

推論 3.2如果f(z)∈Ap滿足

則

且對任何復(fù)數(shù)μ,有

定理 3.4如果 f(z)∈Lq,p(α,?),那么對任何實(shí)數(shù) μ,有

另外,當(dāng) σ1≤ μ ≤ σ3時(shí),有

當(dāng) σ3≤ μ ≤ σ2時(shí),有

其中B2∈R,c0∈R,c0>0,

注 3.2(1)在定理3.3和定理3.4中,令φ(z)≡1,得到文獻(xiàn)[7]中定理7的結(jié)論;

(2)在定理3.3中和推論3.2中,令p=1,得到文獻(xiàn)[12]中定理2.13和定理2.15的結(jié)論.

定理 3.5如果 f(z)∈Rq,p(b,?),那么

且對任何復(fù)數(shù)μ,有

證明設(shè) f(z)∈ Rq,p(b,?),則存在解析函數(shù) φ(z)和 ω(z)滿足 |φ(z)|≤ 1,ω(0)=0和 |ω(z)|<1,使得

將(1)式代入(14)式左側(cè),計(jì)算得

于是將上式和(6)式代入到(14)式,比較兩邊同次冪的系數(shù),可得

類似于定理3.1的證明,利用引理3.1和引理3.2,可知結(jié)論成立.因此,定理3.5證畢.

在定理3.5中,令ω(z)=z,得到如下結(jié)論.

推論 3.3如果f(z)∈Ap滿足:

注 3.3(1)在定理3.5和定理3.6中,令φ(z)≡1,b≡1,得到文獻(xiàn)[7]中定理1的結(jié)論;

(2)在定理3.5中,令φ(z)≡1,得到文獻(xiàn)[7]中定理3和定理4的結(jié)論;

(3)在定理3.5和推論3.3中,令p=1,b=1,得到文獻(xiàn)[12]中定理2.6和定理2.7的結(jié)論;

(4)在定理3.5中,令p=1,得到文獻(xiàn)[12]中推論2.8的結(jié)論.

4 Hadamard卷積在 Fekete-Szeg問題上的應(yīng)用

最后,給出 Hadamard 卷積在函數(shù)類 Mq,p(α,?),Lq,p(α,?)和 Rq,p(b,?)的 Fekete-Szeg¨o 問題上的應(yīng)用.

定理4.1設(shè)

其中B2∈R,c0∈R,c0>0,

于是類似于定理3.1和3.3的證明,可得定理4.1的結(jié)論.因此,定理4.1證畢.

利用相同方法可以證明下面的定理4.2和定理4.3.

定理4.2設(shè)

[1]Fekete M,SzegG.Eine bermerkung uberungerade schlichte function[J].Journal of the London Mathematical Society,1933,8(2):85-89.

[2]Kanas S,Lecko A.On The Fekete-Szeg¨o problem and the domain of convexity for a certain class of univalent functions[J].Zeszyty Naukowe Politechniki Rzezowskiej,1990(10):49-57.

[3]Kwo O S,Cho N E.On The Fekete-Szeg¨o problem for certain analytic functions[J].Journal of the Korea Society of Mathematical Education B,2003,10(4):265-271.

[4]高純一.近于凸函數(shù)族的Fekete-Szeg¨o問題[J].數(shù)學(xué)年刊,1994,15A(6):650-656.

[5]李宗濤,劉名生.一類解析函數(shù)的系數(shù)泛函[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào),2005,3:86-91.

[6]周從會(huì).關(guān)于α-凸函數(shù)的Fekete-Szeg¨o不等式[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(1):51-55.

[7]Mohd M M,Darus M.Fekete-Szeg¨o problems for quasi-subordination classes[J].Journal of Abstract and Applied Analysis,2012,3(2):1-14.

[8]Srutha B,Prema S.Coefficient problem for certain subclass of analytic functions using quasi-subordination[J].Journal of Mathematics and Decision sciences,2013,13(6):47-53.

[9]Srutha B,Lokesh P.Fekete-Szeg¨o problem for certain subclass of analytic univalent function using quasisubordination[J].Mathematica Aeterna.,2013,3(3):193-199.

[10]El-Ashwah R,Kanas S.Fekete-Szeg¨o inequalities for quasi-subordination functions classes of complex order[J].Journal of Kyungpook Mathematics,2015,55:679-688.

[11]Goyal S P,Kumar Rakesh.Coefficient estimates and quasi-subordination properties associated with certain subclass of analytic and bi-univalent functions[J].Math.Salovaca,2016,3:25-32.

[12]Ali R M,Ravichandran V,NSeenivasagan.Coefficient bounds for P-valent functions[J].Applied Mathematics and Computation,2007,187(1):35-46.

[13]Robertson M S.Quasi-subordination and coefficient conjectures[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1970,76:1-9.

[14]Keogh F R,Merkes E P.A coefficient inequality for certain classes of analytic functions[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1969,20:8-12.

[15]Ma W C,Minda D.A uni fi ed treatment of some special classes of univalent functions[J].In Proceedings of the Conference on Complex Analysis,1994,1:157-169.

On coefficient estimates for some subclasses of P-valent functions

Aoen1,Li Shuhai1,Siqinqimuge2
(1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China;2.School of Computer and Information Engineering,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

We introduce some new subclasses of p-valent analytic functions de fi ned by quasi-subordination.The coefficient estimates of the classes is discussed by using the fundamental inequalities of analytic functions and analytical techniques.The accurate results are obtained,which generalize some related results.And the applications of Fekete-Szeg¨o problem of the functions with Hadamard convolution are proved.

analytic functions,p-valent functions,quasi-subordination,coefficient estimate,Fekete-Szegproblem,Hadamard convolution

O174.51

A

1008-5513(2017)03-0260-14

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.006

2017-03-22.

國家自然科學(xué)基金(11560001);內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2014MS0101);內(nèi)蒙古高校科學(xué)研究項(xiàng)目(2015NJZY240).

敖恩(1980-),碩士,副教授,研究方向：復(fù)分析及其應(yīng)用.

2010 MSC:41A35