半線性Emden-Fowler微分方程的振動(dòng)性

李文娟, 湯獲,李書海, 俞元洪

(1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000;2.中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院,北京 100190)

半線性Emden-Fowler微分方程的振動(dòng)性

李文娟1, 湯獲1,李書海1, 俞元洪2

(1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000;2.中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院,北京 100190)

主要研究了一類半線性Emden-Fowler微分方程的振動(dòng)性.利用廣義Riccati變換和積分平均技巧建立新的振動(dòng)準(zhǔn)則,推廣和改進(jìn)了一些文獻(xiàn)中的結(jié)果.此外,給出每個(gè)定理所相對(duì)應(yīng)的例子,用來說明其相對(duì)于已有文獻(xiàn)中的定理具有一定的優(yōu)越性.

Emden-Fowler方程;半線性微分方程;振動(dòng)性

1 引言

Emden-Fowler方程在核物理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面都有著重要的應(yīng)用并出現(xiàn)了大量的研究成果,參見文獻(xiàn)[1-15].近年來,半線性Emden-Fowler型時(shí)滯微分方程以其多樣的形式及其廣泛的應(yīng)用受到很大的關(guān)注.如文獻(xiàn)[1]研究了半線性Emden-Fowler微分方程:

文獻(xiàn)[2]考慮了Emden-Fowler型泛函微分方程:

其中 λ>0是常數(shù),r,p,q,g∈C([t0,∞),R+),r(t)>0,g(t)≤t,g′(t)≥0和

本文主要考慮半線性Emden-Fowler型微分方程:

其中α和β是常數(shù),且在本文中總假設(shè):

注意到,當(dāng)方程(3)中p(t)=0和α=β時(shí),方程(3)即為方程(1).當(dāng)方程(3)中α=1時(shí),方程(3)即為Emden-Fowler方程.方程(1)和(2)已得到很好的研究.本文目的是考慮形式更為廣泛的方程(3).利用適當(dāng)?shù)腞iccati變化和積分均值技巧得到方程(3)的解的振動(dòng)準(zhǔn)則,所得結(jié)果將推廣和改進(jìn)已有文獻(xiàn)的結(jié)果.

設(shè) Tx=σ(t1),t1≥t0,如果函數(shù)

使得

且在[Tx,∞)上滿足方程(3),則稱x(t)為方程(3)的一個(gè)解.本文僅考慮方程(3)的平凡解,即對(duì)一切T≥Tx,有sup{|x(t)|:t≥T}>0.如果方程 (3)的解有任意大的零點(diǎn),則稱它為振動(dòng)的.否則,稱它為非振動(dòng)的.方程(3)的一切解均振動(dòng),則稱方程(3)為振動(dòng)的.注意到如果x(t)是方程(3)的一個(gè)解,則y(t)=?x(t)也是方程(3)的一個(gè)解.因此,在考慮方程(3)的解的振動(dòng)性時(shí),只需考慮其最終正解.

令

用 φ(t)乘以方程(3)的兩端,則(3)式變?yōu)?/p>

令R(t)=φ(t)r(t),Q(t)=φ(t)q(t),由上式可得

下面分兩種情況討論方程(3)的解的振動(dòng)性,即

2 主要結(jié)果及證明

為證明定理,需要下面的引理.

引理 2.1設(shè)x(t)是方程(3)的最終正解且條件(4)成立,則x′(t)>0.

證明因?yàn)?x(t)是方程 (3)在 [t0,∞)上的最終正解,則存在 T≥t0使得當(dāng) t≥T時(shí)有 x(t)>0,x(σ(t))>0.由方程 (3),得到

因此 φ(t)r(t)|x′(t)|α?1x′(t) 是非增函數(shù)且 x′(t) 的符號(hào)僅有兩種可能. 我們斷言 x′(t)>0

當(dāng) t≥T時(shí).否則,假設(shè)x′(t)<0當(dāng)t≥T時(shí),由(6)式知,存在常數(shù)h,使得

即

從T到t積分上式,得

上式中令t→∞,由條件(4)得x(t)→?∞.此式與題設(shè)x(t)>0矛盾,故假設(shè)不成立.

引理 2.2設(shè)x(t)是方程(3)的最終正解且條件(4)成立,令

證明因?yàn)閤(t)是方程(3)在[t0,∞)上的最終正解,則存在 T≥t0使得當(dāng)t≥T時(shí),有 x(t)>0,x(σ(t))>0.由引理 2.1知 x′(t)>0.方程 (3)變?yōu)榈葍r(jià)方程

由方程(9)和W(t)的定義,可知

當(dāng)α≤β時(shí),由方程 (9)知 R(t)(x′(t))α為減函數(shù),即

綜上,有

其中 m=min{mα,1,mβ},λ=min{α,β}.

定理 2.1設(shè)(H1)-(H3)和條件(4)成立,存在函數(shù)ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)使得條件

則方程(3)振動(dòng).

證明設(shè) x(t)是方程 (3)的非振動(dòng)解.不失一般性,設(shè) x(t)為 [t0,∞)上的最終正解(x(t)<0的情況類似的分析成立),則由引理2.2,有

(14)式兩邊同時(shí)乘以ρ(t)并從T到t積分,可得

上式與條件(13)矛盾,故x(t)是方程(3)的振動(dòng)解.

推論 2.1當(dāng)α=β時(shí),方程(3)可化為半線性微分方程

此時(shí),方程的振動(dòng)條件(13)變?yōu)?

注 2.1文獻(xiàn)[1]中的定理2.1和定理3.1是推論2.1的特例.推論2.1推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)[12]中的定理2.1和定理2.4.

推論 2.2當(dāng)α=1時(shí),方程(3)可化為Emden-Fowler型中立時(shí)滯微分方程:

故振動(dòng)條件(13)可變?yōu)?

注 2.2推論 2.2推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn) [2]中的定理 2.1.文獻(xiàn) [2]中的定理 2.1僅得到當(dāng)α=1和β>1時(shí)方程的解振動(dòng)準(zhǔn)則,而得到對(duì)任意α>0和β>0時(shí)方程的解振動(dòng)準(zhǔn)則.

推論 2.3

方程(9)是方程(3)的特例.如取ρ(t)=1,則振動(dòng)條件(13)可化為

注 2.3推論2.3推廣了著名的Leighton振動(dòng)準(zhǔn)則.

例2.1考慮下面的二階時(shí)滯微分方程

上述方程是文獻(xiàn)[2]中的例2.4.利用文獻(xiàn)[2]中的定理2.1可得,對(duì)一切λ>1,方程的每一解振動(dòng)或滿足x(t)→0(t→∞).但是,利用推論2.3易知,對(duì)一切λ>0,方程的每一解振動(dòng).

定理 2.2設(shè)(H1)-(H3)和條件(4)成立,如果

則方程(3)振動(dòng).

證明設(shè) x(t)是方程 (3)的非振動(dòng)解.不失一般性,設(shè) x(t)為 [t0,∞)上的最終正解(x(t)<0的情況類似的分析成立).由引理2.2,有

成立.

證明設(shè) x(t)是方程 (3)的非振動(dòng)解.不失一般性,設(shè) x(t)為 [t0,∞)上的最終正解 (x(t)<0的情況類似的分析成立),則存在 T≥t0,使得當(dāng) t≥T時(shí),有 x(t)>0和 x(σ(t))>0.x′(t)最終保號(hào)且僅有兩種可能.

情形 1設(shè)當(dāng)t足夠大時(shí)x′(t)>0.方程(3)變?yōu)榈葍r(jià)方程

又回到定理1的情況.由定理1的證明得出矛盾,知方程(3)在[t0,∞)上無最終正解.

情形 2設(shè)當(dāng)t足夠大時(shí)x′(t)<0.方程(3)變?yōu)榈葍r(jià)方程

因?yàn)?x(t)≤ x(σ(t)),則

引理 2.4設(shè)x(t)是方程(3)的最終正解且(13)成立,則存在常數(shù)l使得

證明由方程 (27) 知,(R(t)(?x′(t))α)′≥ 0,故可得

證明設(shè) x(t)是方程 (3)的非振動(dòng)解.不失一般性,設(shè) x(t)為 [t0,∞)上的最終正解(x(t)<0的情況類似的分析成立),則由題設(shè)和引理2.3,可知

由于(39)式與條件(36)矛盾,故方程(3)振動(dòng).

例2.3考慮下面的二階時(shí)滯微分方程

注意到,若取ρ(t)=1,則由定理2.3得,當(dāng)α≥β>0時(shí),方程的每一解振動(dòng).

[1]Sun Y G,Meng F W.Note on the paper of Dˇzurina and Stavroulakis[J].Appl.Math.Comput.,2006,174:1634-1641.

[2]Bohner M,Saker S H.Oscillation of damped second order nonlinear delay di ff erential equation of Emden-Fowler type[J].Adv.Dyn.Sys.Appl.,2006,1(2):163-182.

[3]Liu H D,Meng F W,Liu P C.Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equation[J].Appl.Math.Comput.,2012,219:2739-2748.

[4]Erbe L,Hassan T S,Peterson A.Oscillation of second order neutral delay di ff erential equations[J].Adv.Dyn.Sys.Appl.,2008,3(1):53-71.

[5]Waltman P.A note on an oscillation criterion for an equation with a functional argument[J].Canad.Math.Bull.,1968,11:593-595.

[6]Takasi K,Yoshida N.Nonoscillation theorems for a class of quasiliear di ff erential equations of second order[J].J.Math.Anal.Appl.,1995,189:115-127.

[7]Xu R,Meng F W.Some new oscillation criteria for second order quasi-linear neutral delay di ff erential equations[J].Appl.Math.Comput.,2006,182:797-803.

[8]Ye L H,Xu Z T.Oscillation criteria for second order quasilinear neutral delay di ff erential equations[J].Appl.Math.Comput.,2009,207:388-396.

[9]Li T X,Han Z L,Zhang C H.On the oscillation of second-order Emden-Fowler neutral di ff erential equations[J].J.Appl.Math.Comput.,2011,37:601-610.

[10]Xu R,Meng F W.Oscillatia criterion for second order quasi-linear neutral delay di ff erential equations[J].Appl.Math.Comput.,2007,192:211-222.

[11]Han Z,Li T,Sun S,Chen W.On the oscillation of second-order neutral delay di ff erential equations[J].Adv.Di ff er.Equ.,2010,2010:1-8.

[13]林全文,俞元洪.三階半線性時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性和漸近性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2015,35(2):233-244.

[14]Grace S R,Lalli B S.Asymptotic and oscillatory behavior of solutions of a class of second order di ff erential equations with deviating arguments[J].J.Math.Anal.Appl.,1990,145:112-136.

[15]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].2nd ed.Cambridge:Cambridge University Press,1952.

Oscillation of the half-linear Emden-Fowler di ff erential equation

Li Wenjuan1,Tang Huo1,Li Shuhai1,Yu Yuanhong2
(1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China;2.Academy of Mathematics System Sciences,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China)

In this paper,we study the oscillation of a half-linear Emden-Fowler di ff erential equation With the help of the generalized Riccati transformation and integral averaging technique,we establish some new oscillation criteria for the above equation.These results extend and improve some existing results in the cited literature.Also,our results are illustrated with some examples.It is shown that the theorem has some advantages over the existing literature.

Emden-Fowler equation,half-linear di ff erential equations,oscillation

O175.27

A

1008-5513(2017)03-0274-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.007

2017-03-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11561001);內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2014MS0101).

李文娟(1981-),碩士,講師,研究方向：穩(wěn)定性理論及應(yīng)用.

2010 MSC:34C10,34C15