一種新的雙正交小波的構(gòu)造方法研究

吐爾洪江·阿布都克力木,阿麗亞·玉山,黃允滸

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830017)

一種新的雙正交小波的構(gòu)造方法研究

吐爾洪江·阿布都克力木,阿麗亞·玉山,黃允滸

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830017)

在二進(jìn)提升方案相關(guān)理論的基礎(chǔ)上,結(jié)合雙正交性、消失矩性和對(duì)稱性條件,提出一種構(gòu)造提升雙正交小波的新方法.此方法從二進(jìn)小波出發(fā),考慮小波所具有的特性,通過選取適當(dāng)?shù)奶嵘齾?shù),具體構(gòu)造了具有緊支撐、對(duì)稱性、高階消失矩和速降性的提升雙正交小波.

二進(jìn)提升方案;雙正交小波;有限長(zhǎng)度;消失矩;對(duì)稱性

1 引言

小波變換是繼Fourier變換之后又一有效地信號(hào)和圖像處理工具,小波的構(gòu)造也隨之成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域[1].為了達(dá)到較好的信號(hào)處理效果,選取的濾波器往往要考慮以下幾個(gè)特征:正交性、對(duì)稱性、緊支撐、高階消失矩.文獻(xiàn)[2]已經(jīng)提出了一個(gè)緊支撐正交小波的構(gòu)造性方法.遺憾的是這樣的小波是不對(duì)稱的.進(jìn)一步分析可以得到Haar小波是唯一同時(shí)具有正交性、緊支撐和對(duì)稱性的小波.對(duì)應(yīng)于對(duì)稱小波的最重要的線性相位約束也許可以通過放松正交性限制并且使用雙正交小波保持.M.Unser和A.Aldroubi[3]已給出了是雙正交小波并且已利用B-樣條函數(shù)構(gòu)造出來的多項(xiàng)式樣條小波.盡管這些小波是光滑對(duì)稱的,但是它們的小波不具有有限長(zhǎng)度.

雙正交提升方案(Lifting scheme)是由一個(gè)較簡(jiǎn)單的初始雙正交小波出發(fā),逐步的利用提升,得到所需性質(zhì)的多分辨分析的一種新的雙正交小波構(gòu)造方法.基于提升方案的雙正交小波簡(jiǎn)稱為提升雙正交小波.尋找提升雙正交小波的基本思路是彌補(bǔ)傳統(tǒng)雙正交小波的不足,且具備其優(yōu)點(diǎn).為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)雙正交小波的不足,推廣傳統(tǒng)雙正交小波的優(yōu)點(diǎn),W.Sweldens詳細(xì)地分析了提升和對(duì)偶提升對(duì)尺度函數(shù)、小波及其對(duì)偶的影響.在1996年W.Sweldens放棄Fourier變換這個(gè)構(gòu)建雙正交小波的工具,利用提升方案研究了在時(shí)間域內(nèi)構(gòu)造雙正交小波的問題[4],并得到基于提升雙正交小波的信號(hào)分解與重構(gòu)的計(jì)算方案和稱之為第二代小波變換的理論[5].以此方案為基礎(chǔ),人們對(duì)雙正交小波的構(gòu)造進(jìn)行了研究并構(gòu)造了性質(zhì)較好的雙正交小波,但是,Sweldens提升方案僅局限于由雙正交小波出發(fā)構(gòu)造雙正交小波,進(jìn)一步放寬雙正交的條件,在2000年T.Abdukirim克服了Sweldens提升方案的缺陷,并將其推廣提出了二進(jìn)提升方案[6].此方案由二進(jìn)小波出發(fā)不僅可以構(gòu)造新的二進(jìn)小波,還可以構(gòu)造雙正交小波.同時(shí),通過調(diào)整二進(jìn)提升方案中提升參數(shù)的形式,可以使構(gòu)造的小波具備各種好的特性[7-12].

本文從信號(hào)處理與分析的實(shí)際需要出發(fā),在二進(jìn)小波及二進(jìn)提升方案的基礎(chǔ)上,通過對(duì)參數(shù)的限定,提出一種構(gòu)造提升雙正交小波的新方法,應(yīng)用此方法構(gòu)造的小波具有更高階消失矩、緊支撐、對(duì)稱性和速降性.而這些濾波器卻不能由Sweldens的提升方案所得到;它能僅從一個(gè)雙正交小波濾波器去構(gòu)造一個(gè)新的雙正交小波濾波器.這些結(jié)果豐富了小波的理論.

2 二進(jìn)提升方案的基本概念

本節(jié)簡(jiǎn)要給出二進(jìn)提升方案的概念,這些概念是由文獻(xiàn)[6]第一次引入的.還將分析信號(hào)處理對(duì)小波的要求及現(xiàn)有Sweldens提升方案的缺點(diǎn).

定義2.1若濾波器組的無限級(jí)聯(lián)計(jì)算產(chǎn)生兩個(gè)二進(jìn)尺度函數(shù)和二進(jìn)小波,它們的Fourier變換滿足:

其中

則方程(2.1)和(2.2)稱為二尺度關(guān)系（二尺度差分方程）.

定義2.2若濾波器組的Fourier變換滿足二進(jìn)重構(gòu)條件:

定義2.3若濾波器組的Fourier變換滿足雙正交重構(gòu)條件:

定義2.4設(shè)初始濾波器組是二進(jìn)小波濾波器組,若它們的Fourier變換滿足

則方程組(2.5)稱為一種二進(jìn)提升方案(Dyadic Lifting Scheme).其中濾波器為提升濾波器,s為提升參數(shù).

其中

“l(fā)”是“l(fā)ifting”的縮寫.

命題2.1[8]設(shè)濾波器組是二進(jìn)小波濾波器組,則由二進(jìn)提升方案(2.5)定義的提升濾波器也二進(jìn)小波濾波器.

推論2.1設(shè)初始濾波器組是雙正交小波濾波器組,則二進(jìn)提升方案(2.5)中 s2n+1=0得到Sweldens提升方案[4]：

定義2.5設(shè)初始濾波器組是二進(jìn)小波濾波器組,若它們的Fourier變換滿足

則方程組(2.7)稱為一種二進(jìn)對(duì)偶提升方案(Dyadic Dual Lifting Scheme).其中r為提升參數(shù).

命題2.2[8]設(shè)初始濾波器組是二進(jìn)小波濾波器組,則由二進(jìn)對(duì)偶提升方案(2.7)定義的提升濾波器也二進(jìn)小波濾波器.

二進(jìn)對(duì)偶提升方案是一個(gè)利用已知的二進(jìn)小波濾波器作為模塊構(gòu)造一個(gè)新的二進(jìn)小波濾波器的系統(tǒng)的方法.

推論2.2設(shè)初始濾波器組是雙正交小波濾波器組,則二進(jìn)對(duì)偶提升方案(2.7)中r2n+1=0得到Sweldens對(duì)偶提升方案[4]:

值得注意是Sweldens提升方案僅局限于從雙正交小波出發(fā)構(gòu)造雙正交小波,二進(jìn)提升方案不僅可以構(gòu)造二進(jìn)小波,還可以構(gòu)造雙正交小波,同時(shí),通過調(diào)整二進(jìn)提升方案中提升參數(shù)的形式,可以使構(gòu)造的小波具備各種好的特性.推論2.1和推論2.2說明Sweldens提升方案是二進(jìn)提升方案的特例,雙正交小波空間是二進(jìn)小波空間的子空間.這種變換不僅能克服“Mallat小波變換”的不足,而且還隱含著潛在的優(yōu)越性,這是對(duì)小波變換本身的探討,如同研究的操作系統(tǒng)一樣,牽一而動(dòng)全局,無疑具有重要的理論意義和廣泛的應(yīng)用前景.

3 雙正交小波的構(gòu)造理論

現(xiàn)在我們描述如何用二進(jìn)對(duì)偶提升方案 (2.7)設(shè)計(jì)雙正交小波濾波器.由命題2.2可知(2.7)已經(jīng)滿足條件(2.3).我們尋找一個(gè)使得(2.7)滿足剩下的雙正交重構(gòu)條件(2.4)的條件.

定理3.1設(shè)初始濾波器組是二進(jìn)小波濾波器組，如果二進(jìn)對(duì)偶提升方案中提升參數(shù)rn滿足下面的條件:

則(2.7)式得到的提升濾波器是雙正交小波濾波器,其中z=e?iω,偶提升參數(shù)r2n不受限制.

定義3.1若

成立,則稱ψ(t)為p階消失矩小波.

命題 3.1下述論斷互相等價(jià)：

顯然,提升過程并不會(huì)改變對(duì)偶小波的消失矩,但是通過選擇合適的提升參數(shù)使得新構(gòu)造的提升濾波器的消失矩增加,從而提高對(duì)應(yīng)小波的消失矩.

定理 3.21)若命題 3.1中的初始雙正交小波分解高通濾波器 g的 Fourier變換滿足(0)≠0,那么(ω)=0的充分條件是

2)若初始雙正交小波分解高通濾波器g具有p階消失矩,那么運(yùn)用命題3.1提升后的雙正交小波分解高通濾波器(ω)具有至少p+1階消失矩的充分條件是提升參數(shù)(2ω)滿足:

根據(jù)定理3.1和定理3.2,通過選擇合適的提升和對(duì)偶提升參數(shù){s,r},就可以提升小波及其對(duì)偶的消失矩,從而改善小波的性能.值得注意是由于對(duì)偶提升和提升過程是相互對(duì)稱的,因此提升參數(shù)的構(gòu)造方法完全可以對(duì)稱的應(yīng)用到對(duì)偶提升參數(shù)的構(gòu)造中.

4 基于 B-樣條的雙正交小波構(gòu)造

本文中,描述了如何通過使用在文獻(xiàn)[7]中提出的提升二進(jìn)小波理論來構(gòu)造雙正交小波.定理3.1、定理3.2提供了一種構(gòu)造高階消失矩的提升雙正交小波的新方法.下面應(yīng)用此方法構(gòu)造具有更高階消失矩的提升雙正交小波濾波器.此方法用于構(gòu)造基于B-樣條的具有有限長(zhǎng)度和消失矩的對(duì)稱雙正交小波.構(gòu)造的小波不同于在文獻(xiàn)[3]中給出的小波.選取一個(gè)m次B-樣條函數(shù)作為尺度函數(shù)φ(t),因?yàn)檫@種函數(shù)滿足雙尺度關(guān)系(2.1)和(2.2).我們將Mallat構(gòu)造的B-樣條二進(jìn)小波濾波器推廣得到新的B-樣條二進(jìn)小波濾波器.其中,γ=1時(shí)對(duì)應(yīng)的濾波器正是Mallat在文獻(xiàn)[1]中構(gòu)造的B-樣條二進(jìn)小波濾波器.

m次B-樣條是I[0,1]與其自身的m+1次卷積的平移,其Fourier變換為:

由二進(jìn)完全重構(gòu)條件(2.3),有

因此,由二尺度關(guān)系(2.1),有

表1 具有二階消失矩的初始一次樣條二進(jìn)小波濾波器系數(shù)

圖1 尺度函數(shù)和小波(φ,,,)的圖形

應(yīng)用定理3.1設(shè)計(jì)雙正交小波濾波器.因?yàn)槌跏家淮螛訔l二進(jìn)小波濾波器h,g,和滿足:

所以提升參數(shù)rn必須滿足的條件是,

表2 提升雙正交小波濾波器系數(shù)

所以由命題3.1的結(jié)果可以看出濾波器g具有二階消失矩.因此,得到表2中所示的具有二階消失矩的提升雙正交小波濾波器組由二尺度關(guān)系式(2.1)和(2.2)得到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)尺度函數(shù)和兩個(gè)小波的圖形如圖2所示,依次為:

圖2 兩個(gè)尺度函數(shù)和小波(,ψ,,)的圖形

例 4.2應(yīng)用推論2.1和定理3.2(2)的結(jié)果設(shè)計(jì)一個(gè)具有三階或更高階消失矩的分解高通雙正交小波濾波器.(ω)必須滿足條件:

圖3 尺度函數(shù)和小波(,,,)的圖形

表3 具有四階消失矩的交替提升雙正交小波濾波器系數(shù)

此提升過程也適用于γ=2,m=1,2,···與γ=1,m=1,2,···的 B-樣條二進(jìn)小波濾波器.所以從二進(jìn)小波濾波器出發(fā)應(yīng)用定理3.1、定理3.2,選取適當(dāng)?shù)奶嵘齾?shù)可以構(gòu)造滿足實(shí)際需要的各種特性的雙正交小波濾波器.在二進(jìn)提升方案相關(guān)理論的基礎(chǔ)上,結(jié)合雙正交性、消失矩性和對(duì)稱性條件,提出了一種構(gòu)造提升雙正交小波的新方法.此方法由二進(jìn)小波濾波器出發(fā),構(gòu)造了具有更高階消失矩的提升雙正交小波濾波器.而這些濾波器卻不能由Sweldens的提升方案所得到,它能僅從一個(gè)雙正交小波濾波器去構(gòu)造一個(gè)新的雙正交小波濾波器.

5 結(jié)論

本文研究了提升雙正交小波濾波器的構(gòu)造.通過分析和研究二進(jìn)提升方案,結(jié)合雙正交性、消失矩性和對(duì)稱性條件,提出了兩個(gè)定理,應(yīng)用這兩個(gè)定理,選取適合的提升參數(shù),構(gòu)造了同時(shí)具有緊支撐、高階消失矩、對(duì)稱性和速降性的提升雙正交小波和交替提升雙正交小波,這些好的特性正是雙正交小波所期望具備的.鑒于雙正交小波本身所具有的緊支撐、高階消失矩、對(duì)稱性和速降性這些較好的特性,對(duì)于信號(hào)和圖像去噪、增強(qiáng)、特征提取等可能取得更好的處理效果[12-13].

[1]Mallat S.A Wavelet Tour of Signal Processing[M].New York:Academic Press,1998.

[2]Daubechies I.Ten Lectures on Wavelets[M].New York:SIAM Press,1992.

[3]Unser M,Aldroubi A.Polynomial Splines and Wavelets-A Signal Processing Perspective[M].New York:Academic Press,1992:91-122.

[4]Sweldens W.The lifting scheme:A ustom-design construction of bi-orthogonal wavelets[J].Appl.Comput.Harmon.Anal.,1996,3(2):186-200.

[5]Sweldens W.The lifting scheme:A construction of second generation wavelets[J].SIAM J.of Math.Anal.,1997,29(2):511-546.

[6]Abdukirim Turki T,Niijima K,Takano S．Lifting Dyadic Wavelets[R].Japan:Kyushu University,2000．

[7]Abdukirim Turki T,Takano S,Niijima K.Construction of spline dyadic wavelet fi lters[J].Information Science and Electrical Engineering Journal of Kyushu University,2002,7(1):1-6.

[8]Abdukirim Turki T,Niijima K,Takano S.Design of biorthogonal wavelet fi lters using dyadic lifting scheme[J].Bulletin of Informatics and Cybernetics,2005,37(1):123-136.

[9]Abdukirim Turki T,Hussain M,Niijima K,et al.The dyadic lifting schemes and the de-noising of digital image[J].International Journal of Wavelets,Multi-resolution and Information Processing,2008,6(3):331-351.

[10]吐爾洪江·阿布都克力木,阿布都許庫熱·阿布都克力木,張海英.二進(jìn)小波的構(gòu)造方法研究[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(2):149-154.

[11]吐爾洪江·阿布都克力木.小波信號(hào)處理基礎(chǔ)[M].北京:北京郵電大學(xué)出版社,2014.

[12]Abdukirim Turki T.Lifting dyadic wavelet theory and design of fi lters for image processing[D].Japan:Kyushu University,2005.

[13]吐爾洪江·阿布都克力木.Dyadic Wavelet Theory and its Application[M].北京:北京郵電大學(xué)出版社,2015.

Study on new construction methods of the biorthogonal wavelets

Turghunjan Abdukirim Turki,Aliya Yushan,Huang Yunhu
(School of Mathematical Sciences,Xinjiang Normal University,Urumqi830017,China)

A new method for designing biorthogonal wavelet fi lters by dyadic lifting scheme is proposed.On the basis of the theory of the dyadic lifting scheme,a new method is proposed to construct the biorthogonal wavelet,which is based on the condition of biorthogonality,vanishing moment and symmetry.This method from the dyadic wavelet,considering the characteristics of wavelet has,by choosing appropriate parameters of lifting,concrete structure with compact support,symmetry,and high vanishing moments and downhill for the improvement of the biorthogonal wavelet.

dyadic lifting scheme,biorthogonal wavelets, fi nite length,vanishing moment,symmetry

O235

A

1008-5513(2017)03-0221-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.001

2016-09-21.

國家自然科學(xué)基金(61362039;11261061;10661010);新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金(200721104);新疆師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科基金.

吐爾洪江·阿布都克力木(1962-),博士,教授,研究方向:小波理論在圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺中的研究及應(yīng)用.

2010 MSC:94A15