基于鏡射變換的地圖投影新定義體系

佳奇,鐘業(yè)勛,，3,胡寶清,邊少鋒,李厚樸

(1.海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430043；2.廣西師范學(xué)院 北部灣環(huán)境演變與資源利用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;廣西地表過程與智能模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 南寧 530001；3.廣西測(cè)繪地理信息局，廣西 南寧 530023)

基于鏡射變換的地圖投影新定義體系

佳奇1,鐘業(yè)勛1,2，3,胡寶清2,邊少鋒1,李厚樸1

(1.海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430043；2.廣西師范學(xué)院 北部灣環(huán)境演變與資源利用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;廣西地表過程與智能模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 南寧 530001；3.廣西測(cè)繪地理信息局，廣西 南寧 530023)

為了揭示正方位投影、偽方位投影、正圓錐投影、偽圓錐投影、正圓柱投影、偽圓柱投影和多圓錐投影等常規(guī)地圖投影的構(gòu)圖規(guī)律，采用比較分析的方法，發(fā)現(xiàn)這7類投影的圖形具有鏡射變換關(guān)系。不同類型的投影滿足不同的變換條件。根據(jù)鏡射變換滿足的不同條件，可對(duì)上述7種地圖投影進(jìn)行定義，從而建立基于鏡射變換的常規(guī)地圖投影定義體系。

鏡射變換；地圖投影；中央經(jīng)線；經(jīng)線；緯線；定義

刺孔球面與二維平面同胚是建立地圖投影的基本原理。同胚也即拓?fù)渥儞Q，拓?fù)渥儞Q規(guī)定的正反函數(shù)都是連續(xù)的雙一一函數(shù)關(guān)系，使球面上的點(diǎn)不包括極點(diǎn)，因?yàn)樵谶@一點(diǎn)上是地軸上無限多的點(diǎn)與唯一的投影點(diǎn)對(duì)應(yīng)，不滿足拓?fù)渥儞Q的條件，所謂“刺孔”，也就是要除去這一點(diǎn)[1]。地圖投影正常位置下按經(jīng)緯網(wǎng)形狀分類可分為正方位投影、偽方位投影、正圓錐投影、偽圓錐投影、正圓柱投影、偽圓柱投影和多圓錐投影七大類[2-3]，這是各種地圖投影教材通常都介紹的地圖投影，只不過大多數(shù)教材只局限于對(duì)投影作定性的文字描述。地圖投影可以從經(jīng)緯線曲率變化的規(guī)律的角度定義[4]，也可以從不同經(jīng)緯線類型組合的觀點(diǎn)定義[5-6]。比較法在探索研究對(duì)象本質(zhì)和規(guī)律中尤為重要；模型的建立是在分析與綜合的基礎(chǔ)上，通過歸納、演繹、比較等主要環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)的；比較法在比較地圖學(xué)中無處不在，它的廣泛應(yīng)用顯示了其方法論優(yōu)勢(shì)[7]。比較構(gòu)成了所有科學(xué)解釋的核心(Armer,1973;Bailey,1982)。所有科學(xué)本質(zhì)上是比較的(Klingman,1980)。有的學(xué)者認(rèn)為，沒有比較就沒有科學(xué)思想(Swanson,1971)[8]?；镜孛残螒B(tài)中島嶼等概念的提出，基于恒定空間地物演化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，都蘊(yùn)含著比較因素[9-10]。通過比較發(fā)現(xiàn)，這7種地圖投影都可以從某對(duì)稱軸的一邊經(jīng)過鏡射變換獲得另一半，然后由原像與鏡像合成得到，但不同的投影其經(jīng)緯線滿足的條件不同，這不同就決定了彼此的差異。據(jù)此，可以建立基于鏡射變換的地圖投影定義體系。

1 鏡射變換的定義

1.1 鏡射變換

對(duì)平面上的定直線l，使得原像點(diǎn)M與像點(diǎn)M′之間的線段MM′被l垂直平分的變換叫做以l為軸的鏡射變換，簡(jiǎn)稱鏡射(也稱反射)，軸為l的鏡射常記為Ml。

測(cè)繪學(xué)中縱向?yàn)閄而橫向?yàn)閅，所以地圖投影中以中央經(jīng)線λ0為縱軸的直角坐標(biāo)系O-xy下，鏡射的變換關(guān)系為

Mλ0:x′=x∧y′=-y.

(1)

以赤道s0為橫軸的直角坐標(biāo)系O-xy下，鏡射的變換關(guān)系為[11]

Ms0:x′=-x∧y′=y.

(2)

1.2 中心對(duì)稱

若兩圖形上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被某一定點(diǎn)平分，則稱此圖形關(guān)于上述定點(diǎn)成中心對(duì)稱，該定點(diǎn)稱為對(duì)稱中心。若一個(gè)圖形關(guān)于某一定點(diǎn)成中心對(duì)稱的圖形是這一圖形本身，則此圖形稱為中心對(duì)稱圖形，該定點(diǎn)仍稱為對(duì)稱中心[12]。

2 基于鏡射變換的常規(guī)地圖投影的數(shù)學(xué)定義

2.1 正方位投影

(3)

顯然，第1個(gè)條件表達(dá)了投影的經(jīng)線為以O(shè)為投影中心的同心圓的直徑的特點(diǎn)。第2個(gè)條件表達(dá)了投影的緯線為同心圓，如圖1所示。

圖1 正方位投影網(wǎng)

2.2 偽方位投影

(4)

顯然，第1個(gè)條件表達(dá)了投影的經(jīng)線為以λ0為對(duì)稱軸的曲線，第2個(gè)條件表達(dá)了投影的緯線為同心圓，如圖2所示。

圖2 偽方位投影網(wǎng)

2.3 正圓錐投影

(5)

顯然，第1個(gè)條件表達(dá)了投影的經(jīng)線為以O(shè)為投影中心的同心圓弧的直徑的特點(diǎn)。第2個(gè)條件表達(dá)了投影的緯線為同心圓弧，如圖3所示。

圖3 正圓錐投影網(wǎng)

2.4 偽圓錐投影

(6)

顯然，第1個(gè)條件表達(dá)了投影的經(jīng)線為以λ0為對(duì)稱軸的曲線，第2個(gè)條件表達(dá)了投影的緯線為同心圓弧，如圖4所示。

圖4 偽圓錐投影網(wǎng)

2.5 正圓柱投影

?λ0={y=0}∈X∧s0={x=0}∈Y，若滿足下列條件：

(7)

顯然，第1個(gè)條件表達(dá)了投影的經(jīng)線為相互平行的直線，第2個(gè)條件表達(dá)了投影的緯線均垂直于經(jīng)線的直線，也即各緯線相互平行，如圖5所示。

圖5 正圓柱投影網(wǎng)

2.6 偽圓柱投影

?λ0={y=0}∈X∧s0={x=0}∈Y，τi為λi的曲率，τi′為λi′的曲率，若滿足下列條件：

(8)

顯然，第1個(gè)條件表達(dá)了投影的經(jīng)線為對(duì)稱于中央經(jīng)線λ0的曲線，第2個(gè)條件表達(dá)了投影的緯線為相互平行的直線，如圖6所示。

圖6 偽圓柱投影網(wǎng)

2.7 多圓錐投影

?λ0={y=0}∈X∧s0={x=0}∈Y∧λ0∩s0=O，τi為λi的曲率，τi′為λi′的曲率，若滿足下列條件：

(9)

顯然，第1個(gè)條件表達(dá)了投影的經(jīng)線為以λ0為對(duì)稱軸的曲線，第2個(gè)條件表達(dá)了投影的緯線為同軸圓弧，緯線半徑Rj為緯度φj的函數(shù)，如圖7所示。

圖7 多圓錐投影網(wǎng)

3 結(jié)束語

地圖投影正常位置下按經(jīng)緯網(wǎng)形狀分類可分為正方位投影、偽方位投影、正圓錐投影、偽圓錐投影、正圓柱投影、偽圓柱投影和多圓錐投影七大類。揭示這七類地圖投影的構(gòu)圖規(guī)律是地圖投影理論研究的一個(gè)重要課題。比較方法是科學(xué)研究中普遍使用的方法。比較方法在地圖學(xué)諸多領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用充分顯示了其方法論優(yōu)勢(shì)。通過比較發(fā)現(xiàn)，七類常規(guī)地圖投影都具有以中央經(jīng)線λ0為對(duì)稱軸的共性。正方位投影、正圓柱投影、偽圓柱投影和多圓錐投影還具有中心對(duì)稱的共性。軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的圖形都具有鏡射變換關(guān)系，地圖投影的網(wǎng)格可由鏡射變換的原像和鏡像合成。不同類型的地圖投影，需要滿足不同的變換條件，不同投影的經(jīng)緯網(wǎng)結(jié)構(gòu)特征，是不同變換條件的圖形表現(xiàn)。根據(jù)各類投影需要滿足的變換條件，可以構(gòu)建常規(guī)地圖投影的基于鏡射變換的定義體系。

[1] 鐘業(yè)勛，童新華，韋清嫄.地圖投影的拓?fù)鋵W(xué)原理[J].桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2014，34(3)：510-514.

[2] 胡毓鉅，龔劍文.地圖投影[M].2版.北京：測(cè)繪出版社，2006.

[3] 鐘業(yè)勛.數(shù)理地圖學(xué)[M].北京：測(cè)繪出版社，2007.

[4] 鐘業(yè)勛，童新華，李占元. 若干常規(guī)地圖投影的數(shù)學(xué)定義[J].桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，31(3):391-394.

[5] 鐘業(yè)勛，胡毓鉅，童新華.基于不同經(jīng)緯線類型組合的地圖投影新定義[J].海洋測(cè)繪,2012，32(6):13-16.

[6] 鐘業(yè)勛，胡寶清，童新華，等. 地圖學(xué)概念的數(shù)學(xué)表述研究[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

[7] 鐘業(yè)勛，胡毓鉅.比較地圖學(xué)在中國的研究與進(jìn)展[J].地圖，1991,5:10-14.

[8] [瑞士]丹尼爾.卡拉曼尼.基于布爾代數(shù)的比較法導(dǎo)論[M].蔣勤，譯.上海：格致出版社，上海人民出版社，2012.

[9] 鐘業(yè)勛，胡寶清.基本地貌形態(tài)數(shù)學(xué)定義的改進(jìn)[J].黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，28(5)：1-2.

[10] 鐘業(yè)勛，王家耀，胡寶清.基于恒定空間的地物演化規(guī)律[J].黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，29(6)：1-4.

[11] 羅淼，嚴(yán)虹，廖義琴.幾何學(xué)概論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2011.

[12] 谷超豪.數(shù)學(xué)詞典[M].上海：上海辭書出版社，1992.

[責(zé)任編輯：郝麗英]

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New definition system of map projection based onreflex transformation

LIU Jiaqi1,ZHONG Yexun1,2,3,HU Baoqing2,BIAN Shaofeng1,LI Houpu1

(1.Department of Navigation Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430043, China; 2. 2a, Key Laboratory of Beibu Gulf Environment Change and Resources Use, Ministry of Education,China;2b, Guangxi Key Laboratory of Earth Surface Processes and Intelligent Simulation(Guangxi Teachers Education University), Nanning 530001,China; 3.Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning 530023,China)

In order to reveal the composition regularity of regular map projection such as azimuth projection, pseudo azimuth projection, positive conic projection, pseudo-conic projection, normal cylindrical projection, pseudo-cylindrical projection and multi-conic projection, the paper uses a method of comparative analysis and concludes that these seven types of projections have the relationship of reflex transformation. The transformation conditions that different projections satisfy are different. According to the different conditions that reflex transformation can meet, this paper defines the above seven map projections, thus establishing a new definition system of general map projections based on reflex transformation.

reflex transformation; map projection; central meridian; meridian; parallel; definition

2016-11-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41671459;41361022;41571441)；廣西科技開發(fā)項(xiàng)目(2014DD29090)；廣西北部灣重大基礎(chǔ)專項(xiàng)子課題(2012GXNSFEA053001)

劉佳奇(1994-)，女，碩士研究生，研究方向：海圖投影.

P22

A

1671-4679(2017)03-0001-04