一種有限頻域內的有界實引理

張洪波，李飛，路晶晶

（1.海軍航空工程應用所，北京100071；2.海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺264001；3.海軍七〇四工廠，山東青島266109）

一種有限頻域內的有界實引理

張洪波1，李飛2，路晶晶3

（1.海軍航空工程應用所，北京100071；2.海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺264001；3.海軍七〇四工廠，山東青島266109）

針對傳統(tǒng)有限頻域內有界實引理在設計時可能帶來的保守性問題，對其進行了改進；引入松弛變量，推導出一類保守性較小的有限頻域內的有界實引理。首先，直接給出新的有界實定理；然后，通過引進投影引理證明了新的定理。新的有界實引理不僅考慮了系統(tǒng)頻率特性，而且在引入松弛變量后，使得多約束設計能夠具有更小的保守性。

有限頻；有界實引理；松弛變量

作為魯棒控制中的重要引理，有界實引理對于解決H∞控制問題提供了簡單的線性矩陣不等式形式，方便了研究者直接使用。自從文獻[1]針對連續(xù)線性系統(tǒng)提出了著名的有界實引理后，經過近十幾年的發(fā)展，該引理得到了廣泛的應用和改進[2-5]。但是傳統(tǒng)的有界實引理以及很多改進方法只能在全頻域內處理，而干擾往往屬于某些特定的頻范圍，因而當前的有界實引理具有很大的保守性。

近十年來，有限頻設計得到了越來越多學者的重視，也已被證實能改善系統(tǒng)性能。Iwasaki和Hara提出了擴展KYP（GKYP）引理[6]，并給出了有限頻魯棒設計的不等式，奠定了有限頻設計的基礎；文獻[7]將傳統(tǒng)H∞范數(shù)的概念推廣到有限頻段，提出窗口H∞范數(shù)的概念，該概念具有重要的意義，并得到了一定的發(fā)展；有限頻設計在很多控制問題中得到了應用，例如主動懸架的控制[8]、故障檢測[9-11]和故障估計[12]等。

盡管部分學者已經進行了有限頻魯棒控制的研究，但是在實際設計控制器或觀測器時，往往需要考慮多種約束條件，形成多個LMI，在Lyapunov矩陣設計上，傳統(tǒng)做法是讓各個LMI的Lyapunov矩陣相同，這勢必會帶來設計上的保守性，甚至可能導致無解。文獻[13-14]在處理多約束條件時，引入松弛變量，每個LMI仍然保留了獨立的Lyapunov矩陣，降低了設計的保守性。本文將松弛變量的設計思想引入有限頻的界實引理中，為有限頻域內的控制器或觀測器設計提供保守性較小的定理。

1 主要結論

定義1[7]：定義性能指標如下：

下面直接給出本文的主要結論：有限頻域內的有界實引理，見定理1。

定理1：對于連續(xù)系統(tǒng)：

假設det(jωI-A)≠0(?ω∈W)，則以下2個條件等價：

2）存在對稱正定矩陣P、Q、S和尺度因子ε，使得以下不等式成立。

對于低頻范圍W：|ω|≤ωl，存在

對于中頻范圍W：ωl≤|ω|≤ωh，存在

對于高頻范圍W：|ω|≥ωh，存在

在實際進行魯棒設計時，往往會存在多個約束不等式，且每個不等式都會存在不同的Lyapunov矩陣，為了求解方便，傳統(tǒng)做法是所有Lyapunov矩陣相同，然而這卻增加了算法的保守性[15]，并可能導致多約束設計問題無解。

文獻[13-14]使用松弛變量，每個約束不等式仍然保留了獨立的Lyapunov矩陣，降低了設計的保守性。因此，本文主要結論也引入了松弛變量。

2 主要結論證明

為證明定理1，引進投影引理并推導出定理3。

引理2[16]：（投影引理）給定矩陣Σ=ΣT，Λ、Υ存在矩陣Θ滿足Σ+ΛTΘTΥ+ΥTΘΛ＜0，當且僅當以下其中一式成立：

Υ⊥、Λ⊥分別代表Υ、Λ的右零空間矩陣。

定理3：考慮系統(tǒng)（3），如果存在對稱正定矩陣P和Q，使得式（7）～（9）滿足，則系統(tǒng)（3）在相應的頻段內滿足窗口H∞性能：

對于低頻范圍W：|ω|≤ωl，

對于中頻范圍W：ωl≤|ω|≤ωh，

對于高頻范圍W：|ω|≥ωh，

證明：首先證明低頻范圍情形。

根據(jù)GKYP引理[7，17]可知，在低頻范圍W： |ω|≤ωl內，的充要條件是：

式（11）兩邊除以γ，令則變?yōu)椋?/p>

根據(jù)schur補引理可得式（12）和式（7）等價。

相似地可證明中頻和高頻情形的正確性。證畢。

在推導出定理3之后，下面對引入松弛變量S的定理1進行證明。

證明：若要定理1成立，只要證明式（4）和式（7）、式（5）和式（8）以及式（6）和式（9）之間的等價性即可。首先證明式（4）和式（7）之間的等價性。

根據(jù)schur補引理，式（4）等價于：

式（13）可以表示為引理2中的

那么，根據(jù)引理2的式（1）、（4）等價于

即

根據(jù)schur補引理，式（15）等價于式（7），因此式（7）和式（4）等價。相似地，可證明式（5）和式（8）以及式（6）和式（9）之間的等價性。證畢。

3 結論

針對有限頻域內的有界實引理在設計控制器或觀測器時帶來的保守性問題，本文引入松弛變量，提出一類有限頻有界實定理，能夠降低設計時的保守性，該引理為控制問題中的有限頻魯棒設計提供了簡單可直接使用的線性矩陣不等式。

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A Bounded Real Lemma in Finite Frequency

ZHANG Hongbo1,LI Fei2,LU Jingjing3
（1.Naval Aeronautical Engineering Application Institute,Beijing 100071,China;2.Department of Control Engineering, NAAU,Yantai Shandong 264001,China;3.Naval 704thFactory,Qingdao Shandong 266109,China）

In order to overcome the design conservation,the traditional bounded real lemma(BRL)in finite frequency was improved,and the new lemma was deduced.Firstly,the new BRL was given directly.Secondly,the new theorem was proved through the projection lemma.The new BRL not only considered the system frequency characteristic,but intro?duced the slack variabl which could reduce the conservatism in multi-constraints design.

finite frequency;bounded real lemma;slack variable

TP273

A

1673-1522（2017）02-0227-03

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.02.009

2016-09-01；

2016-11-12

國家自然科學基金資助項目（61473306）

張洪波（1967-），女，高工，大學。