基于Backstepping的多輸入極值搜索系統(tǒng)控制器設計

陳勇，張雷，梁濤，于開民

（1.海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺264001；2.91880部隊，山東膠州266300；3.91899部隊，遼寧葫蘆島125001）

基于Backstepping的多輸入極值搜索系統(tǒng)控制器設計

陳勇1，張雷1，梁濤2，于開民3

（1.海軍航空工程學院控制工程系，山東煙臺264001；2.91880部隊，山東膠州266300；3.91899部隊，遼寧葫蘆島125001）

針對一類含未知參數(shù)的多輸入極值搜索系統(tǒng)的控制器設計問題，設計出極值搜索系統(tǒng)的狀態(tài)量極值參考軌跡，利用Backstepping方法進行控制器設計，給出未知參數(shù)估計律，以實現(xiàn)對目標函數(shù)的極值搜索過程。數(shù)字仿真驗證了所提出的基于Backstepping的控制器設計方法的有效性。

多輸入；極值搜索系統(tǒng)；極值參考軌跡；Backstepping控制；未知參數(shù)

1954年，Tsien教授明確定義了極值搜索方法，并將極值搜索方法視為是面向實時系統(tǒng)的自適應尋優(yōu)控制方法的一種[1]。目前，極值搜索方法的研究領域已經(jīng)向多變量極值搜索系統(tǒng)、隨機極值搜索系統(tǒng)和純反饋系統(tǒng)發(fā)展[2]，并已成功地應用于極限環(huán)運動控制系統(tǒng)[3-4]、生化反應控制系統(tǒng)[5-6]等多種工程系統(tǒng)中。形成了諸如基于正弦激勵信號的極值搜索方法[7]、滑模極值搜索方法[8]、簡單半全局極值搜索方法[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡極值搜索方法[10]、多單元極值搜索方法[11]等重要方法，已有的方法中采用Backstepping方法進行極值搜索控制器設計的文獻尚不多見[12]。利用Backstepping控制方法進行系統(tǒng)控制器設計能夠較好地處理參數(shù)未知的情況[13]，文獻[14-15]針對具有參數(shù)不確定性的嚴格反饋非線性系統(tǒng)，將自適應技術與Backstepping控制方法相結合進行控制器設計。文獻[16]針對極值搜索系統(tǒng)進行極值參考軌跡設計，并利用逆最優(yōu)控制方法進行控制器設計。文獻[17]針對一類目標函數(shù)含未知參數(shù)的極值搜索系統(tǒng)，設計了參數(shù)收斂自適應控制器。文獻[18]針對一類多變量參數(shù)不確定極值搜索系統(tǒng)，設計了狀態(tài)量極值參考軌跡，利用反演控制方法設計控制器，并給出了未知參數(shù)自適應估計律。文獻[19]針對單輸入極值搜索系統(tǒng)利用Backstepping方法進行控制器設計。文獻[20]針對一類多輸入多輸出仿射型非線性極值搜索系統(tǒng)的控制問題，提出了一種輸出反饋滑模控制方法。

本文在文獻[18-19]的基礎上針對一類含未知參數(shù)的多輸入極值搜索系統(tǒng)的控制問題，設計出能使目標函數(shù)達到極值處的狀態(tài)極值參考軌跡，基于Backstepping方法逐步遞推選取適當?shù)腖yapunov函數(shù)進行控制器設計，并給出未知參數(shù)自適應估計律，使目標函數(shù)搜索到對應的極值。

1 問題描述

考慮如下多輸入極值搜索系統(tǒng)：

式（1）中：x=[x1,x2,…,xn+m]T∈?n+m為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u=[u1,u2,…,um+1]T∈?m+1為系統(tǒng)控制輸入向量；y∈?為系統(tǒng)輸出；θ=[θ1,θ2,…,θn+m]T∈?n+m為常值有界未知參數(shù)向量；y=J(x1,xp,θ)為含未知參數(shù)的目標函數(shù)；為由x1到xi構成的狀態(tài)向量；xi(i∈[1,2,…,n])是可測的；為由xn+1到xn+m構成的狀態(tài)向量；gi(?)和?i(?) (i∈[1,2,…,n+m])為連續(xù)有界光滑函數(shù)，定義

控制目標：基于Backstepping方法進行控制器設計，使得系統(tǒng)（1）中的目標函數(shù)J(x1,xp,θ)搜索到極值處，閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號有界。

假設1：目標函數(shù)J(x1,xp,θ)存在唯一極值點，當目標處于極值處時其對應的系統(tǒng)狀態(tài)量滿足

2 極值參考軌跡設計

根據(jù)文獻[18]設計關于狀態(tài)量Xp的極值參考軌跡?？紤]目標函數(shù)J(x1,xp,θ)存在唯一的極值點，當狀態(tài)x1和xp分別沿著各自的極值參考軌跡x1,d和達到時目標函數(shù)達到目標函數(shù)的唯一極值處。定義，選取Lyapunov函數(shù)

由式（4）可得x1和xp應滿足

對式（5）求解可得x1的極值參考軌跡為：

將式（5）代入式（6）可得xp的極值參考軌跡為：

將式（6）、（7）代入式（4）可得：

由式（3）可得VJ≥0成立且僅在時存在。由式（4）可得當極值參考軌跡x1,d和xp,d分別如式（6）、（7）所示時可得。當Xp沿著極值參考軌跡Xp,d向著使的方向趨近時，最終可達到狀態(tài)處，此時目標函數(shù)取得極值。

假設2：存在常數(shù)J0＞0使得|X1|＞J0成立，極值參考軌跡向量中的元素及其高階導數(shù)都是有界光滑的。

3 基于Backstepping的控制器設計及穩(wěn)定性分析

利用Backstepping方法進行控制器設計，未知參數(shù)向量θ的估計誤差為：

利用自適應方法對未知參數(shù)進行估計。

整體設計過程如下。

第1步：考慮系統(tǒng)（1）中的第1個子系統(tǒng)，定義狀態(tài)量x1跟蹤極值參考軌跡x1,d誤差為z1=x1-x1,d，構造Lyapunov函數(shù)求導可得

針對式（9）設計x2的虛擬軌跡：

式中，k1＞0為設計參數(shù)。

由定義z1=x1-x1,d和式（9）、（10）可得：

式中，定義z2=x2-x2,d，當x2能夠準確跟蹤x2,d時，即z2趨近于0。

第i步：考慮系統(tǒng)（1）中的第i(i∈[2,3,…,n-1])個子系統(tǒng)，

定義狀態(tài)量xi+1跟蹤虛擬軌跡xi+1,d誤差為zi+1=xi+1-xi+1,d，構造Lyapunov函數(shù)求導可得：

參考式（13）設計xi+1的虛擬軌跡：

式中，ki＞0為設計參數(shù)。

由定義zi+1=xi+1-xi+1,d和式（13）、式（14）可得：

式中，當xi+1能夠準確跟蹤xi+1,d時，即zi+1趨近于0。

第n步：考慮系統(tǒng)（1）的第n個子系統(tǒng)

參考式（17）設計控制輸入u1為：

式中，kn＞0為設計參數(shù)。

第n+1步：考慮系統(tǒng)（1）的第n+1個子系統(tǒng)

依據(jù)式（20）設計控制輸入u2為：

式中，kn+1＞0為設計參數(shù)。

以此類推，第n+2步至第n+m-1步參考第n+1步進行控制輸入設計。

第n+m步：考慮系統(tǒng)（1）中的第n+m個子系統(tǒng)

為消除未知參數(shù)θ的影響，引入未知參數(shù)與其估計值的誤差項其中，W=diag{w1,w2,…,wn+m}，其中wi＞0，(i∈[1,2,…,n+m])。針對式（22）構造Lyapunov函數(shù)，定義zn+m=xn+m-xn+m,d，對Vn+m求導，代入式（20）～（22）可得：

參考式（23）設計實際控制量和參數(shù)估計律分別為：

其中，kn+m＞0為設計參數(shù)。

將式（24）、（25）代入式（23）可得：

式中，k=min{2k1,2k2,…,2kn+m}。

對式（26）兩邊沿(0,t)進行積分可得

定理1：考慮如（1）所描述的一類嚴格反饋型多輸入極值搜索系統(tǒng)，在假設1、2成立的前提下，采用極值參考軌跡如式（6）、（7）所示，虛擬軌跡如式（14）所示，虛擬控制量設計如式（15）所示，實際控制輸入量如式（18）、（24）所示，自適應估計律如式（25）所示，以下結論成立：①系統(tǒng)（1）的目標函數(shù)J(x1,xp,θ)搜索到對應的函數(shù)極值；②系統(tǒng)（1）中的所有信號有界。

4 仿真分析

針對如下數(shù)學模型進行仿真分析：

式（28）中：θ1=1為未知參數(shù)；x1=1，x3=2時目標函數(shù)具有全局極大值

狀態(tài)量x1,x3的極值參考軌跡x1,d,x3,d為：

系統(tǒng)的狀態(tài)變量初始值分別為x1(0)=0.5，x2(0)=0，x3(0)=1，未知參數(shù)估計值的初始值為，極值參考軌跡初始值分別為x1,d(0)=0，x3,d(0)=0。選取控制器參數(shù)w1=1，kd=k1,d=k3,d=1，k1=k2=k3=1。仿真結果見圖1～6。

5 結論

本文針對一類含未知參數(shù)的多輸入極值搜索系統(tǒng)的控制問題，設計出能使目標函數(shù)達到極值處的狀態(tài)量極值參考軌跡，基于Backstepping方法逐步遞推選取適當?shù)腖yapunov函數(shù)進行控制器設計，并設計未知參數(shù)自適應估計律，使系統(tǒng)實現(xiàn)目標函數(shù)搜索到對應的極值，仿真驗證了本文的方法是可行有效的。

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Controller Design for Multi-Input Extremum Seeking Systems Based on Backstepping

CHEN Yong1,ZHANG Lei1,LIANG Tao2,YU Kaimin3
（1.Department of Control Engineering,NAAU,Yantai Shandong 264001,China; 2.The 91880thUnit of PLA,Jiaozhou Shandong 266300,China; 3.The 91899thUnit of PLA,Huludao Liaoning 125001,China）

For solving control problems of strict-feedback multi-input extremum seeking system with unknown parame?ters,firstly,the extremum reference trajectory of extremum seeking system was designed.Secondly,controller was de?signed by Backstepping control method.At last,adaptive estimation law of unknown parameters was given.Objective func?tion extremum seeking was realized.Simulation result showed that the proposed design method based on Backstepping con?trol was effectiveness.

multi-input;extremum seeking system;extremum reference trajectory;Backstepping control;unknown param?eters

TP273+.23

A

1673-1522（2017）02-0215-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.02.007

2017-02-22；

2017-03-13

國家自然科學基金資助項目（60674090）

陳勇（1978-），男，講師，碩士。