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    2017年高考數(shù)學復習全景規(guī)劃

    2017-07-11 02:01:40東北育才學校王成棟
    遼寧招生考試 2017年4期
    關鍵詞:示例試題新課標

    東北育才學校 王成棟

    高中數(shù)學的學習不僅包括基本概念、公式、原理,即基礎知識,還包括建立在基礎知識之上的數(shù)學思想方法.要想學好高中數(shù)學,需要做到:概念清、原理透、方法熟、思想通.這四項與高考分數(shù)緊密相關,專家統(tǒng)計結(jié)果顯示如下:

    思想通 140分

    方法熟 120分

    原理透 100分

    概念清 80分

    2016年高考早已落下帷幕,新課標卷高考數(shù)學試題繼承了2014、2015年課標卷試題的優(yōu)點,贏得了廣大師生的一致贊譽.無論是今年的新課標卷還是2014、2015年課標卷都保持了將高中數(shù)學的基礎、方法、能力、思想有機結(jié)合的風格,這無疑給高三復習備考提供了重要的方向.

    2017年高三復習備考已拉開大幕,在復習備考過程中,廣大考生如何能做到:打牢基礎、掌握方法、形成能力、貫通思想,科學有效的備考呢?現(xiàn)將高三一年的復習備考作以全面的統(tǒng)籌規(guī)劃.

    關鍵詞一:時間表

    高考數(shù)學復習按“輪次”計算,我們通常稱其為三輪復習.

    第一輪復習,基礎能力過關(9月初—次年2月底).梳理教材,使知識系統(tǒng)化,總結(jié)解題方法,提高解題能力.

    第二輪復習,綜合能力突破 (3月初—5月中旬).強化主干,把握知識聯(lián)系,通過解題訓練,提升實戰(zhàn)能力.

    第三輪復習,考前適應過渡 (5月中旬—6月初).運用模擬題目,通過考試與評講,把握規(guī)律,強化記憶,進入考試狀態(tài).

    關鍵詞二:階段性策略

    面對高考三輪復習,各階段對學生的學習要求、復習的重點各異,廣大考生該如何安排各階段的學習,才能使整個高考數(shù)學復習更具實效性呢?

    一、一輪復習階段

    高考一輪復習,即基礎知識全面過關階段,這一階段歷時大約5個月,學生在這一階段要對高一、高二所學的高中數(shù)學知識系統(tǒng)地、全面地加以復習,并形成知識網(wǎng)絡;要正確理解數(shù)學概念,對數(shù)學的定理、公式、法則形成記憶,并能熟練運用概念、公式等解題.一輪復習效果的好與壞將直接影響二、三輪的復習,在一輪復習中學生要重視以下幾個環(huán)節(jié):

    1.重視教材,將基礎落到實處

    縱觀近三年的課標卷高考試題,不難發(fā)現(xiàn),每年都有相當一部分試題來源于教材.現(xiàn)將近三年高考數(shù)學卷中源于教材的試題舉例如下:

    示例1(2014年新課標卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

    A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

    教材例題:設某種動物由出生算起活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4,現(xiàn)在一個20歲的這種動物,問它能活到25歲的概率是多少?

    可以看出,兩題本質(zhì)完全相同,只是知識背景略有差異.

    示例2(2015年新課標卷)△ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.

    教材例題:在△ABC中,∠A的角平分線AD與邊BC相交于點D,求證:

    教材練習:已知D是△ABC的角平分線,且AC=2,AB=3,∠A=60°,求 AD 的長.

    可以看出,高考試題是將教材中兩個問題捏合而成.

    示例3(2016年新課標卷)中國古代有計算多項式值的秦九韶算法,下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的 a為 2,2,5,則輸出的 s=

    A.7 B.12 C.17 D.34

    秦九韶算法是教材必修3《中國古代算法案例》中的重要內(nèi)容,從近三年的考題來看,更相減損、秦九韶算法、割圓術等都已逐步成為考題,這不僅是高考貼近教材的體現(xiàn),更是考綱中重視中國傳統(tǒng)文化的體現(xiàn).

    教材是知識的源頭,理應成為高考命題的重要素材,因此在高考復習中,尤其在一輪復習階段,要加強教材中試題的研究,發(fā)揮教材試題的引領與示范作用,就必須做到真正吃透教材.

    2.注重提煉通性通法,熟練掌握數(shù)學模式題的通用解法

    所謂通性通法,是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學思想方法.從近三年的新課標Ⅱ卷可以明顯看出,高考數(shù)學試題非常重視對基礎知識、基本技能和通性通法的考查,尤其在數(shù)列和圓錐曲線兩部分,對通項通法的考查尤其明顯.

    示例4(2014年新課標卷)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

    示例5(2015年新課標卷)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=1,an+1=SnSn+1,則Sn=_____.

    示例4和示例5主要考查遞推數(shù)列求通項公式和數(shù)列中放縮法,無論是遞推數(shù)列求通項還是數(shù)列求和、放縮法,解決問題主要依據(jù)通性通法.

    對圓錐曲線的考查,選擇、填空題考查的核心是圓錐曲線的定義,解答題主要考查將直線方程代入圓錐曲線方程,整理成一元二次方程,再利用根的判別式、求根公式、根與系數(shù)的關系、兩點之間的距離公式等解題.這些問題考查了解析幾何的基本思想方法:即幾何問題代數(shù)化.例如:

    示例6(2015年新課標卷)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為

    示例7(2016年新課標卷)已知橢圓的焦點在x軸上,A是E的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA.

    這種通性通法在高中數(shù)學中是很多的,考生在復習的過程中要對這些普遍性的東西不斷地進行概括總結(jié),不斷地在具體解題中細心體會.目前高考命題的一個原則就是淡化特殊技巧,考生在復習中千萬不要去刻意追求一些解題的特殊技巧,盡管一些數(shù)學題目有多種解法,有的甚至有十幾種解法,但這些解法中具有普遍意義的通用解法也就一兩種而已,更多的是針對這個題目的專用解法.這些解法作為興趣愛好去欣賞是可以的,但在高考復習中卻不能把它當作重點.

    3.經(jīng)典題目的再探究

    高中數(shù)學的每章都有一定量的經(jīng)典題目,對于這些經(jīng)典題目,是廣大考生復習的重點,而且對于這些試題不僅要求學生要會做,還要對其再研究,發(fā)揮這些經(jīng)典試題在學習中的作用,從近三年課標卷高考數(shù)學試題來看,每年選擇、填空題中的壓軸試題都是由一些經(jīng)典試題改編而來.例如:

    示例 8(2014年新課標卷)設點 M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是_____.

    經(jīng)典題目:設圓 C:x2+y2=3,直線 l:x+3y-6=0,點 P(x0,y0)∈l,使得存在點 Q∈C,使∠OPQ=60°(O為坐標原點),則x0的取值范圍是

    可以看出,示例8改編于上述經(jīng)典題目.

    示例9(2015年新課標卷)設函數(shù)f′(x)是奇函數(shù) f(x)(x∈R)的導函數(shù), f(-1)=0,當 x>0 時,xf′(x)-f(x)<0,則使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范圍是

    (A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(1,+∞)

    (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞)

    經(jīng)典題目:設 f(x)、g(x)是定義域為 R 的恒大于零的可導函數(shù),且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,則當a<x<b 時有

    A.f(x)g(x)>f(b)g(b)

    B.f(x)g(a)>f(a)g(x)

    C.f(x)g(b)>f(b)g(x)

    D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

    可以看出,示例9改編于上述經(jīng)典題目.

    示例10(2016年新課標卷)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足 f(-x)=2-f(x),若函數(shù)圖像的交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則

    A.0 B.m C.2m D.4m

    A.2 B.4 C.6 D.8

    可以看出,示例10改編于上述經(jīng)典題目.

    對于平時學習中的經(jīng)典題目,考生在復習時要更多地注重“一題多變”(類比、拓展、延伸)、“一題多用”(即用同一個問題做不同的事情)和“多題歸一”(所謂“一”就是具有普遍意義和廣泛遷移性的“含金量”較高的那些策略性知識),更多地注重思考題目的“核心”是什么,從題目中“提煉”反映數(shù)學本質(zhì)的東西.

    4.復習要全面細致,適度關注創(chuàng)新試題

    一輪復習是全面落實“三基”的階段,尤其是對基礎知識的復習一定要全面,不能在復習過程中留“死角”,就近三年高考數(shù)學試題來看,每年高考試題除了考查平時所學的重點、難點,還常出現(xiàn)一些“冷點”.例如

    示例11(2015年新課標卷)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點 E,F(xiàn)分別在 A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點 E,F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.

    (Ⅰ)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);

    以作圖方式考查學生的空間想象能力,這類問題在平時的考題中很少見,此題在高考題中出現(xiàn),給2015年課標II卷增加了不少“亮點”.

    示例12(2016年新課標卷)Sn為等差數(shù)列的前 n 項和,且 a1=1,S7=28.記 bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg99]=1.

    (Ⅰ)求 b1,b11,b101;

    (Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前1000項和.

    將取整函數(shù)與數(shù)列結(jié)合,對于廣大考生來說,都覺得挺意外,但正因如此,也恰恰體現(xiàn)了高考試題的變化,讓廣大師生深刻體會年年歲歲題不同.

    從這些試題在高考中的出現(xiàn),留給我們的復習啟示是,高考復習必須要全面細致,不能在知識上留有空白.

    二、二輪復習階段

    第二輪復習不是首輪復習的簡單重復,對于廣大考生來說是綜合能力提升與突破階段.在這一階段中,教師將以專題講座的方式帶領學生進行二輪復習,其目的就是要突出高中數(shù)學的主干知識,打破知識章節(jié)間的界限,加強知識間的橫、縱向綜合.復習中要凸顯數(shù)學解題策略,貫通數(shù)學思想方法.二輪復習中,通常設置如下專題:

    專題一:函數(shù)基本問題

    專題二:函數(shù)與方程

    專題三:函數(shù)與不等式

    專題四:函數(shù)與數(shù)列

    專題五:構(gòu)造法解題

    專題六:三角與平面向量

    專題七:解析幾何

    專題八:立體幾何與空間向量

    專題九:概率統(tǒng)計

    專題十:數(shù)學思想方法(數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化劃歸、分類討論)

    廣大考生通過這一階段的學習,要想達到能力上的提升,成績有質(zhì)的飛越,應做到以下幾點:

    1.要加強基礎知識的回顧與內(nèi)化

    由于第一輪復習時間跨度較長,知識范圍較廣,以往復習過的知識容易遺忘,這就要求同學們注意回顧首輪中的相關基礎知識,回顧老師教學時或自己學習時總結(jié)出來的結(jié)論,抓住復習的主動權(quán),以達到內(nèi)化基礎知識和基本聯(lián)系的目的.

    建議:(1)對于容易遺忘處,可以通過建立知識卡片的方式達到反復強化記憶的目的.

    (2)對于易混淆處,可以通過對比的方式加以強化.例如:

    示例13①函數(shù)y=lg(ax2-x+a)的定義域為R,求a的取值范圍.

    ②函數(shù)y=lg(ax2-x+a)的值域為R,求a的取值范圍.

    示例 14①若函數(shù) f(x)=x2-(3a-1)x+a2在1,+∞)[上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

    ②若函數(shù) f(x)=x2-(3a-1)x+a2的單調(diào)區(qū)間是1,+∞)[,求實數(shù)a的取值范圍.

    (3)學生可以通過建立知識思維導圖的方式加強知識間的內(nèi)化,梳理知識脈絡.

    2.抓住主干知識,突出高考的重點

    同學們不要以做多少套模擬題來衡量復習的投入度,殊不知有的練習屬于同一層次上的重復勞動,有的還會形成負遷移,重點得不到強化.所以在這個階段復習必須要抓住高中數(shù)學的主干知識和考綱中的重點考點,進行大力度的鉆研.

    建議:(1)此階段的練習不必面面俱到,但對考試中??嫉闹鞲芍R,重點題型進行專題強化訓練.

    (2)對導數(shù)綜合、解析幾何等壓軸難題要有計劃的去突破,最好安排每日一題.

    3.解題要突出思想方法的總結(jié)

    通過一輪復習,學生對高考中的一些常規(guī)題、類型題已經(jīng)有所訓練,但很多問題還僅停留在“招式化”或“模式化”,并沒有達到真正“見招拆招”的高水平,甚至“以無招勝有招”的程度.廣大考生要通過這一階段的學習,加強試題之間的內(nèi)在聯(lián)系,總結(jié)同類試題的共性解法,力爭達到用自己會的有限的方法,去解決學習中所遇到的方方面面的問題.

    建議:(1)遇到問題后,不要只顧回憶原來我用何種方法求解此題,還應立足于我如何用我手中最平凡、普通的方法化解問題.

    (2)每個人的大腦空間都是有限的,不可能把所做過的每一道題都記住.這就需要學生對所做過的試題進行歸類.以導數(shù)解答題為例,將所做過的題目分類如下:

    類型一:端點處切線斜率型

    示例15(2006年全國卷)設函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求實數(shù)a的取值范圍.

    類型二:拉格朗日中值定理型

    示例 16已知函數(shù) f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

    (Ⅰ)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)設a<-1.如果對任意x1x2∈0,+∞(),求a的取值范圍.

    類型三:對稱性偏移型

    示例17(2016年新課標Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

    (Ⅰ)求a的取值范圍;

    (Ⅱ)設 x1,x2是 f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

    類型四:多變量型

    示例18(2016年育才一模)設x=m和x=n是函數(shù)的兩個極值點, 其中m<n,a∈R.

    (Ⅰ)求 f(m)+f(n)的取值范圍;

    4.加強解題速度和正確率的強化訓練

    進行選擇填空題的限時訓練,解選擇題要能達到:靈活地利用題設和選項這兩方面所提供的信息作出判斷,靈活選取方法(直接法、圖解法、特殊化法等方法)巧做,即要“小題小做”,具有方法意識.解填空題則要求避免答非所問,運算要正確,表達規(guī)范,并有檢驗意識.同學們還要適量做一些綜合題,提高解題思維能力,確保結(jié)果正確,步驟完整,注意糾正解題過程中的不規(guī)范之處.

    建議:(1)每周應安排3、4次的小題專練,達到提升解題速度,提升準確率的目的.

    (2)通過解答題訓練學生規(guī)范答題,嚴謹表述,準確推理的能力.

    三、三輪復習階段

    三輪復習為考前適應階段,學生要通過這一階段的學習盡可能去適應高考,調(diào)節(jié)出最佳考試狀態(tài).本階段教師要安排學生進行高仿真訓練(即從考試時間,到試題難度等都要接近高考),力爭通過這些訓練,使學生全方位適應高考.教師要針對學生在答題中出現(xiàn)的問題進行有針對性講解,并做好學生的考前心理指導工作.學生要通過做模擬卷,發(fā)現(xiàn)自己存在的漏洞,通過看教材、看筆記、問老師等方法來修補漏洞.

    關鍵詞三:重難點突破指南

    從近三年高考題來看,高考命題突出模塊之間的交叉、知識點間的綜合、滲透數(shù)學思想方法,常在平面向量與三角函數(shù),空間向量與立體幾何,平面向量與解析幾何,函數(shù)、導數(shù)與不等式等處出現(xiàn)綜合題.復習中,如何在這些重、難點處有所突破呢?

    1.三角函數(shù):多以中、低檔題為主,復習中要強化雙基訓練,注重通性通法.

    2.數(shù)列:數(shù)列本身并不難,數(shù)列知識一般只作為一個載體,綜合運用方程思想、函數(shù)和不等式的思想來研究數(shù)列問題.復習中要強化雙基訓練,關注轉(zhuǎn)化劃歸思想.

    3.概率統(tǒng)計:文科數(shù)學概率統(tǒng)計的重點是抽樣方法、樣本數(shù)據(jù)特征、線性回歸、獨立性檢驗、古典概型與幾何概型.理科數(shù)學在此基礎上,增加了回歸分析,條件概率和概率分布列.概率統(tǒng)計的考查多融在實際問題中,問題背景具有很強的時代感,需要考生能準確理解題意,并將實際問題合理轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題求解.復習中要全面系統(tǒng)的掌握概率統(tǒng)計知識.

    4.立體幾何:從解決“平行與垂直”的有關問題入手,通過基本問題,達到熟悉公式、定理內(nèi)容的目的;通過對問題的分析與概括,達到提高推理論證能力和空間想象能力.理科生還應重視利用空間向量解決異面直線成角、線面角和二面角.復習中要關注空間想象力的提升.

    5.解析幾何:解析幾何問題多從待定系數(shù)法求曲線方程或用基本方法求動點的軌跡方程切入,把直線與曲線相交作為深入問題口,考查學生的綜合運用能力.從近三年試題來看,解決解析幾何綜合問題的基本思想——幾何問題代數(shù)化年年必考,多以定點、定值、面積最值、范圍等形式出現(xiàn).復習中要關注幾何問題代數(shù)化思想的合理運用.

    6.導數(shù)、函數(shù)、不等式:從函數(shù)的定義域切入,借助導數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì),并將其與不等式、方程等綜合,考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化劃歸、分類討論等思想.復習中關注四種數(shù)學思想在解題中的運用.

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