一類不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制

李彥欣, 李偉明

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266590 )

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一類不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制

李彥欣, 李偉明

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266590 )

研究了一類單輸入單輸出非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制問題.由模糊邏輯系統(tǒng)的線性逼近能力及Backstepping技術(shù),提出了一種新的自適應(yīng)模糊控制方案,這種自適應(yīng)控制器確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局一致有界,并且跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)的一個(gè)充分小鄰域內(nèi).

自適應(yīng)模糊控制； 嚴(yán)格反饋的非線性系統(tǒng)； Backstepping

0 引言

近些年,模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制器設(shè)計(jì)一直是模糊控制領(lǐng)域關(guān)注的一個(gè)問題.特別地,模糊系統(tǒng)的逼近性使自適應(yīng)模糊控制成為未知非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).通過結(jié)合自適應(yīng)技術(shù)與模糊控制原理,使得未知非線性系統(tǒng)的建模與控制得到了有效的解決.

在過去的20年中,自適應(yīng)Backstepping控制是處理參數(shù)不確定性非線性系統(tǒng)的有力工具,將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后單獨(dú)設(shè)計(jì)每個(gè)子系統(tǒng)的部分Lyapunov函數(shù)，在保證子系統(tǒng)具有一定收斂性的基礎(chǔ)上獲得子系統(tǒng)的虛擬控制律，在下一個(gè)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，將上一個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制律作為這個(gè)子系統(tǒng)的跟蹤目標(biāo)。相似于上個(gè)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，獲得該子系統(tǒng)的虛擬控制律；以此類推，最終獲得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的實(shí)際控制律，且結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性分析方法來保證閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性，由此得出了許多研究成果[1-9].

文獻(xiàn)[3]利用 Lyapunov 方程提出了一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)Backstepping 控制,避免了可能存在的控制器奇異值問題.許多學(xué)者利用模糊邏輯系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近未知的非線性函數(shù)[10-12],并通過自適應(yīng) Backstepping 技術(shù)[13]構(gòu)造模糊控制器,取得了比較顯著的成果.文獻(xiàn)[14]提出了對于 Lyapunov 穩(wěn)定的非線性模糊自適應(yīng)方法,在保證了系統(tǒng)閉環(huán)漸近穩(wěn)定的同時(shí)加入了模糊自適應(yīng)控制.

隨機(jī)干擾經(jīng)常存在于許多實(shí)際的系統(tǒng)中,它往往是系統(tǒng)不穩(wěn)定的一個(gè)因素,隨機(jī)非線性系統(tǒng)的控制比確定性系統(tǒng)的控制更加困難.因此,對隨機(jī)非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)的研究受到了越來越多的關(guān)注和重視.文獻(xiàn)[15]提出了一種適用于嚴(yán)格反饋的隨機(jī)非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)Backstepping控制方法.文獻(xiàn)[16]在得出一類嚴(yán)格反饋的隨機(jī)非線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,提出了一種具有逼近性的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法.

針對不確定的嚴(yán)格反饋的隨機(jī)非線性系統(tǒng),本文提出了一類單輸入單輸出的嚴(yán)格反饋的非線性系統(tǒng),現(xiàn)有的控制方法大多適應(yīng)于確定的非線性系統(tǒng),卻很少關(guān)注不確定的非線性系統(tǒng)控制問題.由模糊邏輯系統(tǒng)的線性逼近能力及Backstepping技術(shù),提出了一種新的自適應(yīng)模糊控制方法,該控制器確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局保持一致有界,并且跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)的一個(gè)充分小鄰域內(nèi).

1 問題的描述及預(yù)備知識

1.1 問題的描述

考慮以下非線性系統(tǒng)

1≤i≤n-1,

y=x1

(1)

其中,xi=(x1,x2,…,xn)T∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量,u∈R和y∈R分別是系統(tǒng)的輸入和輸出,ω是一個(gè)定義在完備概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的r-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動,其中Ω是一個(gè)樣本空間,F是一個(gè)σ域,{Ft}t≥0是一個(gè)范圍,P是一個(gè)概率測度,fi(·):Ri+1→R且gi(·):Ri→Rr(i=1,2,…,n)是未知非線性光滑函數(shù),bi是正常數(shù).

本文對于系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)模糊控制器,使得

(1)在一定概率下，閉環(huán)系統(tǒng)中所有的信號半全局一致連續(xù)有界；

(2)跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)的一個(gè)充分小鄰域內(nèi).

1.2 預(yù)備知識

定義1[17]對于連續(xù)二次可微函數(shù)V(x,t),定義如下微分算子

(2)

其中,Tr表示矩陣的跡.

引理1[15]假設(shè)存在函數(shù)V(x,t)∈C2,1,正常數(shù)c和b,則κ∞類函數(shù)α1和α2滿足

(3)

引理2 (楊氏不等式)[18]對于?(x,y)∈R2,下列不等式成立

其中,ε>0,p>1,q>1,且(p-1)(q-1)=1.

引理3[19]考慮以下形式的動態(tài)系統(tǒng)

(4)

假設(shè)1[20]對于系統(tǒng)(1),當(dāng)1≤i≤n，存在未知常數(shù)bm和bM滿足

0

(5)

此外，對于1≤i≤n-1,bixi+1的符號是已知的,bnu的符號是未知的.不失一般性，假設(shè)對于1≤i≤n-1,有bixi+1≥bm>0.

本文采用模糊邏輯系統(tǒng)來逼近一個(gè)定義在緊集上的未知連續(xù)函數(shù).模糊系統(tǒng)的N條模糊規(guī)則為

則y是Gl,l=1,2,…,N.

若采用單點(diǎn)模糊化、乘積推理和中心加權(quán)模糊化方法，則模糊系統(tǒng)的輸出可以表示為

(6)

構(gòu)造模糊基函數(shù)

其中,ξ(x)=[ξ1(x),ξ2(x),…,ξN(x)]T.模糊邏輯系統(tǒng)(6)變?yōu)?/p>

y=ΦTξ(x)

(7)

引理4[21]如果f(x)是定義在一個(gè)緊集Ω上的連續(xù)函數(shù),那么對?ε>0,存在一個(gè)模糊邏輯系統(tǒng)(6)滿足

(8)

2 自適應(yīng)模糊控制設(shè)計(jì)

本文對于系統(tǒng)(1),采用Backstepping 方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，這個(gè)過程中包含了n個(gè)步驟.定義以下坐標(biāo)變換

z1=x1-yd,zi=xi-αi-1,i=2,…,n

(9)

第1步,對于隨機(jī)系統(tǒng)(1),z1=x1-yd的動態(tài)誤差為

(10)

選擇一個(gè)Lyapunov函數(shù)

(11)

其中,r1是正整數(shù).

由(2),(9),(10),得

(12)

應(yīng)用引理2,以下不等式成立

(13)

(14)

其中,l1是正整數(shù).將(13)、(14)代入(12)得

(15)

其中,

(16)

由楊氏不等式

(17)

其中,a1是正整數(shù).

選擇如下虛擬控制信號和自適應(yīng)律

(18)

(19)

其中,r1和γ1是正整數(shù).

由(18)、假設(shè)1和引理3,有

(20)

將(16)～(19)代入(14)，得

(21)

其中,

(22)

因此,(21)可化為

(23)

其中,c1=k1(1+bm),

第2步,由坐標(biāo)變換z2=x2-α1和(2),有

(24)

其中,

(25)

選擇以下Lyapunov函數(shù)

(26)

其中,r2是正整數(shù).

按照第1步的過程,可得

(27)

值得注意的是,

(28)

(29)

其中l(wèi)2是正整數(shù).將(23)、(28)、(29)代入(27),有

(30)

其中

(31)

其中ε2是任意給定的正常數(shù).

因此,重復(fù)使用(17)中的方法,得

(32)

其中,a2是正整數(shù).

選擇以下虛擬控制信號和自適應(yīng)律

(33)

(34)

其中,r2和γ2是正整數(shù).

類似(20)、(22),以下不等式成立

(35)

(36)

將(32)、(36)代入(30),得

(37)

其中cj=kj(1+bm),

第i步(3≤i≤n-1).由坐標(biāo)變換zi=xi-αi-1和(2),有

(38)

其中,

(39)

考慮以下Lyapunov函數(shù)

(40)

其中,ri是正整數(shù).類似于第1步的計(jì)算方法,得

(41)

通過配方法和楊氏不等式,得以下不等式

(42)

(43)

其中,li是正整數(shù).

將(42)、(43)代入(41),得

(44)

其中,

ki是正整數(shù).

(45)

其中εi是任意給定的正常數(shù).重復(fù)(17)中的方法,得到以下不等式

(46)

其中,ai是正整數(shù).

選擇虛擬控制信號和自適應(yīng)律如下

(47)

(48)

其中,ri和γi是正整數(shù).

與(20)和(22)類似,以下不等式成立

(49)

(50)

將(46)～(50)代入(44),得

(51)

其中,cj=kj(1+bm),

第n步,通過(2)和(8),可以得

(52)

其中,

(53)

考慮以下Lyapunov函數(shù)

(54)

其中,rn是正整數(shù).

由(2),得

(55)

類似于(42),得

(56)

其中,ln是正整數(shù).

將(51)、(56)代入(55),則

(57)

其中

(58)

其中,an是正整數(shù).

選擇虛擬控制器和自適應(yīng)律分別為

(59)

(60)

類似于(22)，以下不等式成立

(61)

將(58)～(60)代入(61),得

(62)

其中,cj=kj(1+bm),

3 穩(wěn)定性分析

定理1 對于純反饋隨機(jī)非線性系統(tǒng)(1),在假設(shè)1下,有界的初始條件和控制(59)、虛擬控制信號(47)以及自適應(yīng)律(48)使得:

(1)閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局一致有界;

(2)變量zj收斂于一個(gè)緊致集Ωz，其中

證明：對于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,選擇隨機(jī)的Lyapunov函數(shù)V=Vn.

LVn≤-λVn+c,t≥0

(63)

(64)

其中,E(·)表示期望.由(64),得

(65)

這意味著,

(66)

從(64)和(65)可以得出,

(67)

因此,zj最終收斂于緊致集

(68)

4 結(jié)論

本文研究了一類具有未知非線性函數(shù)的隨機(jī)非線性系統(tǒng),隨機(jī)擾動和非線性函數(shù)是完全未知的.采用模糊邏輯系統(tǒng)的逼近性,對未知非線性函數(shù)進(jìn)行估計(jì),通過自適應(yīng)Backstepping技術(shù),構(gòu)造了一類自適應(yīng)模糊控制器.該控制器能保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號保持一致有界，同時(shí)系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)的一個(gè)充分小鄰域內(nèi).

[1] Wen C Y,Zhou J,Wang W.Decentralized adaptive backstepping stabilization of interconnected systems with dynamic input and output interactions[J].Automatica,2009,45(1):55-67.

[2] Zhou J,Wen C Y,Wang W.Adaptive backstepping control of uncertain systems with unknown input time-delay[J].Automatica,2009,45(6):1 415-1 422.

[3] Hang T,Ge S S,Hang C C.Adaptive neural network control for strict-feedback nonlinear systems using backstepping design[J].Automatica,2000,36(12):1 835-1 846.

[4] Yang Y S,Zhou C J.Adaptive fuzzy stabilization for strict-feedback cano-nical nonlinear systems via backstepping and small-gain approach[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2005,13(1):104-114.

[5] Liu Y J,Wang W,Tong S C,et al.Robust adaptive tracking control for nonlinear systems based on bounds of fuzzy approximation parameters[J].IEEE Transactions on System,2010,40(1):170-184.

[6] Chen M,Ge S S,Ren B B.Adaptive tracking control of uncertain MIMO nonlinear systems with input constraints[J].Automatica,2011,47(3):452-465.

[7] 周衛(wèi)東，廖成毅.控制方向未知的SISO非仿射系統(tǒng)間接自適應(yīng)模糊輸出反饋控制[J].控制理論與應(yīng)用,2013,30(9):1 131-1 137.

[8] 杜貞斌.不確定非線性系統(tǒng)的模糊魯棒H∞跟蹤控制[J].控制與決策,2015，30(7):1 325-1 328.

[9] 李安平，劉國榮.一類非線性系統(tǒng)的自組織模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào),2016,20(12):82-91.

[10] Zhang X M,Liu X K,Li Y.Adaptive fuzzy tracking control for nonlinear strict-feedback systems with unmodeled dynamics via backstepping technique[J].Neurocomputing,2017,235:182-191.

[11] Zhu Q,Zhang T,Fei S M,et al.Adaptive neural for a class of output feedback time delay nonlinear systems[J].Neurocomputing,2009,72(7-9):1 985-1 992.

[12] Hua C C,Wang Q G,Guan X P.Robust adaptive control design for nonlinear timedelay systems via T-S fuzzy approach[J].IEEE Trans.Fuzzy Syst.,2009,17(4):901-910.

[13] Kanellakopoulos I,Kokotovic P,Morse A S.Systematic design of adaptive controller for feedback linearizable systems[J].IEEE Trans.Automatic Control,1991,36(11):1 241-1 253.

[14] Wang L X.Stable adaptive fuzzy control of nonlinear systems[J].IEEE Trans.Fuzzy Syst.,1993,1(2):146-155.

[15] Tong S C,Li Y,Li Y M,et al.Observer-based adaptive fuzzy backstepping control for a class of stochastic nonlinear strict-feedback systems[J].IEEE Trans.Syst.,Man,Cybern.B.Cybern.,2011,41(6):1 693-1 704.

[16] Li J,Chen W S,Li J M.Adaptive NN output-feedback decentralized stabilization for a class of large-scale stochastic nonlinear strict-feedback systems[J].Int.J.Robust Nonlin.Control,2011,21(4):452-472.

[17] Liu S J,Zhang J F,Jiang Z P.Decentralized adaptive outputfeedback stabilization for large-scale stochastic nonlinear systems[J].Automatica,2007,43(2):238-251.

[18] Wang H Q,Chen B,Liu X P,et al.Robust adaptive fuzzy tracking control for pure-feedback stochastic nonlinear systems with input constraints[J].IEEE Trans.Syst.,Man,Cybern.B.Cybern.,2013,43(6):2 093-2 104.

[19] Wang M,Zhang S Y,Chen B,et al.Direct adaptive neural control for stabilization of nonlinear time-delay systems[J].Science China Information Sciences,2010,53(4):800-812.

[20] Wang F,Liu Z,Zhang Y,et al.Adaptive fuzzy control for a class of stochastic pure-feedback nonlinear systems with unknown hysteresis[J].IEEE Trans.Syst.,2016,24(1):140-152.

[21] Chen B,Liu B,Liu K,et al.Direct adaptive fuzzy control of nonlinear strict-feedback systems[J].Automatica,2009,45(6):1 530-1 535.

[22] Wang H Q,Chen B,Liu K,et al.Adaptive neural tracking control for a class of non-strict-feedback stochastic nonlinear systems with unknown backlash like hysteresis[J].IEEE Trans.Neural Netw,2015，25(5):947-958.

【責(zé)任編輯：蔣亞儒】

Adaptive tracking control for a class of uncertain nonlinear systems

LI Yan-xin, LI Wei-ming

(School of Mathematics and System Science, Shandong University of Science and Technology,Qingdao 266590, China)

This paper researches the fuzzy control problem for a class of single input single output nonlinear systems.Based on the linear approximation ability of fuzzy logic system and Backstepping technology,a new adaptive fuzzy control scheme is proposed.The adaptive controller guarantees that all the signals of the closed-loop system are semi-globally uniformly bounded in probability and the tracking error converges to a small neighborhood of the origin.

adaptive fuzzy control; strict feedback nonlinear system; Backstepping

2017-04-16

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61402265); 山東省泰山學(xué)者研究基金項(xiàng)目(20015TDJH105); 青島博士后應(yīng)用研究項(xiàng)目(2016118); 山東科技大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目(SDKDYC170344)

李彥欣(1992-)，女，山東青島人，在讀碩士研究生，研究方向：非線性系統(tǒng)控制

2096-398X(2017)04-0179-06

O231.3

A