轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

朱曉娟

摘 要：轉(zhuǎn)化與化歸思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決總離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸，它可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。本文舉例說(shuō)明了化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的幾種基本類型。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化與化歸；中學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2017）02-089-02

轉(zhuǎn)化與化歸思想，將一個(gè)問(wèn)題由難化易，由繁化簡(jiǎn)，由復(fù)雜化簡(jiǎn)單的過(guò)程，簡(jiǎn)稱為化歸思想。化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題；將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題；將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。

應(yīng)用化歸思想的基本原則為熟悉化、簡(jiǎn)單化、和諧化。

轉(zhuǎn)化與化歸的常見(jiàn)方法有：

一、直接轉(zhuǎn)化法

通常是通過(guò)將需要解決的問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本的定義、定理、公式或基本圖形問(wèn)題，使問(wèn)題由暗到明。

二、換元法

換元法是指將形式較復(fù)雜或不標(biāo)準(zhǔn)的方程、不等式、函數(shù)化歸為形式較簡(jiǎn)單易于解決的基本問(wèn)題。

三、構(gòu)造法

運(yùn)用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常是通過(guò)構(gòu)造與原命題定價(jià)的命題形式，從而提高解題速率。構(gòu)造問(wèn)題的關(guān)鍵之處在于構(gòu)造的目的和途徑。

四、坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是指根據(jù)平面圖形或者空間幾何圖形的實(shí)際情況建立平面直角坐標(biāo)系或者是空間直角坐標(biāo)系，將圖形各點(diǎn)表示成坐標(biāo)形式，運(yùn)用坐標(biāo)的計(jì)算法則表示出需要數(shù)量關(guān)系。

五、類比法

利用類比推理，將原問(wèn)題類比到已解決或簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

以下為化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的基本類型：

一、等價(jià)轉(zhuǎn)換

把所給的命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種容易理解的語(yǔ)言或容易求解的模式，把復(fù)雜的問(wèn)題分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把生澀的問(wèn)題仔細(xì)分析，變?yōu)樵谝延兄R(shí)范圍內(nèi)能夠解決的問(wèn)題，從而得出正確的結(jié)果。

例1：若x、y、z∈R 且x+y+z=1，求（ -1）（ -1）（ -1）的最小值

分析：由已知x+y+z=1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式x+y+z，或者運(yùn)用均值不等式后含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求式進(jìn)行合理的變形，即等價(jià)轉(zhuǎn)化。

解：（ -1）（ -1）（ -1）= （1-x）（1-y）（1-z）

= （1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz）= （xy+yz+zx-xyz）

= + + -1≥3 -1= -1≥ -1=9

二、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

一是形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)盆關(guān)系來(lái)處理，就數(shù)論形，二是數(shù)的間題用形來(lái)直觀描述，以形究數(shù)，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)明易解。

例 2： ，求 的最小值

解：通常將 視為（x，y）點(diǎn)到點(diǎn)（-1，-1）之間的距離，那么點(diǎn)（-1，-1）到直線x+y+1=0的距離就是最短距離，即是 的最小值，由點(diǎn)到直線距離公式就可使問(wèn)題迎刃而解了。

三、正與反的轉(zhuǎn)化

“順難則逆、直難則曲、正難則反”，順向推導(dǎo)有困難時(shí)就逆向推導(dǎo)，直接證明有困難時(shí)就間接證明，正面求解有困難時(shí)就反向逆找，探求問(wèn)題的可能性有困難時(shí)就探求不可能性，等式證明從左到右不順利時(shí)就從右到左。

例3：一個(gè)小組有12名學(xué)生，其中名女生。現(xiàn)需分配6人參加勞動(dòng)，其中至少要有一名女生，那么這樣的分配方法有多少種？

解：如果直接分類會(huì)很繁瑣，但我們反向考慮：“至少有一名女生參加”的反面是“沒(méi)有一名女生參加”，則問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。所以有 - =896（種）分配方法。

四、三維向二維轉(zhuǎn)化

三維是建立在二維基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究空間圖形問(wèn)題，因此在研究立體幾何問(wèn)題遇到困難時(shí)不妨將其化歸為平面幾何問(wèn)題，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

例4：如圖所示：有一個(gè)長(zhǎng)、寬都是2米，高為3米的長(zhǎng)方體紙盒，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到 點(diǎn)，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為_(kāi)______米。

解：將立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何上的問(wèn)題，由平面幾何中兩點(diǎn)之間直線段最短原理可以得出小蟲(chóng)爬行的最短路程必然是、 之一。

一、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如能建立描述其數(shù)量特征的函數(shù)表達(dá)式，或列出表示其數(shù)量關(guān)系的方程式（組）（包括不等式（組）），則一般可使問(wèn)題得到解答。

例5：已知函數(shù) ，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到 ，f（x）在區(qū)間（0，1]上為單調(diào)增函數(shù)，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，即 在（0，1]恒大于等于0.

二、一般與特殊的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)充滿著辯證法，一般性往往寓于特殊性之中解題時(shí)，將一般問(wèn)題特殊化和將特殊問(wèn)題一般化是常用的兩種策略。

例6：己知等差數(shù)列{ }的公差 且 成等比數(shù)列，求 的值。

解：由題意知只要滿足 成等比數(shù)列等比數(shù)列的條件，取何種等差數(shù)列與結(jié)果是無(wú)關(guān)的，所以取 ，則

運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題：1.注意化歸的目標(biāo)，保證化歸的有效性、規(guī)范性；2.注意化歸的等價(jià)性，保證化歸的準(zhǔn)確性；3.注意化歸的靈活性，設(shè)計(jì)合理的化歸策略。

轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)解題中幾乎無(wú)處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說(shuō)到底，化歸的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得以解決。要想靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先要扎實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，其次要提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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