基于分布函數(shù)法求解連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布教學(xué)設(shè)計與探索

卜維春　焦成文　周瑞芳

[摘 要] 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中，連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布是教學(xué)中的重點和難點，其主要的求解方法是分布函數(shù)法，探討了基于此方法求解連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的教學(xué)設(shè)計與探索。

[關(guān) 鍵 詞] 隨機變量函數(shù)；分布函數(shù)法；教學(xué)設(shè)計

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）32-0050-01

等線概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布是教學(xué)中的重點和難點，而此知識點頻繁出現(xiàn)在實際問題和理論研究中[1]。結(jié)合多年的教學(xué)實踐，學(xué)生普遍反映，概念難以理解，方法難以掌握，教學(xué)效果并不理想[2]，為了提高教學(xué)質(zhì)量，對該知識點的教學(xué)設(shè)計和方法作如下的思考和探索。教學(xué)過程設(shè)計分為三個模塊：單臂車和電壓視頻問題導(dǎo)入、闡述相關(guān)定義及理論、給出分布函數(shù)法的具體求解步驟的理論講解。

一、提出問題

（一）單臂車視頻問題描述：單臂車從A地到B地，A地到B地距離為180公里，速度V服從[30，60]的均勻分布。試求：所用時間T=180/V的概率密度函數(shù)？

（二）電壓視頻問題描述：已知t=t0時刻噪聲電壓U的分布，求：功率W=U2/R的分布？

實例中若X是隨機變量，Y=g（X）是普通的實函數(shù)，則Y=g（X）是X的函數(shù)。探討：（1）實函數(shù)Y是隨機變量嗎？（2）如果是隨機變量，那么，隨機變量Y的分布與X的分布有什么關(guān)系？（3）如何由已知隨機變量X的分布，求其對應(yīng)函數(shù)Y=g（X）的分布？

二、分析問題

（一）隨機變量函數(shù)

定義：設(shè)g（X）是連續(xù)函數(shù)，X是一個隨機變量，那么Y=g（X）作為X的函數(shù)也是一個隨機變量，稱Y=g（X）為隨機變量X的函數(shù)。

注：（1）g（x）是自變量x在其定義域內(nèi)的函數(shù)，隨機變量X的函數(shù)g（x）是指這樣的一個隨機變量Y：當X取值x時，它取值Y=g（X），記作Y=g（X）；（2）從函數(shù)角度分析隨機變量X，可以判斷其是基本事件的函數(shù)，從而可知隨機變量X的函數(shù)Y是基本事件的復(fù)合函數(shù)；（3）隨機變量X是連續(xù)型隨機變量，但不能確定隨機變量函數(shù)Y一定連續(xù)。

（二）分布函數(shù)

分布函數(shù)在X點處取值的幾何意義是隨機變量X落入?yún)^(qū)間（-∞，x]的概率，它的本質(zhì)是研究隨機變量在某區(qū)間取值時對應(yīng)的概率。

（三）連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

學(xué)生在學(xué)習(xí)分布函數(shù)法時產(chǎn)生的困惑可以從以下幾方面剖析：在概念方面，連續(xù)型隨機變量函數(shù)概念不易理解；在計算方面，需要用高等數(shù)學(xué)中的微積分知識；在教學(xué)過程中，學(xué)生對“分布”不理解，分布其實就是密度函數(shù)或者分布函數(shù)。

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布是教材的經(jīng)典內(nèi)容之一[3]。公式法和分布函數(shù)法是其分布的兩種方法，公式法對隨機變量函數(shù)的單調(diào)性要求比較苛刻，而分布函數(shù)法不僅求解過程對隨機變量函數(shù)是否單調(diào)性沒有嚴格要求，而且分布函數(shù)法也是公式法理論證明的推導(dǎo)方法，所以，分布函數(shù)法是目前理論研究求解連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布的主要方法。

三、分布函數(shù)法

運用分布函數(shù)法求解連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布時，關(guān)鍵是要將Y的分布與X的分布建立起某種聯(lián)系，當X的分布已知，求Y的分布具體步驟如下：

（1）確定隨機變量Y的取值范圍R（Y），隨機變量X的取值范圍已知，結(jié)合關(guān)系Y=g（X）式可確定的隨機變量函數(shù)Y取值范圍R（Y）。

（2）在隨機變量Y的取值范圍R（Y）內(nèi)，求出Y的分布函數(shù)：FY（y）=P{Y≤y}=P{g（X）≤y}=f（x）dx，步驟中，Y是隨機變量，其分布函數(shù)是FY（y）在R（Y）之外的取值為0或1。

（3）在隨機變量Y的取值范圍R（Y）內(nèi)，求出Y密度函數(shù)：fY（y）=，分布函數(shù)FY（y）在R（Y）之外求導(dǎo)值為0。

（4）在定義域（-∞，+∞）上求出Y密度函數(shù)：fY（y）=F′Y（y），y∈R（Y）0，其他。

四、小結(jié)

隨機變量的函數(shù)分布的求解用公式法具有局限性，用分布函數(shù)法求密度函數(shù)應(yīng)用很廣泛。本文的教學(xué)首先運用視頻、動畫等相結(jié)合的教學(xué)手段，由單臂車和電壓視頻導(dǎo)入提出問題，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進而講解分布函數(shù)法的具體求解步驟，使學(xué)生明白和領(lǐng)悟分布函數(shù)法求解連續(xù)型隨機變量步驟及相關(guān)知識，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望和對概率統(tǒng)計學(xué)習(xí)的興趣。因此，為提高連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布的教學(xué)效果，對連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)方法仍需不斷地探索和研究。

參考文獻：

[1]郭家勇.隨機變量分布函數(shù)的連續(xù)性的教學(xué)探討[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2011（5）.

[2]劉淼，周鑫.連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的理論研究[J].伊利師范學(xué)院學(xué)報，2007（4）.

[3]李壽貴，余勝春.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2011.