基于Rayleigh—Sommerfeld積分的矢量衍射理論的適用范圍

王曉琨+耿滔

摘要： 以徑向偏振的Laguerre-Gaussian光束為例，探討了基于Rayleigh-Sommerfeld積分的矢量衍射理論的適用范圍。經(jīng)與Richards-Wolf理論計(jì)算結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，在有效數(shù)值孔徑小于0.4的情況下，Rayleigh-Sommerfeld理論可以適用，并可用于探討小菲涅耳數(shù)的焦移問題。但對于緊聚焦大數(shù)值孔徑系統(tǒng)，Rayleigh-Sommerfeld理論不再適用，因?yàn)檫@種理論低估了光波的衍射效應(yīng)和矢量性，使得計(jì)算所得的聚焦光斑尺寸偏小。

關(guān)鍵詞： 矢量衍射； Rayleigh-Sommerfeld積分； 徑向偏振

中圖分類號： O 436.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2017.03.005

Application of the vector diffraction theory based on

Rayleigh-Sommerfeld integration

WANG Xiaokun1，2，3， GENG Tao1，2，3

（1.Shanghai Key Laboratory of Modern Optical System， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China；

2.Engineering Research Center of Optical Instruments and Systems（MOE），University

of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China；

3.School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract：

The application of the vector diffraction theory based on Rayleigh-Sommerfeld integration has been studied using Laguerre-Gaussian beams with radial polarization.It is found that the Rayleigh-Sommerfeld vector diffraction theory is valid when the numerical aperture is less than 0.4 in comparison with the calculation results of Richards-Wolf vector diffraction theory.However，for short-focus large-numercial-aperture systems，the Rayleigh-Sommerfeld theory underestimates the diffraction effect and the vector property of light waves.Thus，the Rayleigh-Sommerfeld theory cannot be used for short-focus large-numercial-aperture systems.

Keywords： vector diffraction； Rayleigh-Sommerfeld integration； radial polarization

引 言

由于緊聚焦光束的焦斑很小及特殊的焦場特性，使得其在半導(dǎo)體光刻、顯微成像、光學(xué)加工及微操縱等領(lǐng)域有極其重要的應(yīng)用。因此緊聚焦光束的研究已經(jīng)成為國際和國內(nèi)熱門的研究領(lǐng)域之一。

根據(jù)光學(xué)成像原理，小數(shù)值孔徑系統(tǒng)滿足傍軸近似條件，光束可用標(biāo)量來表示，此時(shí)光束近場和遠(yuǎn)場復(fù)振幅之間的聯(lián)系可以由傅里葉變換來描述。在這種情況下，通常使用菲涅耳衍射理論加上理想薄透鏡的相位變換公式來分析成像系統(tǒng)。而對緊聚焦大數(shù)值孔徑系統(tǒng)，傍軸近似條件不再適用，同時(shí)光束的矢量特性不能再被忽略。探討矢量衍射的方法有很多，目前被廣泛接受的理論是由Richards和Wolf提出的基于德拜近似的平面波角譜展開法[1-2]，但這種方法由于使用了德拜近似，因此對小菲涅耳數(shù)系統(tǒng)不適用，無法探討焦移問題[3]。近年來，有學(xué)者提出了基于Rayleigh-Sommerfeld（R-S）積分的矢量衍射方法[4-5]，并認(rèn)為這種方法可以研究離軸緊聚焦系統(tǒng)，且與Richards-Wolf（R-W）方法相比有兩個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)，一是可用于小菲涅耳數(shù)系統(tǒng)探討焦移現(xiàn)象，二是這種方法可以獲得緊聚焦條件下Laguerre-Gaussian光束低階模式的解析解。

然而基于R-S積分的矢量衍射方法是否可以運(yùn)用于緊聚焦系統(tǒng)，以及是否有使用限制、限制范圍等問題目前還沒有詳細(xì)的研究報(bào)道。本文將對其進(jìn)行研究，考慮到徑向偏振是最適合產(chǎn)生超分辨光斑的偏振態(tài)[6-7]，本文將以徑向偏振光為例，探討R-S理論的使用范圍。

1 矢量衍射理論

在R-W理論的框架下，當(dāng)入射光為徑向偏振時(shí)，經(jīng)理想透鏡聚焦后的電場分布可以表示為[8]

式中：ρ、φ、z分別為衍射場的徑向、角向和縱向的坐標(biāo)；α為最大半孔徑，α=arcsin（NA），NA為透鏡的數(shù)值孔徑；θ為孔徑角；k為波矢，且k=2πλ；A為常系數(shù)；Jm為m階貝塞爾函數(shù)；l0（θ）為入射光的振幅分布。在本文中取最低階的Laguerre-Gaussian光束，由此得

式中：C為常系數(shù)；w0為光束的束腰半徑；f為透鏡焦距。為了獲得式（1），推導(dǎo)過程中使用了德拜近似條件，即faλ和a2/（λf）1。

考慮R-S理論，使用振幅分布與式（2）相同的徑向偏振光為入射光時(shí)，聚焦后的電場分布可表示為[9]

式中：E0為常系數(shù)；γ=1/w20+ik/（2f）；q=ξ-ik/（2γ）；ξ=（z+f）2+ρ2。為了獲得解析表達(dá)式（3），推導(dǎo)過程中忽略了透鏡孔徑的影響，因此為了將兩種理論計(jì)算結(jié)果放在同一條件下比較，式（1）中的α取為π/2，即透鏡的數(shù)值孔徑取為1?？紤]到透鏡的有效孔徑取決于入射光斑的實(shí)際尺寸，可以將透鏡的實(shí)際有效數(shù)值孔徑定義為

2 模擬結(jié)果及討論

我們利用模擬軟件MATLAB進(jìn)行計(jì)算模擬。先考慮小菲涅耳數(shù)系統(tǒng)，以氦氖激光為入射光源，波長λ=632.8 nm，入射光的束腰半徑w0=50 μm，透鏡焦距f=10 mm，此時(shí)菲涅耳數(shù)N≈0.4，有效數(shù)值孔徑NAeff=0.005。圖1（a）給出了使用兩種方法計(jì)算的光軸（z軸）上的總光強(qiáng)分布。從圖中可以看出：RS理論的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)了明顯的焦移現(xiàn)象，光強(qiáng)最強(qiáng)的位置向透鏡方向移動；而RW理論由于使用了德拜近似，光強(qiáng)最大值始終出現(xiàn)在幾何焦點(diǎn)位置（z=f），無法探討焦移現(xiàn)象。因此對于小菲涅耳數(shù)系統(tǒng)，由于不滿足德拜近似條件，RW理論不能給出正確的結(jié)果。其他計(jì)算參數(shù)保持不變，圖1（b）給出了w0=1 mm時(shí)的計(jì)算結(jié)果。此時(shí)菲涅耳數(shù)N≈158，有效數(shù)值孔徑NAeff=0.100。在這種情況下，菲涅耳數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1，焦移現(xiàn)象消失，滿足德拜近似條件，RW理論可以給出正確的結(jié)果，此時(shí)兩種理論的計(jì)算結(jié)果吻合得很好。

接下來比較兩種理論在不同有效數(shù)值孔徑NAeff下的計(jì)算結(jié)果，以下的計(jì)算保持波長λ=632.8 nm和w0=1 mm不變。圖2（a），（b）和（c）分別給出了NAeff=0.2時(shí)，使用兩種理論計(jì)算的焦平面上沿x軸方向的總光強(qiáng)、徑向分量和縱向分量光強(qiáng)分布（I總=I徑向+I縱向），計(jì)算結(jié)果相對總光強(qiáng)的最大值做了歸一化處理。從圖中可以看出：由于偏振奇點(diǎn)的存在，徑向分量光強(qiáng)分布為中空的暗焦斑；在低有效數(shù)值孔徑的情況下，縱向分量光強(qiáng)所占總光強(qiáng)的比例遠(yuǎn)小于徑向分量光強(qiáng)，因此總光強(qiáng)也呈現(xiàn)出中空的分布；在NAeff=0.2時(shí)，兩種理論的計(jì)算結(jié)果吻合得很好，這說明在數(shù)值孔徑較小的系統(tǒng)中，這兩種理論都適用。

圖3給出了NAeff=0.4時(shí)的計(jì)算結(jié)果，隨著有效數(shù)值孔徑的增大，聚焦光斑尺寸減小，縱向分量光強(qiáng)所占總光強(qiáng)的比例增加，此時(shí)兩種理論的計(jì)算結(jié)果開始出現(xiàn)明顯的差別。RS理論計(jì)算的聚焦光斑仍呈現(xiàn)出部分中空結(jié)構(gòu)，而RW理論的計(jì)算結(jié)果顯示聚焦光斑已成為亮焦斑，中空結(jié)構(gòu)消失。這是由于RW理論計(jì)算的縱向分量光強(qiáng)此時(shí)已占主導(dǎo)地位，而對于RS理論的計(jì)算結(jié)果來說，雖然縱向分量光強(qiáng)所占總光強(qiáng)的比例有所增加，但還不占主導(dǎo)地位，因此總光強(qiáng)仍出現(xiàn)了中空結(jié)構(gòu)。由此可見，相對于RW理論，RS理論對縱向分量的地位估計(jì)不足。

圖4給出了NAeff=0.9時(shí)的計(jì)算結(jié)果，這時(shí)隨著有效數(shù)值孔徑的進(jìn)一步增大，大部分光強(qiáng)集中到縱向分量上。比較兩種理論的計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)RS理論計(jì)算的徑向分量和縱向分量的光斑尺寸都明顯小于RW理論的計(jì)算結(jié)果，導(dǎo)致聚焦光斑整體尺寸較小。由于數(shù)值孔徑接近于1，RW理論計(jì)算的縱向分量出現(xiàn)了明顯的旁瓣，這是由衍射造成的，并很難消除，而RS理論計(jì)算的縱向分量其旁瓣幾乎可以忽略。

通過上述比較可以發(fā)現(xiàn)，這兩種理論在有效數(shù)值孔徑為0.4左右時(shí)就出現(xiàn)了明顯的差異，而且隨著有效數(shù)值孔徑的增大，差異越來越大。究其原因，這是由于RS理論雖然是離軸矢量理論，但在推導(dǎo)過程中使用了兩個(gè)近似[9]，一是使用了標(biāo)量理論中傍軸近似條件下的理想薄透鏡的相位變換關(guān)系，二是使用了弱離軸近似關(guān)系

正是這兩個(gè)近似的使用使得RS理論對光波的衍射效應(yīng)和矢量性估計(jì)不足，導(dǎo)致了縱向分量的比例偏低，聚焦光斑尺寸偏小且?guī)缀鯚o旁瓣出現(xiàn)等現(xiàn)象。因此，RS理論雖然可以得到聚焦電場的各方向分量，符合矢量理論，但不能用于大數(shù)值孔徑的緊聚焦系統(tǒng)。但是這種方法還是要優(yōu)于標(biāo)量理論，因?yàn)槠淇梢杂懻撈駪B(tài)對聚焦光場的影響。

3 結(jié) 論

通過與RW矢量衍射理論的計(jì)算結(jié)果比較，本文發(fā)現(xiàn)RS理論雖然是矢量衍射理論，但只能適用于有效數(shù)值孔徑小于0.4的系統(tǒng)。這是由于這種理論在推導(dǎo)過程中使用了標(biāo)量衍射的傍軸近似條件，使得其在數(shù)值孔徑較大的系統(tǒng)中對光波的衍射效應(yīng)和矢量性估計(jì)不足，計(jì)算所得的聚焦光斑尺寸偏小。因此，在探討矢量光的低數(shù)值孔徑聚焦問題時(shí)，可以使用該方法，其可以獲得解析解，便于分析討論和計(jì)算，且能解釋焦移現(xiàn)象，但對于緊聚焦大數(shù)值孔徑系統(tǒng)，這種方法是不適用的。

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