構(gòu)建基本模型，舉一反三

劉東

摘 要：本文從一道復(fù)合場(chǎng)經(jīng)典例題出發(fā)，通過(guò)改變條件，演變出各種相關(guān)模型，旨在提升學(xué)生的知識(shí)遷移能力和建模能力，體驗(yàn)物理模型的巨大作用，更深刻地理解一題多解和一題多用。

關(guān)鍵詞：復(fù)合場(chǎng)；基本模型；一題多用；建模能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2017）6-0028-3

近些年的高考題不斷的推陳出新，將許多生活中的現(xiàn)象與物理知識(shí)相結(jié)合，加深了試題的難度，相當(dāng)一部分學(xué)生處理起來(lái)總是比較吃力。其實(shí)根本原因在于學(xué)生的建模能力不夠，不能快速地從物理現(xiàn)象中提煉出物理模型，導(dǎo)致無(wú)從下手、毫無(wú)思路的現(xiàn)象出現(xiàn)。因此，我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)過(guò)程之中必須強(qiáng)調(diào)基本模型的作用，同時(shí)要讓學(xué)生學(xué)會(huì)從一個(gè)模型（一道題）入手，引申出與此相關(guān)的模型（題型），提升知識(shí)之間的聯(lián)系，做到舉一反三。本文從一道復(fù)合場(chǎng)經(jīng)典例題出發(fā)，通過(guò)改變條件，演變出各種類(lèi)似的相關(guān)模型，希望借此提升學(xué)生的知識(shí)遷移能力，使學(xué)生不僅僅局限于題目本身的問(wèn)題，并能延伸到與此相關(guān)的各類(lèi)題型，加深對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用。

1 題目及解題過(guò)程

本題是重力場(chǎng)和電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中的經(jīng)典例題，題目如下：

例1 如圖1所示，一條長(zhǎng)為l的絕緣細(xì)線，上端固定在O點(diǎn)，下端系一質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一個(gè)足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)大小為E，方向水平向右。已知當(dāng)細(xì)線離開(kāi)豎直方向的偏角為α?xí)r，小球處于平衡狀態(tài)，重力加速度為g，求：

（1）小球帶何種電荷？帶電量多少？

（2）若使細(xì)線的偏角增大到β，然后將小球由靜止釋放，則β應(yīng)為多大時(shí)才能使小球到達(dá)豎直方向的最低點(diǎn)時(shí)速度恰好為零？

解析如下：

（1）如圖2，由受力分析可知，電場(chǎng)力水平向右，因此小球帶正電，由平衡條件有：qE=mgtanα

則小球帶電量q=

（2）可按常規(guī)解法求解，如圖3所示，從B點(diǎn)到C點(diǎn)過(guò)程重力做正功，電場(chǎng)力做負(fù)功，由動(dòng)能定理有mgl（1-cosβ）-qElsinβ=0

代入q可求出β=2a

我們仔細(xì)分析小球的受力情況，發(fā)現(xiàn)小球在恒定的重力和電場(chǎng)力以及一直都不做功的繩子拉力作用下運(yùn)動(dòng)，與單擺運(yùn)動(dòng)類(lèi)似，單擺在恒定的重力和不做功的繩子拉力作用下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)具有對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于運(yùn)動(dòng)中的最低點(diǎn)左右對(duì)稱(chēng)。對(duì)小球在最初的平衡位置A時(shí)進(jìn)行受力分析，將重力和電場(chǎng)力等效為一個(gè)力mg'=，也就是等效重力，于是就可以等效為一個(gè)單擺運(yùn)動(dòng)。根據(jù)單擺運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，可知A為其平衡位置，也就是所謂的“最低點(diǎn)”，于是有當(dāng)β=2a時(shí)釋放小球，它到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度恰好為零。

這里用到了等效的思想。等效法是把復(fù)雜的物理現(xiàn)象、物理過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的物理現(xiàn)象、物理過(guò)程來(lái)研究和處理的一種科學(xué)思想方法，它是物理學(xué)研究的一種重要方法。在中學(xué)物理教學(xué)中，合力與分力、合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)、總電阻與分電阻、平均值、有效值等，都是根據(jù)等效概念引入的。常見(jiàn)的等效法有“分解與合成”、等效類(lèi)比、等效替換、等效簡(jiǎn)化等，從而化繁為簡(jiǎn)，化難為易?？梢允刮锢韱?wèn)題的分析和解答變得簡(jiǎn)捷，而且對(duì)靈活運(yùn)用知識(shí)，促使知識(shí)、技能的遷移，都會(huì)有很大的幫助。

2 延伸與拓展

在解決完本題的兩個(gè)問(wèn)題后，我們可就近拓展出幾個(gè)相關(guān)問(wèn)題，加深對(duì)本題的理解和遷移能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)。

拓展1：上題中，若α很小，小球的擺動(dòng)可視為單擺，則其振動(dòng)周期多大？

解析：小球相當(dāng)于在等效重力作用下的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)單擺的周期公式T=2π（其中l(wèi)為擺長(zhǎng)，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋┛芍刃螖[運(yùn)動(dòng)的周期公式為T(mén)=2π。這樣不僅解決了小角度情況下復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問(wèn)題，還對(duì)前面的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的知識(shí)進(jìn)行了一定的復(fù)習(xí)，有了更深入的理解和掌握。

拓展2：在懸線偏離豎直方向α角小球靜止時(shí)剪斷繩子，且給小球一個(gè)垂直于懸線方向的初速度v0，小球會(huì)做什么運(yùn)動(dòng)？

解析：繩子剪斷后，小球在等效重力的作用下，具有一個(gè)與等效重力垂直的初速度v0，與平拋運(yùn)動(dòng)幾乎完全相同，因此小球會(huì)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡為拋物線。

拓展3：如圖4所示，在懸線偏離豎直方向α角小球靜止時(shí)，突然給小球一個(gè)垂直于懸線方向的初速度v0，要使小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，v0應(yīng)為多大？

解析：分析這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們首先要分析清楚小球恰能做豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，與例題第2問(wèn)的分析一樣，用等效重力場(chǎng)的知識(shí)來(lái)處理問(wèn)題就會(huì)簡(jiǎn)潔明了。物體只在等效重力和不做功的繩子拉力作用下運(yùn)動(dòng)，與豎直平面內(nèi)的輕繩模型完全一樣，過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件是在最高點(diǎn)速度為。因此，本題中的“最高點(diǎn)”為與A關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)的D點(diǎn)，在這點(diǎn)速度為vD=。于是我們可以根據(jù)動(dòng)能定理求出在A點(diǎn)的速度，求解過(guò)程依然用等效重力的思想。

從A到D有 -2mg'l=mv-mv

解得：v0==

本題用等效重力的知識(shí)很快地就求解出答案，思路清晰，計(jì)算簡(jiǎn)便。如果用常規(guī)方法，分別去計(jì)算重力和電場(chǎng)力所做的功，一方面兩者位移不同，另一方面過(guò)程復(fù)雜容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，而且物理思想與等效重力場(chǎng)相比就差了很多。這樣處理之后，一方面對(duì)力學(xué)中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了一定的復(fù)習(xí)，另一方面加深了對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和運(yùn)用，知識(shí)和方法都上了一個(gè)臺(tái)階。

拓展4：將小球移至O點(diǎn)的左方且懸線恰好水平拉直，然后靜止釋放小球，試分析小球的運(yùn)動(dòng)情況。

解析：如圖5所示，將小球移至O點(diǎn)的左方且懸線恰好水平拉直，根據(jù)受力分析（依然采用等效重力的思想）可知，在等效重力的作用下，不需要繩子提供拉力（繩子拉力是被動(dòng)力，根據(jù)需要產(chǎn)生），因此小球會(huì)沿直線FG運(yùn)動(dòng)，直到繩子拉直。在沿直線FG運(yùn)動(dòng)過(guò)程之中，由于只受到恒力mg'的作用，因此小球一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在G點(diǎn)速度達(dá)到最大。到達(dá)G點(diǎn)后繩子繃緊，沿著繩子方向的速度突變?yōu)榱?，垂直于繩子方向的速度不變。之后就沿著圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)。

在這里，我們還可以引申出很多問(wèn)題，比如，求出在G點(diǎn)的速度的大小，從F到G所用時(shí)間，在G點(diǎn)繩子繃緊瞬間繩子拉力的沖量的大小，繩子繃緊后瞬間拉力的大小，小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度的大小，之后能運(yùn)動(dòng)到右側(cè)的最大距離等等。如果學(xué)生能順利地求解出這些問(wèn)題，那么對(duì)豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)涉及到力、動(dòng)量、能量的知識(shí)又會(huì)有更加深刻的理解和掌握，對(duì)復(fù)合場(chǎng)的認(rèn)識(shí)更加清楚，就能真正理解和掌握復(fù)合場(chǎng)的所有問(wèn)題。

在本題的處理以及拓展研究過(guò)程之中，我們著重強(qiáng)調(diào)了等效的思想，將平衡類(lèi)問(wèn)題、單擺問(wèn)題、平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展到了復(fù)合場(chǎng)中的平衡問(wèn)題、類(lèi)單擺問(wèn)題、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)、類(lèi)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)。一方面迅速準(zhǔn)確地求出了所求問(wèn)題，另一方面加深了對(duì)以前所學(xué)知識(shí)的理解和前后知識(shí)的聯(lián)系與溝通，站在一個(gè)更高的角度來(lái)看物理，對(duì)整個(gè)中學(xué)物理的邏輯關(guān)系和知識(shí)脈絡(luò)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)，達(dá)到了書(shū)由厚到薄的過(guò)程。

3 總結(jié)與歸納

通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的分析和討論，學(xué)生對(duì)復(fù)合場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)會(huì)有更加深刻的理解和掌握，同時(shí)多種題型放置在一起，通過(guò)對(duì)比，找出區(qū)別，對(duì)于學(xué)生分析問(wèn)題的能力和處理問(wèn)題的方法以及遷移能力都有一個(gè)較大的提高。

在牛頓力學(xué)里面我們有很多基本模型，比如連接體問(wèn)題、板塊問(wèn)題、傳送帶問(wèn)題……；在曲線運(yùn)動(dòng)中，有圓周運(yùn)動(dòng)（水平面的圓周運(yùn)動(dòng)，豎直平面的圓周運(yùn)動(dòng)）、平拋運(yùn)動(dòng)、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)、單擺運(yùn)動(dòng)……；在動(dòng)量能量中，有碰撞類(lèi)問(wèn)題、彈簧類(lèi)問(wèn)題、板塊類(lèi)問(wèn)題……；在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中有復(fù)合場(chǎng)問(wèn)題。這些綜合性的問(wèn)題都有一些基本的經(jīng)典例題，每個(gè)例題我們都可以引申出各種不同的變換。在復(fù)習(xí)過(guò)程之中，我們應(yīng)該有意識(shí)地將這些模型反復(fù)應(yīng)用，多加一些變化，達(dá)到學(xué)生熟練掌握、靈活運(yùn)用的目的。

在整個(gè)高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，我們都應(yīng)該注意一題多用、一題多解。每個(gè)題目都可以從不同的方面進(jìn)行理解，這樣一方面有助于學(xué)生真正理解和掌握知識(shí)，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力。當(dāng)他們?cè)谟龅缴璧念}目的時(shí)候，就能根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和題型遷移過(guò)來(lái)，進(jìn)行對(duì)比，就能迅速找到題目的切入點(diǎn)和突破口。這樣，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的能力。

（欄目編輯 李富強(qiáng)）