數(shù)學公式郵票中的物理內涵（一）

徐漢屏

你見過印有數(shù)學公式的郵票嗎？早在1971年，尼加拉瓜就曾經(jīng)發(fā)行過十張一套題為“改變世界面貌的十個數(shù)學公式”的郵票。這些郵票是根據(jù)一些著名數(shù)學家選出的十個對世界發(fā)展極有影響的數(shù)學公式進行設計的。其實，這十個數(shù)學公式中，除了“手指計數(shù)基本法則”、“勾股定理”和“納皮爾指數(shù)與對數(shù)關系公式”三個純屬數(shù)學學科外，其余七個公式則包含著豐富的物理內涵。

下面，向你展示這些具有物理內涵的數(shù)學公式郵票圖片，介紹公式的物理意義及相關物理學家的事跡。

·阿基米德杠桿原理——F₁x₁=F₂x₂

在力學里，典型的杠桿是置放在一個支撐點上的硬棒，這硬棒可以繞著支撐點旋轉。當杠桿處于靜止狀態(tài)或勻速轉動狀態(tài)時，我們就稱之為杠桿平衡。公式F₁x₁=F₂x₂，即動力×動力臂=阻力×阻力臂，就是杠桿平衡的條件。當動力臂大于阻力臂時，動力小于阻力，杠桿省力；當動力臂小于阻力臂時，動力大于阻力，杠桿費力；當動力臂等于阻力臂時，動力等于阻力，杠桿既不省力也不費力。杠桿原理是由阿基米德發(fā)現(xiàn)的，故稱為阿基米德杠桿原理。

阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘哲學家、數(shù)學家、物理學家、發(fā)明家、工程師、天文學家。他出生于西西里島的敘拉古，第二次布匿戰(zhàn)爭時期死于羅馬士兵之手。阿基米德對物理學的影響極為深遠；他對于數(shù)學的貢獻，使阿基米德被很多人視為歐洲古代最杰出的數(shù)學家和所有時代最杰出的數(shù)學家之一。他曾和牛頓及高斯被西方評價為有史以來最偉大的三位數(shù)學家。

在埃及公元前一千五百年前左右，就有人用杠桿來抬起重物，不過人們不知道它的道理。在阿基米德發(fā)現(xiàn)杠桿原理之前，是沒有人能夠解釋的。當時，有的哲學家在談到這個問題的時候，一口咬定說，這是“魔性”。阿基米德則根本不承認這種看法。

在《論平面圖形的平衡》一書中，阿基米德最早提出了杠桿原理。他首先把杠桿實際應用中的一些經(jīng)驗知識當作“不證自明的公理”，然后從這些公理出發(fā)，運用幾何學通過嚴密的邏輯論證，得出了杠桿原理。這些公理是：（1）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上相等的重量，它們將平衡；（2）在無重量的桿的兩端離支點相等的距離處掛上不相等的重量，重的一端將下傾；（3）在無重量的桿的兩端離支點不相等距離處掛上相等重量，距離遠的一端將下傾；（4）一個重物的作用可以用幾個均勻分布的重物的作用來代替，只要重心的位置保持不變。相反，幾個均勻分布的重物可以用一個懸掛在它們的重心處的重物來代替……正是從這些公理出發(fā)，在“重心”理論的基礎上，阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿原理。

阿基米德說：“給我一個支點，我就可以撬動地球！”但是，這樣的支點是無法找到的。希臘國王不相信杠桿有此神奇的作用，阿基米德便借了一艘大船，他運用杠桿原理以及滑輪巧妙地組合機械，船載滿乘客及貨物后，讓國王用手輕輕拉一條繩子，大船就直線前進了，令國王很是驚訝與佩服。

在保衛(wèi)敘拉古免受羅馬海軍襲擊的戰(zhàn)斗中，阿基米德利用杠桿原理制造了遠、近距離的投石器，利用它射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，曾把羅馬人阻于敘拉古城外達三年之久。

阿基米德的成就，除杠桿原理外，還有著名的浮力原理——“物體在液體中的浮力等于它所排開的液體重量”。相傳希臘國王讓人打造了一個王冠，但懷疑工匠在其中摻雜了其他金屬，于是問阿基米德能否判別出來。后來阿基米德在澡盆里洗澡的時候看到水往外溢，同時感到身體被輕輕托起，突發(fā)奇想，發(fā)現(xiàn)了浮力原理。

他也是杰出的數(shù)學家，著有《圓的量度》《拋物線的求積》《論螺線》《論球和圓柱》《論劈錐曲面體和球體》《數(shù)沙術》《論平板的平衡》等書。阿基米德最得意的杰作是導出圓柱內切球體的體積是圓柱體積的2/3倍，這個圖形就刻在他的墓碑上。

需要指出的是，我國古代的勞動人民在生產(chǎn)實踐中早就使用杠桿了，至春秋時期應用桔槔已相當普遍。桔槔是一種提水灌溉的器具，它是用一根橫梁拴在直立的木樁或樹干上，可自由轉動，橫梁一端用長繩垂下水桶，另一端則以重物平衡，用這種器具提水可大大減輕勞動強度。桔槔事實上就是一種杠桿。另外，在長沙左家公山，曾出土戰(zhàn)國初期根據(jù)杠桿原理制造的天平。我國戰(zhàn)國前期興起的墨家學派，總結了當時使用桔槔和天平的經(jīng)驗，在《墨經(jīng)》中就有兩條專門記載杠桿原理的。這兩條對杠桿的平衡說得很全面。里面有等臂的，有不等臂的；有改變兩端重量使它偏轉的，也有改變兩臂長度使它偏轉的。墨家在討論杠桿平衡時，不僅從正面指出使用杠桿時必須讓杠桿水平達到平衡，還從反面論述杠桿不平衡的道理。墨家的這一發(fā)現(xiàn)比阿基米德早了約二百年。

*牛頓萬有引力定律——F=Gm₁m₂/r²

任何兩個物體之間都存在著因具有質量而產(chǎn)生的互相吸引力，人稱“萬有引力”。公式F=Gm₁m₂/r²反映了萬有引力與兩物體的質量及距離間的關系，即萬有引力的大小與兩物體質量的乘積成正比，與兩物體距離的平方成反比，式中的G為比例系數(shù)，稱為引力常量。萬有引力定律是由牛頓發(fā)現(xiàn)的。

牛頓（1643年1月4日～1727年3月31日）是英國物理學家、數(shù)學家、天文學家、自然哲學家和煉金術士。他出生于英國林肯郡鄉(xiāng)下的一個小村落伍爾索普村的伍爾索普莊園，逝世后與很多杰出的英國人一樣被埋葬在威斯敏斯特教堂。牛頓是作為經(jīng)典力學基礎的牛頓運動定律的建立者，被譽為“物理學之父”。在2005年，英國皇家學會進行了一場名為“誰是科學史上最有影響力的人”的民意調查，牛頓被認為比愛因斯坦更具影響力。

牛頓小時候并不聰明，功課也不好，身體差、性格沉默又愛做白日夢，他的超人才智竟然是被一個野蠻的同學踢了一腳而喚醒的！牛頓決心發(fā)奮，誓言在功課上超越他，結果他不單在學校中名列前茅，18歲時便考進劍橋大學。牛頓24歲時，倫敦發(fā)生流行病，他便返回故鄉(xiāng)，在一年半的時間里有了三個非凡的創(chuàng)見，發(fā)明“微積分”，發(fā)現(xiàn)“萬有引力”，發(fā)現(xiàn)“光分七色”。

在大學里，牛頓學習了行星繞太陽運動的規(guī)律后，腦子中一直盤算著這樣的問題：究竟是什么作用力使得行星繞太陽轉個不停呢？正是在其24歲返鄉(xiāng)期間，有一次，他正坐在花園里的蘋果樹下思考問題，突然一個蘋果從樹枝上掉了下來?？粗涞氐奶O果，牛頓的心頭開了竅。牛頓想，蘋果為什么落到地面上，而不向空中“落”去呢？這說明地球對蘋果有吸引力。那么，行星能繞太陽轉個不停而不遠離太陽飛去，是否也是由于行星受到太陽的吸引力呢？他又進一步推想，地球對月亮有吸引力，這個吸引力是否就是使月亮繞地球運轉的力呢？世界萬物之間的引力又存在著怎樣的規(guī)律呢？

牛頓開始論證地球對月亮的引力確實就是月亮繞地球運行所需的向心力，然而由于當時測量數(shù)據(jù)的誤差，牛頓的努力失敗了。十幾年后，法國科學家皮卡爾糾正了有關數(shù)據(jù)。牛頓得知后立刻聯(lián)想到自己的計算，他很快按新數(shù)據(jù)重新計算，終于得到了滿意的結果。牛頓又用同樣的方法計算太陽對地球和其他行星的引力，都證明了萬有引力的存在。

經(jīng)過長期研究，牛頓終于揭開了萬有引力的秘密，并把這一規(guī)律寫進了1681年出版的《自然哲學的數(shù)學原理》一書中?？梢赃@樣說，蘋果的“偶然”落地，促成了牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律。在《自然哲學的數(shù)學原理》，牛頓除了總結出萬有引力定律外，還提出了三大運動定律，建立了經(jīng)典力學的基本體系，該書被譽為最偉大的科學著作。

說到萬有引力的發(fā)現(xiàn)，還不得不提到另外三位科學家，他們是第谷、開普勒和胡克。

第谷是一位偉大的天文觀察家。他在丹麥烏倫堡天文臺工作期間，親自設計改裝天文觀察儀器，加大了儀器的尺寸，提高了儀器的準確性。在長達二十多年的時間內，第谷測得了上千個星體的位置數(shù)據(jù)，誤差不超過0.076度，他還發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命名的新星——第谷星，他對彗星的觀察和研究改變了人們的錯誤認識。第谷經(jīng)過長期的仔細觀測，把此前數(shù)百年的星宿表都糾正了過來，他的不少第一手觀測資料被整理成《路德福天文表》出版，成為研究天體運行的寶貴財富。

開普勒則是一位卓越的理論家。1600年，開普勒成為當時已在布拉格天文臺工作的第谷的助手。他運用第谷臨終前給他留下的全部觀測資料和手稿，悉心進行研究。他在研究觀測數(shù)據(jù)最詳細的火星時發(fā)現(xiàn)，若根據(jù)圓周軌道進行計算，結果與觀測數(shù)據(jù)總不能符合得很好。為此，他將行星的運動軌道大膽地解釋為橢圓，經(jīng)過難以想象的復雜計算，他終于在1609年提出了反映行星運動軌道形狀的第一定律即“軌道定律”和反映行星運動速度規(guī)律的第二定律即“面積定律”，九年之后又發(fā)現(xiàn)了反映不同行星運動之間聯(lián)系的第三定律即“周期定律”。

胡克是英國著名物理學家，他對萬有引力也進行過富有成效的研究。1674年，胡克在他的《地球運動的實驗證明》一書中，定性地認為天體都是互相吸引的。在一次聚會中，胡克還同其他幾位科學家討論過在平方反比的引力作用下物體的軌跡形狀，他表示可以用平方反比關系證明一切天體的運動規(guī)律。1679年胡克在給牛頓的信中曾提到，太陽到行星的吸引力跟行星對太陽的距離的平方成反比。

這些，對牛頓的研究都產(chǎn)生了一定的影響。牛頓說：“如果我看得比較遠，是因為我站在巨人的肩上?！边@句名言，既體現(xiàn)了牛頓的謙虛，也確實是萬有引力定律發(fā)現(xiàn)過程的真實寫照。

最后需要說明的是，牛頓當年并沒有給出引力常量的具體數(shù)值。直到100多年后，英國人卡文迪許利用扭秤，才巧妙測出了這個常量，從而使引力公式可以定量計算物體間的引力大小?？ㄎ牡显S測出的數(shù)值與近代用更加科學的方法測定的數(shù)值非常接近。