以乒乓球為例分析旋轉(zhuǎn)球的受力及飛行軌跡

趙麗特 范東華 陳毅湛

(五邑大學應用物理與材料學院，廣東 江門 529020)

以乒乓球為例分析旋轉(zhuǎn)球的受力及飛行軌跡

趙麗特 范東華 陳毅湛

(五邑大學應用物理與材料學院，廣東 江門 529020)

文章對體育運動中一些有趣的物理現(xiàn)象進行探討，有助于提升學生學習物理的興趣。文章利用基本的力學定律對乒乓球的6種基本旋轉(zhuǎn)和飛行軌跡進行了詳細的分析,討論了初速度對飛行曲線的影響；進而對其他球類運動中的有趣現(xiàn)象進行了討論，比如“蛇球”(“香蕉球”)以側旋為主，“消失的發(fā)球”以逆旋為主，“電梯球”以上旋為主，“零式發(fā)球”以下旋為主；并對1997年羅伯特卡洛斯的經(jīng)典香蕉任意球進行了計算，給出了該球水平方向最大偏移距離和旋轉(zhuǎn)角速度的定量結果。

乒乓球；旋轉(zhuǎn)；香蕉球；蛇球；電梯球；零式發(fā)球；消失的發(fā)球；馬格努斯力

與足球、網(wǎng)球、排球等相比，乒乓球的旋轉(zhuǎn)種類繁多，所以本文以乒乓球為例，對其6種基本旋轉(zhuǎn)和飛行軌跡進行了詳細的分析，進而對其他球類運動中的有趣現(xiàn)象進行了討論，比如引人關注的“香蕉球”“蛇球”“電梯球”“零式發(fā)球”“消失的發(fā)球”等，并對1997年羅伯特·卡洛斯的經(jīng)典香蕉任意球進行了計算。

1 各種旋轉(zhuǎn)球的特性分析

雖然乒乓球可以產(chǎn)生多種多樣的旋轉(zhuǎn)，會有各式各樣的旋轉(zhuǎn)軸，但是，它始終是圍繞3條基本轉(zhuǎn)軸及6種基本旋轉(zhuǎn)而變化的[4]。以圖1擊球者的方位看(文中其他關于向左、向右等方向的描述均以相應圖示的擊球者所站方位看)，通過球心與臺面相垂直的軸為上下軸(豎軸)，俯視時，球繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)為右側旋球，順時針旋轉(zhuǎn)為左側旋球；通過球心與擊球線路相垂直的軸為左右軸(橫軸)，從左向右看，逆時針旋轉(zhuǎn)為上旋球，順時針旋轉(zhuǎn)為下旋球；通過球心和擊球線路相平行的軸為前后軸(縱軸)，從后往前看，逆時針旋轉(zhuǎn)為逆旋球，順時針旋轉(zhuǎn)為順旋球。

圖1 乒乓球的3條基本轉(zhuǎn)軸

乒乓球運動過程中的受力主要來自與球拍或球臺的觸碰過程以及飛行過程。乒乓球飛出的角度隨來球速度、接球角度及受力情況等因素變化，下面討論發(fā)球者的球拍對球的撞擊力為前后軸方向，擋球者沿來球方向平擋時乒乓球的運動情況。

1.1 側旋球

發(fā)左側旋球，球拍從球的后面給球向左的摩擦力必不可少，根據(jù)質(zhì)心運動定理，初速度對發(fā)球者來說一定偏左。球在飛行期間，球的左沿氣流與迎面氣流方向相反，流速減慢，右沿氣流和迎面氣流方向相同，其流速加快。根據(jù)伯努利方程，流速越慢，壓強越大；流速越快，壓強越小。球的左沿空氣壓強大，右沿空氣壓強小，空氣給球一個向右的空氣壓力，這種橫向的力也稱為馬格努斯力[5]。忽略重力作用，以初速度向左飛出的乒乓球，在飛行中受到方向恒向右的力，這與斜向上拋手榴彈，飛行中只受到向下重力作用相似，類比斜上拋運動的軌跡，左側旋球在球臺上的飛行軌跡投影為順時針飛行弧線。同理，右側旋球初速度偏右，在飛行中受到方向恒向左的馬格努斯力，飛行軌跡在球臺上的投影為逆時針飛行弧線。側旋球水平方向的飛行弧線及受力分析如圖2所示。

圖2 側旋乒乓球受力分析及飛行弧線俯視圖

從上面的分析中，可以發(fā)現(xiàn)馬格努斯力并不是軌跡產(chǎn)生“初始偏移”的原因，比如右側旋球從右方飛出，是因為初速度有向右的分量，所以初速度才是產(chǎn)生“初始偏移”的原因。馬格努斯力方向向左，反而是使之“回旋”的原因。

網(wǎng)球中2013法網(wǎng)費德勒擊出“回旋蛇球”，球從球場外繞回對方場地內(nèi)；足球中的“香蕉球”，球繞過人墻眼看要飛出場外又拐回來直撲球門，原理都與側旋乒乓球一樣。

平擋左側旋球，球給拍面一個向右的摩擦力，拍面給球體大小相等、方向相反的摩擦反作用力，球向左方反彈。右側旋球反之，觸拍后球向右方反彈。

1.2 順、逆旋球

要產(chǎn)生順旋球，拍面要從球的下面給球一個向左的摩擦力，根據(jù)質(zhì)心運動定理，順旋球的初速度會偏左，同理，逆旋球初速度偏右?？罩酗w行時，旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的氣流與球四周的空氣阻力都垂直，所以旋轉(zhuǎn)對飛行弧線影響不大。

順旋球著臺時，球給臺面一個向左的摩擦力，臺面給球一個向右的反作用力，但是由于發(fā)球時球具有向左的初速度，所以雖然球受到向右的力，球不一定是第一次觸臺就向右側彈起，如果不擋球只觀察發(fā)球，可能n次觸臺后才向左側彈起。同理，逆旋球也可能幾次觸臺后才向右側彈起。圖3是順、逆旋乒乓球飛行弧線及受力分析圖，圖中“路線一”是觸臺一次后拐彎的情形，“路線二”是觸臺二次后拐彎的情形。乒乓球觸臺兩次時接球者需回球，通常接球者從后往前揮拍，如果逆旋球在觸臺兩次時拐彎，球向外側彈起，預判不好容易漏球，感覺球好像不見了，網(wǎng)球中“消失的發(fā)球”應該是這種情形，即以逆旋轉(zhuǎn)為主。

順、逆旋球沿來球方向平擋，觸拍后的反彈方向變化不明顯。

圖3 順、逆旋乒乓球受力分析及飛行弧線俯視圖

圖4 乒乓球初速度相同時受力分析及飛行弧線側視圖

1. 3 上、下旋球

下旋球在飛行期間，下沿氣流與迎面氣流方向相反，流速減慢，上沿氣流和迎面氣流方向相同，其流速加快，根據(jù)伯努利方程，空氣給球一個向上的馬格努斯力。反之，上旋球受到向下的馬格努斯力，如圖4中所示。對于上、下旋球，主要討論還擊球的弧線。

如果上旋、不轉(zhuǎn)、下旋3種球的初速度水平分量相同，那么落點的遠近則與飛行時間成正比。假設這3種球的速度大小和方向都相同，則可忽略初速度對飛行時間的影響，上旋球由于受到向下的馬格努斯力縮短飛行時間，與不轉(zhuǎn)球相比，飛行曲線彎曲度大[6]，弧高要低，落點近。下旋球受到向上的馬格努斯力，延長飛行時間，曲線平緩，弧高要高，落點遠。如圖4中所示。

上旋球著臺時，球給臺面一個向后的摩擦力，臺面給球一個大小相同、方向向前的摩擦力，從而使球反彈時，與臺面法線方向夾角增大，前進速度加快。下旋球反之，速度減慢，與臺面法線方向夾角減小，甚至出現(xiàn)回跳現(xiàn)象。如圖4中所示。特殊情況：如果下旋產(chǎn)生的升力和重力相當或大于重力，那么觸臺后球彈起不明顯，且受到向后的摩擦力。球不彈起，對于必須著臺后才回擊的乒乓球來說基本無解，但這種發(fā)球出現(xiàn)概率比較低，在乒乓球中經(jīng)常稱為發(fā)球得分的“運氣球”，在網(wǎng)球中稱為“零式發(fā)球”，因為網(wǎng)球和地面摩擦力大，抓地能力強，受到向后的摩擦力，球還可能會朝網(wǎng)的方向滾動。

上旋球觸及平擋拍面時，給拍面一個向下的摩擦力，拍面給球一個向上的摩擦反作用力，從而使球向上方反彈。下旋球反之，向下方反彈。如圖4中所示。

將初速度水平分量相同的上、下旋球與不轉(zhuǎn)球進行對比，考慮到初速度的影響：向上的初速度分量延長飛行時間；向下的初速度分量縮短飛行時間。初速度和旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響互相制約，則可能出現(xiàn)任意遠近的落點，分別考慮初速度和上、下旋結合的4種球。

初速度向上和下旋都是增加球的飛行時間的因素，所以初速度向上的下旋球比不轉(zhuǎn)球落點遠。比如高爾夫球，能打到200米開外[7]。乒乓球削球時，“兜”起球的這個動作和高爾夫的揮拍相似，削球一般球速慢[8]，飛行弧線長；反之，初速度向下和上旋都是縮短球的飛行時間的因素，因此初速度向下的上旋球和不轉(zhuǎn)球相比落點近。這兩種情形的落點遠近與圖4中類似。

將初速度向上的上旋球和初速度向下的下旋球進行對比，初速度的水平分量相等時，分析兩種情形，第一種，初速度對飛行時間的影響力大于馬格努斯力時，則上旋球的落點遠。打球時，人們感覺上旋球容易出界，下旋球容易落網(wǎng)，則是這種情形。如圖5(a)所示；第二種，馬格努斯力的影響大于初速度時,則下旋球的落點遠，如圖5(b)所示。兩種情形的共同點：由于受到向下的馬格努斯力，上旋球的曲線彎曲度大；反之下旋球平緩。

圖5 初速度水平分量相同時乒乓球可能的飛行弧線對比

足球中的“電梯球”，人們感覺像是球迅速升到六樓后，又急速地降到一樓。馮等研究“電梯球”，主要研究下旋球受到升力的變化規(guī)律[9]。筆者認為“電梯球”的初始飛行軌跡迅速上升，并不是受到升力，而是球初速度具有向上的分量。和普通不轉(zhuǎn)球相比，反而是受到了向下的馬格努斯力，因此，球的下墜速度會加快，人們感覺像是坐電梯一樣。這也比較符合意大利教練安切洛蒂的描述：“球剛發(fā)出的時候有弧線，但到了中途下墜得特別快，整個弧線都不高?！睆澢却蟮「卟⒉桓?，正是上旋球受到向下馬格努斯力的表現(xiàn)。而人們還描述“電梯球”飛行過程中基本不自身旋轉(zhuǎn)，一方面，應該是對比“香蕉球”，沒有側旋，在水平方向上沒有拐彎；另一方面，如果把足球看作質(zhì)點，它上升到最高點的時間和自旋的周期相比擬，自旋可能被忽略了[10]。綜上所述筆者認為“電梯球”應該是上旋球，飛行弧線參看圖5(b)中的上旋球軌跡。

2 實例分析

以“金左腳”卡洛斯1997年經(jīng)典“香蕉球”為例?？紤]到卡洛斯踢該球時的發(fā)力：“我罰定位球時總是踢球的氣嘴，因為那是球最硬的部位，你更能發(fā)力。我總是從左下角往右上角踢，這樣踢出的球更有弧度?！币簿褪强逅固咴撉虿粌H有側旋，還有上旋。

設置題目如下: 已知1997年卡洛斯踢出經(jīng)典“香蕉球”時，足球距離球門40米，進球時間大約2秒，豎直方向高度參照球門高度2.44米，該球最高點大約為2米，近似卡洛斯踢該球初速度和3個軸的夾角都相同，且上旋成分和側旋成分一樣，也就是因側旋和上旋產(chǎn)生的馬格努斯力大小一樣。僅考慮重力和因球旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的馬格努斯力，(1)求該球在水平方向的最大偏移量；(2)僅考慮足球在水平方向上的分運動，按足球質(zhì)量為M=0.44kg、半徑R=0.11m、空氣密度為ρ=1.29kg/m3，求該球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度ω是多少。

(1) 設水平向右為x軸方向，受到向左的馬格努斯力，馬格努斯力產(chǎn)生的加速度大小用a表示，前進方向為y軸方向不受力，保持勻速運動，向上為z軸方向，受到向下的重力和馬格努斯力(和水平方向受到的馬格努斯力大小一樣)，則可得

對速度積分可得運動學方程為

根據(jù)球離球門40m，進球時間大約2s，初速度和3個軸的夾角相同，可得

vx0=vy0=vz0=20m/s

vx=0時，可得到水平面最大偏移量的時間：

a=90m/s2

馬格努斯力產(chǎn)生的加速度a大概為9個重力加速度。

卡洛斯踢出的“香蕉球”如果上旋成分和側旋成分一樣，則到達最高點的時間要早于水平方向最大偏移的時間；z軸方向最高點小于水平方向最大偏移量。與實際觀察結果非常吻合。

(2) 根據(jù)同一高度的伯努利方程，該球左側壓強p1和速度v1與右側的壓強p2和速度v2滿足下式：

且v1=vxy+ωR，v2=vxy-ωR

氣流對球的側向壓力為

補充說明: 近似處理法是物理學研究的基本思想方法之一，可以突出主要因素，簡化物理過程。根據(jù)前面受力分析，在水平面內(nèi)，橫向的馬格努斯力始終與速度方向垂直，就像帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)，所以足球軌跡水平面內(nèi)投影更接近圓周運動，雖然卡洛斯的這個進球已經(jīng)是難得一見，但是也不排除，在未來的某一場比賽中，旋轉(zhuǎn)的足球可能像回旋鏢一樣飛回踢球者身邊。但是考慮到重力作用，足球通常只完成部分圓弧就落地了，當我們分析很大一個圓中的一小段弧線，可以把半徑方向近似于垂直弧線方向，所以題(1)的分析中是把變力等效成恒力來求解的：把在水平面上馬格努斯力近似恒為向左；豎直方向的馬格努斯力近似恒為向下。

3 結論

(1) 球的自旋與初始速度存在著必然的聯(lián)系。側旋球的空中飛行過程中，因旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的馬格努斯力并不是飛行軌跡產(chǎn)生“初始偏移”的原因，初速度才是，馬格努斯力反而是使之“回旋”的原因。順、逆旋球在觸臺時，拐彎時機與初速度有關。上、下旋球的落點遠近也與初速度有關。所以初速度是分析旋轉(zhuǎn)球飛行曲線的不可或缺的因素。

(2) 足球中的“香蕉球”(網(wǎng)球中的“蛇球”)以側旋為主，“消失的發(fā)球”以逆旋為主。“電梯球”以上旋為主，“零式發(fā)球”以下旋為主。

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ANALYSIS OF THE FORCE AND THE FLYING ROUTE OF ROTATING BALLS WITH TABLE TENNIS AS AN EXAMPLE

Zhao Lite Fan Donghua Chen Yizhan

(School of Applied Physics and Materials, Wuyi University, Jiangmen Guangdong 529020)

It is helpful to improve the students' interest in learning physics to explore some interesting physical phenomena in sports. In this paper, six kinds of basic rotations and flying routes of table tennis are analyzed in detail by the basic laws of mechanics. The influence of initial velocity on flight route is discussed. Then, some interesting phenomena in the other ball games are discussed. For instance, the “snake ball” (“banana ball”) is mainly sidespin, the “disappeared serve” is mainly counterclockwise spin, the “l(fā)ift ball” is mainly topspin, and the “zero serve” is mainly backspin. Detailed analysis of Roberto Carlos's banana free kick in 1997 was calculated and the quantitative results are given for the offset distance and angular velocity horizontally.

table tennis; rotation; banana ball; snake ball; lift ball; zero serve; disappeared serve; Magnus force

2016-04-20；

2016-11-21

廣東省協(xié)同創(chuàng)新與平臺環(huán)境建設專項資金項目資助(2014A070711024)；五邑大學校級教學質(zhì)量工程項目資助(JG2014014)；五邑大學青年基金項目(2015zk13)；廣東省高校創(chuàng)新團隊項目資助(2015KCXTD027)。

趙麗特，女，講師，主要從事物理教學科研工作，研究方向為物理教育和功能薄膜材料，zhaolite@126.com。

趙麗特，范東華，陳毅湛. 以乒乓球為例分析旋轉(zhuǎn)球的受力及飛行軌跡[J]. 物理與工程，2017，27(2)：56-60,76.