平行四邊形面積教學(xué)以數(shù)學(xué)臆測活動引發(fā)小學(xué)生論證初探

鄧瑩源

摘 要：數(shù)學(xué)臆測是一種從提出猜想到證明猜想的循環(huán)歷程，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)來講，數(shù)學(xué)臆測活動不僅是啟動學(xué)生主動思考的引擎，它還能啟動數(shù)學(xué)探究和引燃數(shù)學(xué)論證。數(shù)學(xué)臆測之后便是提出猜想。但是猜想不一定都是有效的，為了檢驗(yàn)猜想是否有效，數(shù)學(xué)論證由此產(chǎn)生，所以數(shù)學(xué)臆測是伴隨著論證發(fā)生的，兩者關(guān)系極為密切。筆者以“平行四邊形面積”一課為例，以臆測活動進(jìn)行教學(xué)，實(shí)踐證明引發(fā)小學(xué)生進(jìn)行論證，經(jīng)歷主動學(xué)習(xí)的可行性。

關(guān)鍵詞：平行四邊形面積；教學(xué)；數(shù)學(xué)臆測；論證

一、背景和研究價(jià)值

“平行四邊形面積”是最基本的圖形面積計(jì)算之一，在幾何學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。“平行四邊形面積”是小學(xué)生學(xué)習(xí)三角形面積、梯形面積和其他組合圖形面積的重要基礎(chǔ)，在三角形面積和梯形面積的推導(dǎo)過程中具有非常重要的作用和價(jià)值。同時(shí)“平行四邊形面積”也是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容之一。但是我們發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際的教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)存在一些困惑：

1. 平行四邊形的面積為什么一定是“底×高”呢？

2. 既然在進(jìn)行公式推導(dǎo)的過程中是將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形進(jìn)行推導(dǎo)的，那么，平行四邊形的底與長方形的長是相等的，但平行四邊形的高與長方形的寬是否相等？為什么不相等呢？

而如果教師在課堂教學(xué)中能引導(dǎo)學(xué)生先對平行四邊形的面積進(jìn)行猜想，繼而鼓勵(lì)學(xué)生自己去驗(yàn)證猜想，得出正例或反例，再引導(dǎo)學(xué)生再次猜想、驗(yàn)證，最終形成結(jié)論，這樣就能很好地解決學(xué)生的困惑。而這個(gè)過程，我們認(rèn)為它就是一個(gè)很好的以數(shù)學(xué)臆測活動引發(fā)學(xué)生論證主動學(xué)習(xí)的過程。

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)來講，數(shù)學(xué)臆測活動不僅是啟動學(xué)生主動思考的引擎，它也能啟動數(shù)學(xué)探究和引燃數(shù)學(xué)論證。數(shù)學(xué)臆測之后便是提出猜想，但是猜想不一定都是有效的，為了檢驗(yàn)猜想是否有效，數(shù)學(xué)論證隨之產(chǎn)生，所以數(shù)學(xué)臆測是伴隨著論證發(fā)生的，兩者關(guān)系極為密切。依據(jù)Stylianides（2007）提出證明是一種論證，論證包含三個(gè)元素：一組敘述、論證方法（如演繹法、數(shù)學(xué)歸納法、舉反例等）、論證方法的表征。以此觀之，數(shù)學(xué)論證需要涉及較高層次的解題歷程，故并非任何一堂數(shù)學(xué)課學(xué)生的論證都會發(fā)生，若教師能在課堂制造機(jī)會讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)臆測活動，則學(xué)生的論證歷程較有可能發(fā)生，也就是說，數(shù)學(xué)臆測可以引發(fā)數(shù)學(xué)論證，數(shù)學(xué)臆測是啟動數(shù)學(xué)論證的動力。

數(shù)學(xué)論證固然重要，但這樣的習(xí)慣與能力學(xué)生需要在何種場域培養(yǎng)呢？依據(jù)陳英娥與林福來對數(shù)學(xué)論證的研究發(fā)現(xiàn)建議：若要培養(yǎng)學(xué)生的論證能力，則需要把說理變成是一種習(xí)慣。數(shù)學(xué)論證會展現(xiàn)在教師與學(xué)生互動的數(shù)學(xué)溝通活動中。

本研究旨在通過“平行四邊面積教學(xué)”這一案例，研究以數(shù)學(xué)臆測活動來引發(fā)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)論證的可行性。

二、核心概念界定：數(shù)學(xué)臆測活動論證

（一）數(shù)學(xué)臆測活動

數(shù)學(xué)臆測是一種從提出猜想到證明猜想的循環(huán)歷程，而每個(gè)個(gè)體面對相同的任務(wù)進(jìn)行的臆測歷程會有所不同，即使相同的個(gè)體面對不同的任務(wù)所進(jìn)行的臆測歷程也會有所不同。有關(guān)形成臆測的歷程，Caadas等提出五種類型：從有限例歸納、從動態(tài)例歸納；、模擬、溯因推理和知覺為基礎(chǔ)的臆測。Caadas與Castro（2005）又將每一種類型細(xì)分成數(shù)個(gè)階段，例如以學(xué)生最常使用的從有限例歸納進(jìn)行臆測的臆測類型為例，需要經(jīng)歷七個(gè)階段：（1）觀察有限例；（2）組織有限例；（3）尋找規(guī)律或樣式；（4）形成猜想；（5）檢驗(yàn)猜想；（6）將猜想一般化；（7）證明猜想的一般化。也就是說，個(gè)體在面對任務(wù)時(shí)，第（1）階段需要從給定的一個(gè)或兩個(gè)有限例子開始進(jìn)行觀察；第（2）階段用系統(tǒng)的列舉法或使用表格將這些例子組織起來；第（3）階段從組織的資料中尋找規(guī)律性，使所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律也適用于其他沒有列出來的例子中；第（4）階段是形成猜想，是依據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律提出猜想，使得此猜想能適用于所有可能的例子中，但也仍然在存疑或不確定的狀態(tài)中；第（5）階段是檢驗(yàn)猜想，再檢驗(yàn)更多不同的例子或不同的方法，看看此猜想是否正確，但此時(shí)所提出的猜想還未推廣到一般化；第（6）階段是將所提出的猜想推廣到一般化，這個(gè)階段的猜想要排除存疑或不確定的情況，使猜想成為可接受的數(shù)學(xué)性質(zhì)；第（7）階段是要證明猜想的一般化，這個(gè)階段要用合理的數(shù)學(xué)知識來解釋或證明此猜想，以取信他人。

由于本研究的目的是要通過數(shù)學(xué)臆測來引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)論證，所以Caadas與Castro所提出的從有限例歸納進(jìn)行臆測的臆測類型及臆測歷程，將作為本研究用來協(xié)助教師設(shè)計(jì)臆測任務(wù)的基本要素，將數(shù)學(xué)臆測融入于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)論證。并非所有的數(shù)學(xué)任務(wù)都能導(dǎo)向數(shù)學(xué)臆測，由于本文數(shù)學(xué)臆測任務(wù)的使用對象是三年級學(xué)生，他們是第一次接觸數(shù)學(xué)臆測教學(xué)活動，而且他們的數(shù)學(xué)知識體發(fā)展還不夠豐富，因此教師在設(shè)計(jì)該任務(wù)時(shí)，并不考慮納入最后兩個(gè)階段：將猜想一般化及證明猜想的一般化。

（二）論證

依偉氏字典定義，論證是一些邏輯相關(guān)的論述。Toulmin（1958）將論證解釋為從已知數(shù)據(jù)推演到結(jié)論的過程中用來支持結(jié)論的證據(jù)，這些證據(jù)可能是一些推理規(guī)則或數(shù)學(xué)原理或定理，但不一定是演繹的。有些學(xué)者將數(shù)學(xué)論證分為兩個(gè)層面：論證的過程及論證的成果。論證的過程是產(chǎn)生一個(gè)邏輯相關(guān)的對話過程，而論證的成果是討論過程所產(chǎn)生的論述。說出或?qū)懴碌臄⑹?，可能是歸納，也可能是演繹、模擬、溯因（abduction）或其他推理。雖然對于數(shù)學(xué)論證的定義，各學(xué)者之間有不同的說法，但仍有其共通點(diǎn)：論證是支持或反對一個(gè)命題或意見的理由，它可以是語言文字、數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)或圖畫的形式。數(shù)學(xué)論證活動涉及證明與反駁的過程，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要意義。本研究所界定的數(shù)學(xué)論證是在課堂中進(jìn)行數(shù)學(xué)臆測教學(xué)活動脈絡(luò)下產(chǎn)生的，故它是數(shù)學(xué)臆測的一部分，數(shù)學(xué)論證在本研究中被定義為從建立數(shù)據(jù)、建立證據(jù)到作為形成論述或檢驗(yàn)論述的證據(jù)或依據(jù)，以支持結(jié)論的過程。

數(shù)學(xué)教育的研究經(jīng)常將論證和證明連接在一起，Douek（1999）將證明視為論證的一種。Krummheuer（2007）認(rèn)為證明通常是屬于個(gè)人的數(shù)學(xué)活動，但數(shù)學(xué)論證是一種社會化的過程，所以論證不被視為是用來促成或阻礙證明的學(xué)習(xí)，而是被視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。有關(guān)論證活動的發(fā)展，Douek和同事將其分為六個(gè)階段：進(jìn)行猜測，形成敘述，效化猜想，將前后連貫具有理論性的論述串成一個(gè)演繹煉，將這些論述煉組織成一個(gè)可接受的證明，最后是朝向形式化的證明。

依據(jù)Boero等提出論證活動發(fā)展的階段，論證的產(chǎn)生也始于臆測活動，似乎也將論證視為社會化的過程，是數(shù)學(xué)活動的一部分，包含形式化的證明?；诖?，本研究將數(shù)學(xué)論證視為一種社會化過程，若要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)論證，則需要教師在課堂中制造讓學(xué)生和教師互動的機(jī)會，而且借由課堂中的論證分析來了解學(xué)生的論證歷程，協(xié)助教師進(jìn)行證明或推理的教學(xué)。

三、理論基礎(chǔ)

（一）數(shù)學(xué)臆測理論

數(shù)學(xué)臆測是個(gè)體面對不確定的數(shù)學(xué)問題時(shí)，依據(jù)已知條件或知識，進(jìn)行猜測、檢驗(yàn)、相信和反駁的過程（林福來、陳英娥）。數(shù)學(xué)臆測在本研究中的意義體現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂中，建立資料是由個(gè)別或小組學(xué)生自己來完成，緊接著是由個(gè)體觀察資料尋求規(guī)律性，并提出猜想，再借由小組或全班共同檢驗(yàn)猜想的正確性，以及以不同的例子驗(yàn)證猜想的合理性的巡回歷程。

數(shù)學(xué)臆測是一種從提出猜想到證明猜想的循環(huán)歷程，而每個(gè)個(gè)體面對相同的任務(wù)進(jìn)行的臆測歷程會有所不同，即使相同的個(gè)體面對不同的任務(wù)所進(jìn)行的臆測歷程也會有所不同?，F(xiàn)有五種臆測歷程：從有限例歸納、從動態(tài)例歸納、類比、溯因推理和知覺為基礎(chǔ)的臆測。由于本研究的目的是要通過數(shù)學(xué)臆測來引發(fā)學(xué)生的心智活動，幫助學(xué)生輕松愉快地自主發(fā)現(xiàn)并理解公式，改變學(xué)生的思考方式。所以從有限歸納進(jìn)行臆測的臆測類型及臆測歷程，將作為本研究用來協(xié)助教師設(shè)計(jì)并教學(xué)的基本要素。

本研究中的數(shù)學(xué)臆測活動任務(wù)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)也是依據(jù)的林福來教授的數(shù)學(xué)臆測活動的四個(gè)設(shè)計(jì)原則。原則一：教師要提供機(jī)會讓學(xué)生進(jìn)行目標(biāo)導(dǎo)向的觀察以促成數(shù)學(xué)臆測，“觀察”設(shè)計(jì)原則是教師要提供機(jī)會讓學(xué)生有目的或系統(tǒng)地觀察有限例，以幫助學(xué)生能將發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系推廣到一般化。原則二：教師要提供機(jī)會讓學(xué)生進(jìn)行有意義的建構(gòu)以促成數(shù)學(xué)臆測，“建構(gòu)”設(shè)計(jì)原則是教師需要鼓勵(lì)學(xué)生依據(jù)能通往臆測的先備知識建構(gòu)新知識。原則三：教師要提供機(jī)會讓學(xué)生進(jìn)行先備知識的轉(zhuǎn)換以促成數(shù)學(xué)臆測，“轉(zhuǎn)換”設(shè)計(jì)原則是教師需要提供機(jī)會讓學(xué)生進(jìn)行算法或公式的轉(zhuǎn)換，以產(chǎn)生數(shù)學(xué)臆測。原則四：教師要提供機(jī)會讓學(xué)生進(jìn)行反思以促成數(shù)學(xué)臆測。由于學(xué)生在轉(zhuǎn)換的過程中可能導(dǎo)致不正確或無意義的敘述或猜想，因此“反思”的設(shè)計(jì)原則是必要的。

（二）林福來提出的小學(xué)生數(shù)學(xué)論證理論

五種推理方式以及演繹推理法是數(shù)學(xué)論證學(xué)習(xí)過程貢獻(xiàn)于學(xué)生發(fā)展思考方法的主要內(nèi)涵，這五種推理方式為：

1. 根據(jù)有限例子歸納推理。

2. 觀察動態(tài)例子，歸納其不變性。

3. 類比推理：根據(jù)對物件間對應(yīng)結(jié)構(gòu)的相似性的感知與建構(gòu)進(jìn)行推理。

4. 溯因推理：觀察到結(jié)論性的現(xiàn)象，追溯成因。

5. 圖像推理：根據(jù)具體圖像，或直觀性或直覺性來推論。

（三）Duval提出的幾何學(xué)習(xí)四種理解：直覺性理解、序列性理解、操作性理解和論述性理解

Duval理論與范希禮理論的區(qū)別在于，范希禮的幾何思維水平研究的重點(diǎn)在于建構(gòu)幾何系統(tǒng)的邏輯順序，而Duval理論側(cè)重于結(jié)合問題的理解過程，特別是如何由幾何圖形的呈現(xiàn)到幾何推理與證明，為幾何問題的解決提供了理論依據(jù)。

四、研究的主要內(nèi)容及研究框架

（一）研究的主要內(nèi)容

1. 對平行四邊形的面積進(jìn)行教材分析，提出教材中可融入臆測活動來實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)建構(gòu)知識模型的臆測任務(wù)。

2. 根據(jù)Caadas與Castro（2005）的臆測七個(gè)階段來設(shè)計(jì)出具有數(shù)學(xué)臆測本質(zhì)的任務(wù)。

3. 通過課堂教學(xué)實(shí)踐，檢測、總結(jié)、歸納以數(shù)學(xué)臆測活動引發(fā)小學(xué)生論證的可行性。

（二）研究框架

框架如圖2所示。

五、研究結(jié)果與啟示

（一）研究結(jié)果

在該任務(wù)的臆測活動中，五年級學(xué)生經(jīng)歷了五個(gè)臆測歷程：造例子及組織例子、觀察例子并尋求規(guī)律性、形成并提出猜想、驗(yàn)證猜想。實(shí)踐教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)臆測任務(wù)嘗試提供給學(xué)生的臆測歷程的每個(gè)階段都是先由個(gè)別學(xué)生，再到小組，最后到全班的檢驗(yàn)。因?yàn)槊總€(gè)環(huán)節(jié)的檢驗(yàn)都需要學(xué)生說服他人，論證由此產(chǎn)生，因而有個(gè)人的論證、小組的論證和全班的論證。我們發(fā)現(xiàn)，通過數(shù)學(xué)臆測活動引發(fā)學(xué)生論證具有5個(gè)特質(zhì)：

1. 通過臆測活動產(chǎn)生的每個(gè)論證（數(shù)學(xué)性質(zhì)）是經(jīng)過個(gè)人、小組，再到全班三個(gè)層級不斷論辯，經(jīng)過初始的猜想到最后得到穩(wěn)定的數(shù)學(xué)性質(zhì)。

2. 人數(shù)越少論證結(jié)構(gòu)越簡單。因?yàn)樾〗M人數(shù)只有4人，小組內(nèi)的論證結(jié)構(gòu)較為簡單，而因全班學(xué)生加上老師共51人，所以全班的論證人數(shù)較多，論證歷程較長也較為復(fù)雜。雖然越長或越復(fù)雜的論證并不見得品質(zhì)越好，但師生互動卻比較多。

3. 該任務(wù)下有關(guān)平行四邊的面積不是相鄰邊相乘而是底乘高的論證歷程，該五年級實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生第一次接受數(shù)學(xué)臆測活動，所展現(xiàn)的臆測都集中在Caadas與Castro所提出的從有限個(gè)例子歸納進(jìn)行臆測的臆測類型。

4. 該五年級實(shí)驗(yàn)班學(xué)生展現(xiàn)了Caadas與Castro七個(gè)階段的臆測認(rèn)知?dú)v程的前5個(gè)階段，但是沒有展現(xiàn)出后面的兩個(gè)階段：將猜想推廣到一般化及證明猜想一般化。其理由為：五年級學(xué)生第一次體驗(yàn)臆測融入教學(xué)，且他們的數(shù)學(xué)知識還不夠豐富。我們在今后的教學(xué)中會繼續(xù)進(jìn)行將猜想推廣到一般化及證明猜想一般化的活動。

5. 通過數(shù)學(xué)臆測活動引發(fā)學(xué)生論證，在論證過程中能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。通過實(shí)驗(yàn)，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)臆測活動能融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生能展現(xiàn)出數(shù)學(xué)論證的樣貌，也能在課堂上積極參與；我們認(rèn)為數(shù)學(xué)臆測確實(shí)能點(diǎn)燃學(xué)生的數(shù)學(xué)論證，也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正地發(fā)生了。但目前僅通過這一節(jié)課，我們暫時(shí)也無法回答有關(guān)數(shù)學(xué)臆測任務(wù)對學(xué)生論證品質(zhì)有多大影響的問題。

（二）研究啟示

本研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)論證確實(shí)在實(shí)驗(yàn)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)臆測任務(wù)的數(shù)學(xué)課堂中發(fā)生了。數(shù)學(xué)臆測引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)論證，兩者的關(guān)系圖如圖3所示：

圖3包含了兩個(gè)圓和一個(gè)長方形，長方形在圓形的最里面，外面緊接一個(gè)內(nèi)圓和一個(gè)外圓。圓形表示數(shù)學(xué)臆測元素和數(shù)學(xué)論證元素，長方形表示促進(jìn)數(shù)學(xué)臆測活動進(jìn)行的關(guān)鍵性角色。最里面的長方形表示在數(shù)學(xué)課堂內(nèi)促進(jìn)臆測活動引發(fā)數(shù)學(xué)論證發(fā)生的重要的關(guān)鍵性角色，包含任務(wù)本身、數(shù)學(xué)臆測活動內(nèi)容、學(xué)生的數(shù)學(xué)已有知識及教師的介入。內(nèi)圓陰影是數(shù)學(xué)臆測歷程的5個(gè)歷程：造例子、組織例子、觀察和尋找規(guī)律性、形成并提出猜想、檢驗(yàn)猜想。箭頭向外，象征著數(shù)學(xué)臆測活動啟動了在外圓的數(shù)學(xué)論證。數(shù)學(xué)論證的基本元素包含建立資料、建立證據(jù)、提出或形成論述、提出論證依據(jù)及結(jié)論，它們分別以方形表示。數(shù)學(xué)臆測活動的前兩個(gè)歷程：造例子和組織例子，是為了建立資料，作為提出論述的準(zhǔn)備。臆測活動的第三、第四個(gè)歷程：觀察尋求規(guī)律及提出猜想，是為了形成論證活動中似真但還不確定的論述。臆測活動的第五個(gè)歷程是啟動個(gè)別學(xué)生或小組或全班需要提出論證依據(jù)來捍衛(wèi)自己所提出的論述，其他學(xué)生也可能舉出例子來反駁似真的論述，最后經(jīng)過全班學(xué)生共同檢驗(yàn)論述，得到一個(gè)或多個(gè)結(jié)論。