既有橋梁車(chē)輛荷載行進(jìn)過(guò)程數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

葉際斌

(深圳市市政設(shè)計(jì)研究院有限公司， 廣東 深圳 518028)

既有橋梁車(chē)輛荷載行進(jìn)過(guò)程數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

葉際斌

(深圳市市政設(shè)計(jì)研究院有限公司， 廣東 深圳 518028)

根據(jù)我國(guó)現(xiàn)有的車(chē)輛荷載樣本模型，考慮在不同運(yùn)行狀態(tài)下車(chē)輛荷載出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，提出n輛車(chē)行進(jìn)于橋梁上并且連續(xù)到達(dá)的概率密度函數(shù)的通用表達(dá)式及解析表達(dá)式。解析表達(dá)式可避免通用表達(dá)式繁瑣的數(shù)值計(jì)算，為確定橋上最大可能車(chē)輛數(shù)提供便利。

既有橋梁； 車(chē)輛荷載； 數(shù)值模擬； 截口分布； 卷積積分； 伽馬分布

車(chē)輛荷載是橋梁結(jié)構(gòu)所承受各種荷載中最重要的一種。車(chē)輛荷載的隨機(jī)性給其預(yù)測(cè)帶來(lái)了不確定性。李廣慧等[1]通過(guò)分析英國(guó)交通實(shí)驗(yàn)室實(shí)測(cè)WIM數(shù)據(jù)，得到多輛卡車(chē)同時(shí)出現(xiàn)于橋上的概率分布。王磊等[2]利用我國(guó)既有的車(chē)輛荷載統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，采用卷積方法確定了n輛連續(xù)到達(dá)不同車(chē)輛的概率密度函數(shù)的一般表達(dá)式。本文結(jié)合車(chē)輛運(yùn)行狀態(tài)時(shí)間間距的截口概率分布形式，給出了n輛連續(xù)到達(dá)不同車(chē)輛的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式。同時(shí)推導(dǎo)了基于車(chē)輛間距的n輛連續(xù)到達(dá)不同車(chē)輛的概率密度函數(shù)的一般表達(dá)式，實(shí)例表明，該計(jì)算模型適用于任何跨徑的橋梁。

1 車(chē)輛荷載概率分布模型

我國(guó)“公路橋梁車(chē)輛荷載研究”課題組[3]為完善現(xiàn)階段國(guó)內(nèi)車(chē)輛荷載的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，分別在國(guó)內(nèi)具有代表性的4條國(guó)道上設(shè)置車(chē)輛動(dòng)態(tài)測(cè)試儀，并于各道路重點(diǎn)采集其中某一主要行車(chē)道上交通流的車(chē)輛荷載數(shù)據(jù)。

利用K-S檢驗(yàn)法按伽馬、極值I型、威布爾、正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)5種分布類(lèi)型分別對(duì)車(chē)輛荷載各數(shù)據(jù)集(車(chē)重、軸重、車(chē)間距等)進(jìn)行分布擬合檢驗(yàn)，并由極大似然估計(jì)法給出各種分布參數(shù)。經(jīng)分析，可認(rèn)為公路橋梁車(chē)輛荷載的基本分布類(lèi)型為對(duì)數(shù)正態(tài)分布和伽馬分布，如表1。

表1 車(chē)輛荷載截口概率分布及其參數(shù)

Tab.1 Vehicle loading truncated probability distribution and its parameters

車(chē)輛荷載分布類(lèi)型μ＾σ＾一般運(yùn)行狀態(tài)車(chē)間距/m對(duì)數(shù)正態(tài)4．81771．1158一般運(yùn)行狀態(tài)時(shí)間間距/s伽馬0．90430．0395密集運(yùn)行狀態(tài)車(chē)間距/m對(duì)數(shù)正態(tài)1．56120．2797密集運(yùn)行狀態(tài)時(shí)間間距/s伽馬12．90737．2358

2 車(chē)輛荷載概率分布函數(shù)性質(zhì)

2.1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)變量X的對(duì)數(shù)服從均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，則稱(chēng)其服從參數(shù)為μ和σ的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即如果X=eY，其中Y～N(μ,σ2)。此時(shí)X的概率密度函數(shù)為：

(1)

記作X～lnN(μ,σ)，μ和σ分別是lnX的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。其分布函數(shù)為：

(2)

2.2 伽馬分布

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為式(3)，則稱(chēng)X服從Γ(Gamma)分布，記為X～Γ(α,β)。通常稱(chēng)α為形狀參數(shù)，β為尺度參數(shù)。其分布函數(shù)為式(4)。

(3)

(4)

3 車(chē)輛進(jìn)行過(guò)程數(shù)學(xué)模型

3.1 車(chē)輛跟車(chē)模型

車(chē)輛荷載有很強(qiáng)的不確定性，為方便對(duì)車(chē)輛行進(jìn)過(guò)程數(shù)學(xué)建模，合理地簡(jiǎn)化了車(chē)輛形式，并且從眾多影響車(chē)輛荷載模型的參數(shù)中選擇能較準(zhǔn)確描述不同車(chē)輛連續(xù)到達(dá)過(guò)程的幾個(gè)參數(shù)，對(duì)這些參數(shù)時(shí)點(diǎn)變化過(guò)程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，如圖1所示。

圖1 車(chē)輛進(jìn)行過(guò)程示意圖Fig.1 Vehicles pass a bridge in succession

3.2 基本假設(shè)

由于車(chē)輛荷載的隨機(jī)性及復(fù)雜性，在推導(dǎo)n輛車(chē)連續(xù)到達(dá)的概率密度函數(shù)前，需要做一些合理的假設(shè)：

1)橋梁上的車(chē)輛為勻速行駛；

2)橋梁上的車(chē)輛不發(fā)生堵車(chē)現(xiàn)象，即認(rèn)為車(chē)輛是按各自要求行駛于橋梁的隨機(jī)過(guò)程；

3)以下討論均基于單車(chē)道，并且認(rèn)為行駛于某一車(chē)道上的車(chē)輛不與臨近車(chē)道發(fā)生關(guān)系，即單車(chē)道的獨(dú)立性；

4)任意兩個(gè)連續(xù)到達(dá)車(chē)輛互不影響，即車(chē)輛本身相互獨(dú)立。

基于以上4點(diǎn)假設(shè)，便可推導(dǎo)不同連續(xù)到達(dá)的車(chē)輛間距的分布密度函數(shù)。

3.3 基于車(chē)輛時(shí)間間距的數(shù)學(xué)模型

由表1可知，連續(xù)到達(dá)的兩輛車(chē)之間的時(shí)間間隔不管是在一般運(yùn)行狀態(tài)還是密集運(yùn)行狀態(tài)，它們都服從伽馬分布，只是分布參數(shù)有所不同。

根據(jù)假設(shè)條件，車(chē)速v為定值，因此兩連續(xù)到達(dá)的車(chē)輛車(chē)間距d=vt，式中t為兩車(chē)時(shí)間間距，服從伽馬分布，由伽馬分布性質(zhì)易得兩連續(xù)到達(dá)車(chē)輛車(chē)間距d的概率密度函數(shù)：

(5)

在車(chē)輛進(jìn)行過(guò)程模型中，設(shè)第1輛車(chē)前軸到第3輛車(chē)前軸的距離為d3，其概率密度函數(shù)可由已知d的概率密度函數(shù)通過(guò)卷積積分得到：

(6)

(7)

同理，可設(shè)第1輛車(chē)前軸至第4輛車(chē)前軸的距離為d4，其概率密度函數(shù)可由已知的d3及d的概率密度函數(shù)通過(guò)卷積積分得到：

(8)

(9)

(10)

同時(shí)可得dn概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式：

(11)

以上求得n輛不同連續(xù)到達(dá)車(chē)輛的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式，利用式(11)容易確定在長(zhǎng)為L(zhǎng)的橋梁上最大車(chē)輛荷載數(shù)。

為解決以上不足，本文將推導(dǎo)基于車(chē)間距(前車(chē)后軸到后車(chē)前軸的距離)與車(chē)輛長(zhǎng)度的車(chē)輛荷載連續(xù)到達(dá)的數(shù)學(xué)模型。

3.4 基于車(chē)輛間距的數(shù)學(xué)模型

由表1可知，行駛于橋上的車(chē)隊(duì)，連續(xù)到達(dá)的兩輛車(chē)之間的車(chē)間距l(xiāng)(前車(chē)后軸到后車(chē)前軸的距離)不管是一般運(yùn)行狀態(tài)還是密集運(yùn)行狀態(tài)，都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，對(duì)應(yīng)不同狀態(tài)分布參數(shù)不同：

(12)

根據(jù)目前各國(guó)關(guān)于車(chē)長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)分析，認(rèn)為車(chē)長(zhǎng)x服從正態(tài)分布，分布參數(shù)為μ=4.52，σ2=0.68：

(13)

(14)

(15)

這樣就避免了勻速的假設(shè)，并且通過(guò)式(15)可計(jì)算任意跨度橋梁上行駛的最大車(chē)輛數(shù)。

4 實(shí)例分析

圖2 基于時(shí)間間距的密集運(yùn)行狀態(tài)Fig.2 Intensive running states f(dn)based on time intervals

圖3 一般運(yùn)行狀態(tài)f(dn)Fig.3 General running state

由圖2可知，當(dāng)n=11時(shí)，由式(11)計(jì)算的概率密度函數(shù)圖像出現(xiàn)突變，可見(jiàn)當(dāng)n≥11時(shí)，式(11)已不再適用。由圖3可知，當(dāng)n=9時(shí)，概率

密度函數(shù)圖在0～500 m內(nèi)基本接近于0，由此可判定，一般運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，行駛于該橋上最大可能的車(chē)輛數(shù)為8。而密集運(yùn)行狀態(tài)行駛的最大車(chē)輛數(shù)可由式(15)計(jì)算，本研究只列出部分有代表的連續(xù)到達(dá)車(chē)間分布密度圖，如圖4。

圖4 基于車(chē)間間距的密集運(yùn)行狀態(tài)f(dn)Fig.4 Intensive running states based on vehicular intervals

由圖4可知，當(dāng)n=58時(shí)，概率密度函數(shù)圖在0～500 m基本接近于0，由此可判定，密集運(yùn)行狀態(tài)時(shí)行駛于該橋上最大可能的車(chē)輛數(shù)為58。

5 結(jié)語(yǔ)

1)推導(dǎo)了基于時(shí)間間距的n輛不同連續(xù)到達(dá)車(chē)輛的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式，避免了一般表達(dá)式繁瑣的數(shù)值計(jì)算，為確定橋上最大可能車(chē)輛數(shù)提供極大便利。

2)經(jīng)分析，基于時(shí)間間距的數(shù)學(xué)模型只適用于中小跨徑橋梁，本文推導(dǎo)了基于車(chē)輛間距的n輛不同連續(xù)到達(dá)車(chē)輛的概率密度函數(shù)的一般表達(dá)式。實(shí)例表明，該計(jì)算模型適用于任何跨徑橋梁。

[1] 李廣慧，張存超，王東煒，等.高速公路橋梁活荷載參數(shù)研究[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，26(1)：20-23.

[2] 王磊，張建仁.既有公路橋梁不同車(chē)輛荷載連續(xù)到達(dá)過(guò)程模擬[J].中外公路，2008，28(2)：83-88.

[3] 公路橋梁車(chē)輛荷載研究課題組.公路橋梁車(chē)輛荷載研究[J].公路，1997(3)：8-12.

[4] 梅剛，秦權(quán)，林道錦.公路橋梁車(chē)輛荷載的雙峰分布概率模型[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，43(10)：1394-1396.

[5] 元宇，金紅亮.Rice公式外推橋梁荷載效應(yīng)[J].上海公路，2012 (1)：36-40.

[6] 楊飛.基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與CA交通流模型的橋梁汽車(chē)荷載研究[D].西安：長(zhǎng)安大學(xué)，2014.

[7] 楊澤剛.典型高速公路實(shí)際運(yùn)行車(chē)輛荷載模型研究[D].南京：東南大學(xué)，2015.

(責(zé)任編輯： 陳雯)

Construction of mathematical model for vehicles’ loaded passing existing bridge

Ye Jibin

(Shenzhen Municipal Design & Research Institute Co., Ltd, Shenzhen 518028，China)

Utilizing available vehicle load sample model in China and the statistical law of vehicle load under different operation conditions, a general expression and an analytical expression of the probability density function of the vehicles passing in succession on the bridge were presented. The simulation results indicate that the analytical expression can avoid the cumbersome numerical calculation of the general expression, and provides great convenience for determining the maximum possible number of the vehicles passing the bridge.

existing bridge； vehicular load； numerical simulation； truncated distribution； convolution integral； gamma distribution

10.3969/j.issn.1672-4348.2017.03.003

2017-03-27

福建省教育廳科技項(xiàng)目(JA10046)

葉際斌(1985-)，男，福建南平人，工程師，碩士，研究方向：車(chē)-橋耦合作用。

U441.2

A

1672-4348(2017)03-0215-04