向量函數(shù)微分的非標(biāo)準(zhǔn)定義

陳東立，史艷維，董歡歡

（1.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710055；2.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安710125）

向量函數(shù)微分的非標(biāo)準(zhǔn)定義

陳東立1，史艷維2，董歡歡1

（1.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710055；2.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安710125）

用非標(biāo)準(zhǔn)分析方法，在擴(kuò)大模型中使用轉(zhuǎn)換原理，通過(guò)定義局部線性函數(shù)，給出向量函數(shù)微分的定義.得到了向量函數(shù)微分的非標(biāo)準(zhǔn)定義與在一般意義下的定義是一致的結(jié)論，并且在此基礎(chǔ)上，給出向量函數(shù)在一點(diǎn)處可微的定義.

向量函數(shù)；局部線性映射；微分；雅克比矩陣

非標(biāo)準(zhǔn)分析是數(shù)理邏輯的一個(gè)分支，它引入了超實(shí)數(shù)，讓“真正的無(wú)窮小”存在，這些數(shù)字都比小，但比0大.A.Robinson于20世紀(jì)60年代創(chuàng)立了非標(biāo)準(zhǔn)分析，非標(biāo)準(zhǔn)分析理論因其自身的優(yōu)勢(shì)已經(jīng)得到深入研究，并已廣泛應(yīng)用于巴拿赫空間［1］、微分方程、概率論［2］、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)［3］、數(shù)學(xué)物理方程與拓?fù)鋵W(xué)［4］等眾多領(lǐng)域.

本文用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法給出向量函數(shù)微分的新定義，從而為向量函數(shù)微分的研究提供一種新的途徑.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)無(wú)限集合，U是標(biāo)準(zhǔn)全域，＊U是U的擴(kuò)大，X包含在標(biāo)準(zhǔn)全域U的個(gè)體集中，于是有X?＊X（見(jiàn)文獻(xiàn)［5］）.

設(shè)Rn為實(shí)數(shù)域R上的n維線性空間，＊Rn為Rn的擴(kuò)大，In為＊Rn的無(wú)窮小量之集.我們可以得到明顯的封閉性：

引理1［6］（1）若x，y∈In，則x＋y∈In；（2）如果x∈In，且α∈＊R是有限的，則αx∈In.

定義1 設(shè)f是一個(gè)定義域和值域分別在＊Rn和＊Rm的子集上的內(nèi)映射.如果f［In］?Im，則f被稱做局部映射.

定義2 局部映射被稱做局部線性的.如果滿足：

（1）若x，y∈In，則f（x＋y）＝f（x）＋f（y）；

（2）如果x∈In，并且α∈＊R是有限的，則f（αx）＝αf（x）.

定義3 設(shè)f，g是從In到Im的兩個(gè)映射，如果對(duì)一切的h∈In，h≠0，f，g滿足

則稱f和g等價(jià)，并且記作f～g.

引理2［6］（轉(zhuǎn)換原理） 設(shè)α是L的一個(gè)句子，則＊｜＝＊α當(dāng)且僅當(dāng)｜＝α.

引理3［6］設(shè)f是從Rn到Rm的映射，則f在x0∈Rn處是連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于一切x∈＊Rn，x≈x0蘊(yùn)涵f（x）≈f（x0）恒成立.

2 向量函數(shù)微分的非標(biāo)準(zhǔn)定義

定理1 設(shè)f是局部線性的，則存在一個(gè)唯一的＊Rn到＊Rm的內(nèi)部線性算子，使得對(duì)于一切x∈In，f（x）＝Tx，而且‖T‖是有限的.

證明 設(shè)α，β為＊R中的無(wú)窮小非零元，令x∈＊Rn使得αx，βx≈0，則

設(shè)ν為某固定的無(wú)限整數(shù)，則對(duì)一切非零的x∈＊Rn，且x≠0，有成立.定義

其中x≠0，T0＝0.

因此，‖T‖是內(nèi)的.而且，對(duì)于每個(gè)無(wú)窮小量α使得αx≈0，由（1）式得特別地，如果x∈In，對(duì)任意的α≈0，我們有，

接下來(lái)，我們驗(yàn)證T是線性的.設(shè)x，y∈＊Rn，且選取α∈＊R，使得α≈0，αx，αy≈0，則

為了驗(yàn)證唯一性，對(duì)x∈In，設(shè)f（x）＝T1x＝T2x，其中T1，T2是＊Rn上的線性算子.對(duì)任意的x∈＊Rn，

最后，假設(shè)‖T‖是無(wú)限的，則由轉(zhuǎn)換原理，對(duì)某個(gè)x∈＊Rn且‖x‖＝1，有‖Tx‖≥‖T‖－1，即‖Tx‖必須是無(wú)限的，從而

則

矛盾.

定理2 設(shè)f1，f2為局部線性映射，且設(shè)T1，T2是由定理1得到的分別關(guān)于f1，f2的內(nèi)線性算子，則f1～f2，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的x∈＊Rn，且‖x‖＝1，T1x≈T2x成立.

證明 首先對(duì)于x∈＊Rn且‖x‖＝1，設(shè)T1x≈T2x，再設(shè)u∈In，則

故f1～f2.

反之，如果f1～f2，且‖x‖＝1，則選取α≈0，且α＞0，從而有

定義4 局部線性映射f被稱做微分，如果存在一個(gè)有界線性變換T：Rn→Rm，使得對(duì)一切x∈In，有Tx＝f（x）.

定理3 如果f1，f2是兩個(gè)微分，且f1～f2，則f1＝f2.

證明 我們有標(biāo)準(zhǔn)的線性算子T1，T2，使得對(duì)于所有x≈0，有f1（x）＝T1x，f2＝T2x.由定理2對(duì)‖u‖＝1，且T1u≈T2u.對(duì)Rn中的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)u滿足‖u‖＝1，便有T1u＝T2u.故對(duì)任何的x∈Rn，如果x≠0，

最后，因?yàn)門1＝T2，所以就有f1＝f2.

定義5 設(shè)任意的映射f：Rn→Rm，且設(shè)x0∈Rn，則把由Δx0f（u）＝f（x0＋u）－f（x0）定義的In上的映射記為Δx0f.

推論1 f在點(diǎn)x0是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)Δx0f是局部映射.

定義6 設(shè)映射f：Rn→Rm，且設(shè)x0∈Rn.如果Δx0f等價(jià)于一個(gè)微分，則稱f在點(diǎn)x0是可微的.

設(shè)f為一個(gè)從Rn到Rm的任意映射，則存在一個(gè)Rn到Rm上的線性變換A，使得對(duì)x＝（x1，…，xn）T∈Rn，f（x）＝Ax.設(shè)f在點(diǎn)x0是連續(xù)的，則對(duì)所有的u＝（u1，u2，…，un）T∈In，Δx0f是局部線性映射，并且有Δx0f（u）＝f（x0＋u）－f（x0）＝A（x0＋u）－A（x0）＝A（x0）＋A（u）－A（x0）＝A（u）.

由定義4，我們只需檢驗(yàn)A是有界的，使得Δx0f（u）是一個(gè)微分.顯然，A是有界的，否則，Δx0f（u）＝A（u）將不是局部線性映射，矛盾.設(shè)A為線性變換A的關(guān)系矩陣.由定理3，存在唯一一個(gè)微分與Δx0f等價(jià).我們記為dx0f或df，且有dx0f（u）＝A（u）或df（u）＝A（u），即

其中對(duì)u＝（u1，u2，…，un）T≈0，α（u）≈0（換言之，α是局部映射）.

現(xiàn)在，我們可以發(fā)現(xiàn)，這種用非標(biāo)準(zhǔn)分析方法定義的向量函數(shù)微分與向量函數(shù)微分的一般定義是一致的，其中關(guān)系矩陣A稱為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)矩陣，有時(shí)也被稱為f的雅克比矩陣.

例1 設(shè)n＝m＝1，且f（x）＝x2，則Δx0f（x）＝（x0＋dx）2－x02＝2x0dx＋dx2.因?yàn)閐x2是比dx高階的無(wú)窮小量，即

［1］ HENSONC W，MOORE L C.Nonstandard analysis and the theory of Banach space in nonstandard analysis-recent development［J］.Lecture Notes in Athematics，1983，983：27-112.

［2］ LOEB P A.Conversion from nonstandard measure space and application to probability theory［J］.Trans Math Soc，1975，211：113-122.

［3］ 韓俊峰，韓偉.非標(biāo)準(zhǔn)分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用［J］.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，18（2）：12-15.

［4］ ALBEVERIO S，F(xiàn)ENSTAD J E.Nonstandard methods in Stochastic analysis and athematical physics［M］.New York：Academic Press，1986：36-43.

［5］ 陳東立，馬春暉，史艷維.拓?fù)涞姆菢?biāo)準(zhǔn)定義［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，36（3）：348-350.

［6］ DAVIS M.Applied nonstandard analysis［M］.New York：Wiley，1977：55-78.

Nonstandard definition of differential of vector function

CHEN Dong-li1，SHI Yan-wei2，DONG Huan-huan1
（1.School of Science，Xi'an University of Architecture and Technology，Xi'an 710055，China；2.Department of Basic Courses，Xi'an Peihua University，Xi'an 710125，China）

To define the differential of vector function by nonstandard analysis method.In the enlarged model，by transfer principle，the differential of vector function is defined with locally linear map.The nonstandard definition of differential of vector function is consistent with the general，and based on it，the definition of differentiable of vector function at a point is shown.

vector function；locally linear map；differential；Jacobian matrix

O 141.41 ［學(xué)科代碼］ 110·37

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0037-03

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.008

2013-12-23

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2007A12）；陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（2013JK0574）；西安建筑科技大學(xué)人才科技基金資助項(xiàng)目（RC1239）；西安培華學(xué)院科研項(xiàng)目（PHKT20130609）.

陳東立（1963—），男，教授，主要從事非標(biāo)準(zhǔn)分析理論研究.