抓住方程精髓 放飛數(shù)學(xué)思想

仇玉海

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們不僅需要掌握各種各樣精彩的解題方法，而且還要能把方法歸納為數(shù)學(xué)思想，明晰數(shù)學(xué)知識之間的脈絡(luò)和聯(lián)系，由此才能熟練掌握教材中所隱藏的數(shù)學(xué)解題技巧和思想方法.下面，我們舉例說說解二元一次方程組中的數(shù)學(xué)思想方法.

一、轉(zhuǎn)化思想

二元一次方程組的解法的實質(zhì)就是借助“消元”（加減消元和代入消元是兩種最常見的消元方法）的方法將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”.“轉(zhuǎn)化”思想就是將復(fù)雜的、陌生的問題遷移為簡單的、熟悉的問題進行求解，這是學(xué)習(xí)新知識、研究新問題的一種基本方法.

例1 已知2a2m-nb3與[-12ab12m+n]是同類項，求m、n的值.

【分析】同類項要求相同字母的指數(shù)相同，故有[2m-n=1，12m+n=3.]解得[m=85，n=115.]

【點評】本題運用了轉(zhuǎn)化的思想.第一，根據(jù)同類項的定義，將求解m、n的問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于m、n的二元一次方程組的問題；第二，運用“消元”的方法，將解二元一次方程組問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程問題.當(dāng)然本題還運用了方程的思想.

二、整體思想

整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養(yǎng)同學(xué)們思維的靈活性、敏捷性.

例2 解方程組[2x+3y-2=0， ①2x+3y+57-2y=9. ②]

【分析】方程①②中均含有2x+3y，可用整體思想求解.

由①得2x+3y=2，③

把③代入②得[2+57]-2y=9，解得y=-4，

再把y=-4代入①，得x=7，

所以方程組的解為[x=7，y=-4.]

【點評】我們在解題過程中經(jīng)常使用整體思想，整體思想使用得恰當(dāng)，能提高解題效率和能力，減少不必要的計算，少走彎路.

三、換元思想

換元法在初中代數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，它通過用一個字母表示一個整體進行變量替換，將形式簡化，從而達到化繁為簡，化隱為顯，化難為易的目的.

例3 解方程組[4x+y-3x-y=14，x+y2+x-y3=6.]

【分析】把方程組中的x+y與x-y進行整體換元，簡化方程組.

設(shè)[x+y2]=u，[x-y3]=v，則原方程組變?yōu)閇8u-9v=14， ①u+v=6. ②]

由①+②×9得17u=68，u=4. 將u=4代入②中得v=2.∴[x+y=8，x-y=6.]解得[x=7，y=1.]

【點評】本題借助換元的方法，將復(fù)雜的方程組轉(zhuǎn)化為簡單的方程組來解決.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學(xué)）