第二類 Volterra 積分方程符號計算設計

凌宗虎

（安徽師范大學 數(shù)理統(tǒng)計學院，安徽 蕪湖 241000）

第二類 Volterra 積分方程符號計算設計

凌宗虎

（安徽師范大學 數(shù)理統(tǒng)計學院，安徽 蕪湖 241000）

在設計的基于微積分運算的符號計算系統(tǒng)中，對于連續(xù)核、L2-核的第二類 Volterra 積分方程，設計并實現(xiàn)了計算迭核的方法，通過求其解核得到該積分方程的解析解，為機械求解弱奇性積分方程提供了求解方法。

積分方程；解核；符號計算

1 研究背景

符號計算和數(shù)值計算是兩種不同的解決科學和技術發(fā)展中問題的計算方法。數(shù)值計算方法可以求解部 分積分方 程 （組 ）的解析解[1-4]。 符 號 計 算方法 只能得到大部分問題的近似局部解或近似解，而且計算量 大且表 達 形式龐 大[5]。

對于積分方程的符號計算問題，部分符號計算軟件通過規(guī)定格式的某種方式的參數(shù)輸入，可以得到部分積分方程的解析解，如目前有代表性的通用符號計算軟件 Maxima、MATLAB、MAPLE、Mathematica 等。 部分積分方程可以使用 Laplace 變換予以求解[6-8]。

針對積分方程的符號計算求解難題，設計了以自然語言為輸入方式的、建立在基本積分和微分基礎之上的符號計算系統(tǒng)。 對于一類連續(xù)核和 L2-核的第二類 Volterra 積分方程， 設計實現(xiàn)了一種高效算法，可以以自然語言形式計算輸出該類別積分方程的解析解。

2 待求解問題的描述

第二種 Volterra 積分方程定義為[9，10]

其中 y（s）∈L2[a，b]是一個給定的函數(shù)，K（s，t）是正方形△:a≤s，t≤b 上之一連續(xù)核或者 L2-核， 且當a≤s＜t≤b 時為零，稱為 Volterra 核函數(shù)。 例如：

級數(shù)

對 任 一 復 數(shù) λ 都 幾 乎 一 致 絕 對 收 斂[10]。 該 級 數(shù)的和函數(shù) Hλ（s，t）稱為核函數(shù) K（s，t）的解核。

對于任意的連續(xù)函數(shù)或者 L2-函數(shù) y（s）和任意λ 值，方程（1）有唯一的連續(xù)解或者 L2-解：

符號計算求解過程中的難點體現(xiàn)在以下兩點。

1. 當 Volterra 核 函數(shù)具 有 某種特 殊 性質時 ，使用符號計算方法計算其各次迭核 Kn（s，t）和解核 Hλ（s，t）。

2.含參積分的符號計算，含參積分的偏微分計算，以及求解過程中積分參數(shù)的確定方法。

3 符號計算算法描述

這類積分方程的符號計算算法如下：

1.從自然語言中解析核函數(shù)以及各個變量表達式，組成一個待解集合：

{K（s，t），y（s）,{x，s,λ，a}}

2.應用含參積分的計算模塊，計算一次迭核，得到以下迭核序列：

其中 n≥2，i=1，2，…，n-1

3.應用級數(shù)和函數(shù)計算模塊，判斷所得到序列構成的級數(shù)（5）的和函數(shù)可解性，如果可以級數(shù)和函數(shù)則轉下一步，否則轉第 2步。

4.應用解核 Hλ（s,t）和 y（s），計 算原積 分方程 的解析解。

特別地，如果核函數(shù)有如下形式：

其中 ，ai（s），i=0，1,…，n-1 在[a，b]中連續(xù)。 則 解核函數(shù)計算結果如下：

求解算法中需要應用線性偏微分方程的計算模塊，以及應用線性方程組求解積分參數(shù)的模塊。

4 符號計算實例

以方程（3）為例，在本符號計算系統(tǒng)中，輸入命令為 “解方程 f （s）=e^s*sins+2*s （0,s,（2+coss）/（2+ cost）*f（t）dt）”，顯示自然表達式計算過程如下。

5 應用積分變換優(yōu)化算法

對于下列類型的第二類 Volterra 積分方程

如果 K（x）是指數(shù)階函數(shù)，則可以應用 Laplace 變換[11]簡化求解過程。具體算法如下：

1.原方程左右兩邊求 Laplace 變換。

2.利用乘法定理得到 F（P）=Y（P）+K（P）*F（P），當 K（P）≠1 時 F（P）=Y（P）/(1-K（P））。

3.利用 Laplace 反變換，得到原方程的解。

以方程（2）為例，在本符號計算系統(tǒng)中，輸入命令為“解方程 f（s）=sins+2*s（0，s，cos（s-t）*f（t）dt）”，應用 Laplace 變換求解方程（2），顯示自然表達式計算過程如下。

＞Laplace 變換：

6 計算結果分析與比較

由于含參積分以及級數(shù)斂散性判斷等解題步驟計算量大小不一，導致各個方程的計算量和計算時長有所差別。 以方程(2）、(3）和(4）為例，在同一臺計算機上運行的結果如表1所示。

結果表明：

1.含參變限積分是符號計算積分方程的主要運算，包含各種積分方法。

2.特殊形式的核函數(shù)有比較特殊的計算方法，可以簡化符號計算的過程。

表1 不同積分方程求解過程的比較

7 結束語

在第二類 Volterra 積分方程中，可以符號計算連續(xù)核函數(shù)或者 L2-核函數(shù)的解核，從而積分計算其解析解。對于特殊類型的核函數(shù)，符號計算過程可以優(yōu)化，加快積分計算過程。

[1]閻 玉 斌,崔 明 根.第 二 類 Volterra 積 分 方 程 的 準 確 解[J].高 等學校計算數(shù)學學報，1993（04）:291-296.

[2]張艷敏.Volterra 積分 方 程 組 的 精 確 解[D].哈 爾 濱 ：哈爾濱工業(yè)大學，2006.

[3]夏 莉.Volterra 積 分 方 程 數(shù) 值 解 法 綜 述[D].長 春 ：吉 林 大 學 ，2009.

[4]劉唐偉,應正衛(wèi),吳志強.第二類非線性 Fredholm 型 積分方 程數(shù)值解[J].東華理工學院學報，2005（3）:294-296.

[5] 互 動 百 科 . 符 號 計 算 [EB/OL].http://www.baike.com/wiki/% E7%AC%A6%E5%8F%B7%E8%AE%A1%E7%AE% 97，2012-09-28/2016-12-20.

[6]張 忠 誠.拉 普 拉 斯 變 換 的 應 用 研 究 [J].周 口 師 范 學 院 學 報 ，2006（2）:40-42.

[7]施 曉 紅.Laplace 變換在求解線性微分及積分方 程 中 的 應 用[J].昆明理工大學學報：理工版，2009（3）:121-124.

[8]黎麗梅.拉普拉斯變換的數(shù)值逆在線性偏積分微 分方程中的應用[J].湖南理工學院學報：自然科學版，2006（1）:8-11.

[9]張石生．積分方程[M]．重慶：重慶出版社，1988：45-52.

[10]沈 以 淡．積 分 方 程 （第 二 版 ）[M]．北 京 ：北 京 理 工 大 學 出 版社，2002：81-85.

[11]華中科技大 學 數(shù) 學 系．復 變 函 數(shù) 與 積 分 變 換 （第 三 版 ）[M]．北京：高等教育出版社，2008：227-235.

責任編輯：胡德明

Symbolic Computation Design for the Second Kind of Volterra Integral Equations

Ling Zonghu
（School of Mathematical Statistics,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China）

In the designed symbolic computation system based on mechanical calculus,the computing method for iterated kernel in the second kind of Volterra integral equations for continuous and L2-cores is designed and realized.The analytical solution of the integral equation is obtained by solving the equation. It provides a method to solve the weak singular integral equation.

integral equations;kernel function;symbolic computation

O245

：A

：1672-447X（2017）03-0004-03

2017-02-21

凌宗虎(1969-)，安徽蕪湖人，碩士，安徽師范大學講師，研究方向為數(shù)據(jù)庫與網(wǎng)絡軟件、高性能計算技術。