基于近似模型的空心彈氣動外形數(shù)值優(yōu)化

趙 強(qiáng), 陳志華

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210094)

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基于近似模型的空心彈氣動外形數(shù)值優(yōu)化

趙 強(qiáng), 陳志華*

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210094)

作為一種新型超聲速彈藥，空心彈具有阻力小、精度高等優(yōu)點(diǎn)，在航空與防空彈藥領(lǐng)域具有廣闊的發(fā)展前景。本文以課題組前期研究的某30 mm空心彈為例，基于四階多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型，綜合運(yùn)用UG、ICEM CFD、FLUENT、MATLAB等軟件，結(jié)合單純形法，以最小阻力系數(shù)為目標(biāo)對空心彈的氣動外形進(jìn)行了優(yōu)化，得到了α=0°、Ma=3.0條件下的空心彈最小阻力系數(shù)及氣動外形參數(shù)，該阻力系數(shù)與前期數(shù)值模擬研究結(jié)果相同。在此基礎(chǔ)上，以最小阻力系數(shù)為目標(biāo)對α=0°與4°、Ma=2.5～4.0條件下的氣動外形進(jìn)行了優(yōu)化，得到了相應(yīng)外形參數(shù)的變化范圍。另外，利用Kriging近似模型和NSGA-II優(yōu)化算法等，并以最小阻力系數(shù)和最大升阻比為目標(biāo)，對α=4°、Ma=3.0條件下的空心彈氣動外形進(jìn)行了優(yōu)化，得到了相應(yīng)的優(yōu)化外形。與初始彈形相比，優(yōu)化后空心彈的氣動阻力明顯減小。本文驗(yàn)證了近似模型可用于空心彈氣動外形優(yōu)化設(shè)計，可為相關(guān)工程應(yīng)用與研究提供重要參考。

空心彈；近似模型；阻力系數(shù)；升阻比；優(yōu)化算法

Keywords: hollow projectile; approximation model; drag coefficient; lift-drag ratio; optimization algorithm

0 引 言

空心彈因其飛行部分是一個中間為空心的薄壁圓管，也被稱為管式彈丸，是一種新型超聲速彈藥。與傳統(tǒng)實(shí)心彈相比，空心彈具有阻力小、準(zhǔn)確度與精度高、成本低、發(fā)射武器后坐力小、勤務(wù)處理性能更好等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，在航空與防空彈藥領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

早在20世紀(jì)70年代，我國和外國就對空心彈開展了廣泛的研究，西方主要以應(yīng)用開發(fā)研究及可行性試驗(yàn)為主[3-5]，并開發(fā)了相應(yīng)的制式彈藥。國內(nèi)主要對空心彈的研究成果進(jìn)行了總結(jié)以及部分試驗(yàn)驗(yàn)證[6-7]。李惠昌[6]等人結(jié)合試驗(yàn)研究情況，詳細(xì)地敘述了空心彈阻力小、散布精度高與侵徹效果好的特性，給出了阻力系數(shù)的近似估算公式，并分析了空心彈的陀螺穩(wěn)定性；楊金耀[7]對空心彈的風(fēng)洞試驗(yàn)裝置進(jìn)行了研究。隨著CFD技術(shù)的發(fā)展，對空心彈的氣動特性研究主要以流場模擬為主[2,8-9]。李艷玲、陳志華[2]等人利用FLUENT軟件對某30 mm空心彈進(jìn)行了真實(shí)條件下的氣動特性研究，得到了空心彈的波系結(jié)構(gòu)、壓力分布與阻力系數(shù)的變化規(guī)律；任登鳳、譚俊杰[8]等人采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的LU-SGS隱式算法計算三維Euler方程，數(shù)值模擬了不同馬赫數(shù)以及不同攻角下的某37 mm空心彈流場，分析了升、阻力特性及流場的波系結(jié)構(gòu)；陳楊、廖振強(qiáng)[9]等人對12.7 mm口徑試驗(yàn)彈進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，并分析了其外彈道特性。另外，黃振貴、李艷玲[1]等人利用CFD技術(shù)，對空心彈不同外形參數(shù)條件下的氣動特性進(jìn)行了數(shù)值模擬，并利用窮舉法對空心彈進(jìn)行了氣動外形數(shù)值分析，得到了最小阻力系數(shù)的氣動外形。

近年來，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，涌現(xiàn)了一大批通用和專用的科學(xué)研究和工程應(yīng)用軟件，如工程分析中常用的CAD/CAE/SC類軟件，解決了眾多領(lǐng)域的科學(xué)與工程問題，創(chuàng)造了巨大的經(jīng)濟(jì)和社會效益[10]。為了得到空心彈氣動阻力系數(shù)最小的最優(yōu)外形，本文運(yùn)用腳本程序驅(qū)動編寫的模型更新程序自動實(shí)現(xiàn)對UG建立的三維模型的更新，并利用FLUENT對空心彈進(jìn)行三維流場模擬，得到數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果，并建立近似模型；然后，通過MATLAB編寫程序?qū)招膹椈谧钚鈩幼枇ο禂?shù)的氣動外形進(jìn)行優(yōu)化，得到了與前期研究一致的氣動外形，驗(yàn)證了本文方法的可行性。在此基礎(chǔ)上，以最小阻力系數(shù)為目標(biāo)，對不同飛行環(huán)境下的空心彈氣動外形進(jìn)行了優(yōu)化，得到了飛行馬赫數(shù)范圍對應(yīng)的優(yōu)化外形。最后，以最小阻力系數(shù)和最大升阻比為目標(biāo)對空心彈氣動外形進(jìn)行了優(yōu)化，得到了相應(yīng)的優(yōu)化外形。

1 空心彈氣動外形單目標(biāo)數(shù)值優(yōu)化

本文采用課題組前期研究的三維空心彈模型[1]，其二維形式如圖1所示?？招膹梼?nèi)喉道面積與入口面積之比必須大于一定值，否則會出現(xiàn)“堵塞”現(xiàn)象[3]。而當(dāng)內(nèi)徑繼續(xù)增大時則對氣動力的影響不明顯，所以本文優(yōu)化變量沒有內(nèi)徑d，僅選擇了L1與L2。L1、L2均在20 mm～60 mm的范圍變化，且同樣僅以最小阻力系數(shù)為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。對空心彈流場的數(shù)值模擬方法與前期工作相同[1]，即方程的對流項(xiàng)采用二階AUSM格式，粘性項(xiàng)采用中心差分格式，時間步進(jìn)則取二階R-K格式。

圖1 空心彈的基本模型[1](單位：mm)Fig.1 Basic model of a hollow projectile[1](unit:mm)

1.1 近似模型構(gòu)建

1.1.1 試驗(yàn)設(shè)計

采用的試驗(yàn)設(shè)計方法是最優(yōu)拉丁超立方，該方法是對拉丁方設(shè)計的改進(jìn)與優(yōu)化[15-16]。最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計的試驗(yàn)次數(shù)可以靈活選擇，一般要求試驗(yàn)所包含的有用信息要盡量多，以便于對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行更好地分析。為了研究L1與L2對阻力系數(shù)的影響，建立阻力系數(shù)與L1、L2的高精度函數(shù)關(guān)系，并經(jīng)過對試驗(yàn)次數(shù)的多次嘗試、比較，最終確定試驗(yàn)次數(shù)為30。

生成數(shù)值試驗(yàn)數(shù)據(jù)的過程如下：(1)通過VBS腳本程序驅(qū)動模型更新程序UG_Update.exe，實(shí)現(xiàn)三維幾何模型參數(shù)的更新，提供空心彈和計算域的幾何信息；(2)利用VBS腳本程序驅(qū)動命令流文件ICEM_CFD.rpl，實(shí)現(xiàn)空心彈結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的自動劃分；(3)運(yùn)用VBS腳本程序驅(qū)動命令流文件FLUENT.jou，進(jìn)行空心彈阻力系數(shù)計算。30次數(shù)值試驗(yàn)的部分結(jié)果見表1，與文獻(xiàn)[1]的二維結(jié)果對比情況如圖2～圖3所示。

表1 阻力系數(shù)的部分?jǐn)?shù)值試驗(yàn)結(jié)果Table 1 Partial numerical results of the drag coefficient

圖2 外壁阻力系數(shù)CD1隨L1的變化情況Fig.2 Variation of the outer wall drag coefficient CD1 with L1

圖3 內(nèi)壁阻力系數(shù)CD2隨L2的變化情況Fig.3 Variation of the inner wall drag coefficient CD2 with L2

由圖2～圖3可知，三維流場計算的內(nèi)外壁阻力系數(shù)與二維流場計算結(jié)果隨L2、L1的變化趨勢相同。由圖2可以看出，三維流場計算的外壁(Wall 1+Wall 2+Wall 3+Wall 4)阻力系數(shù)比二維流場計算結(jié)果要大，但兩者具有較好的平行關(guān)系，曲線的最小值點(diǎn)取的L1值較為接近。通過圖3，可知L2值在一定的范圍內(nèi)，二維流場計算的內(nèi)壁(Wall 5+Wall 6+Wall 7+Wall 8)阻力系數(shù)要比三維流場得到的結(jié)果大，L2超過一定值后，情況則相反；同時，二維流場在內(nèi)壁阻力取得最小值附近變化非常平緩，三維流場在最小值附近則變化明顯，且三維內(nèi)壁最小阻力系數(shù)小于二維內(nèi)壁最小阻力系數(shù)，這是因?yàn)槿S空心彈內(nèi)腔的流通性好于二維，應(yīng)以三維結(jié)果為主。

1.1.2 阻力系數(shù)近似模型的構(gòu)建

選用多項(xiàng)式響應(yīng)面模型來構(gòu)建阻力系數(shù)的近似模型。多項(xiàng)式響應(yīng)面模型是一種采用統(tǒng)計學(xué)回歸分析進(jìn)行函數(shù)擬合的近似模型，表達(dá)式如下：

(1)

式中，xi是m維自變量x的第i個分量，β0、βi、βij等為未知參數(shù)。

當(dāng)然，也可以考慮用某些適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)g(x)來代替式(1)中的x，由此得到的模型可稱為廣義多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(2)所示：

(2)

式中，函數(shù)gi(x)由問題本身的物理性質(zhì)來確定。

建立的阻力系數(shù)的四階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的表達(dá)式如下：

(3)

若以殘差平方和最小作為目標(biāo)來擬合多項(xiàng)式，最終得到響應(yīng)面模型的表達(dá)式如下：

(4)

1.2 基于近似模型的空心彈阻力系數(shù)優(yōu)化

隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃和計算機(jī)技術(shù)的完善，對工程系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的技術(shù)得到迅速發(fā)展并得到實(shí)際應(yīng)用。優(yōu)化設(shè)計中涉及的常常是高維、非線性規(guī)劃問題，用于求解此類問題的算法有：經(jīng)典優(yōu)化方法、全局優(yōu)化方法、現(xiàn)代優(yōu)化算法和混合優(yōu)化策略[17]。在優(yōu)化過程中，無論是經(jīng)典優(yōu)化方法還是智能優(yōu)化方法，均有其適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)，因此，針對不同的優(yōu)化問題選擇合適的優(yōu)化方法至關(guān)重要。

圖4 α=0°、Ma=3.0條件下阻力系數(shù)的響應(yīng)面Fig.4 Response surface for the drag coefficientat α=0° and Ma=3

基于近似模型得到的優(yōu)化空心彈外形參數(shù)與文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果比較接近，驗(yàn)證了利用近似模型進(jìn)行空心彈氣動外形數(shù)值優(yōu)化方法的正確性。與文獻(xiàn)[1]中優(yōu)化結(jié)果的差異，主要在于本文采用的數(shù)值試驗(yàn)樣本是基于三維模型的數(shù)值流場得到的計算結(jié)果，而文獻(xiàn)[1]中的計算結(jié)果則基于二維模型，另外網(wǎng)格質(zhì)量、L1與L2的交互影響和近似模型的精度等因素都會對優(yōu)化結(jié)果有影響。

按照上述方法，同樣以最小阻力系數(shù)為目標(biāo)，對空心彈飛行馬赫數(shù)范圍Ma=2.5～4.0、攻角α=0°與4°條件下的氣動外形進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化的氣動外形參數(shù)見表2。由表2可以看出，L1和L2分別在45.20mm～51.61mm和39.23mm～42.08mm的范圍變化，可根據(jù)實(shí)際情況(如彈的主要飛行馬赫數(shù)和空間范圍)進(jìn)行相應(yīng)的取值。

表2 優(yōu)化的氣動外形參數(shù)Table 2 Optimized aerodynamic configuration parameters

2 空心彈氣動外形多目標(biāo)數(shù)值優(yōu)化

對于質(zhì)量一定的空心彈而言(該空心彈模型的體積不隨L1、L2的變化而變化)，以L1、L2作為優(yōu)化參數(shù)，L1、L2均在20 mm～60 mm的范圍變化，以最小阻力系數(shù)和最大升阻比作為優(yōu)化目標(biāo)對空心彈進(jìn)行了氣動外形優(yōu)化設(shè)計。

2.1 試驗(yàn)設(shè)計

直接采用前面驗(yàn)證過程中通過ICEM CFD生成的30組網(wǎng)格，然后運(yùn)用VBS腳本程序驅(qū)動新的命令流文件FLUENT.jou，進(jìn)行空心彈阻力系數(shù)CD與升力系數(shù)CL的計算。30次數(shù)值試驗(yàn)的部分結(jié)果如表3所示。

表3 阻力系數(shù)與升力系數(shù)的部分?jǐn)?shù)值試驗(yàn)結(jié)果Table 3 Partial numerical results of the drag and lift coefficients

2.2 近似模型構(gòu)建

阻力系數(shù)仍采用四階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，模型的表達(dá)式如下：

(5)

對于升力系數(shù)，選擇Kriging模型來構(gòu)建其近似模型。Kriging模型是一種基于統(tǒng)計理論、充分考慮變量空間相關(guān)特征的插值技術(shù)[18]，包含回歸模型部分與隨機(jī)模型部分：

(6)

為討論方便，假定q=1，即一維響應(yīng)，此時式(6)可以寫為：

(7)

式中，回歸模型f(x)Tβ提供全局近似，且通常為多項(xiàng)式函數(shù)；隨機(jī)模型z(x)提供局部偏差近似，其均值為零，方差為σ2，協(xié)方差為：

(8)

式中，R(θ,w,x)是帶有參數(shù)向量θ的相關(guān)函數(shù)，表示訓(xùn)練樣本點(diǎn)之間的空間相關(guān)性，其表達(dá)式為：

(9)

采用的相關(guān)函數(shù)為GAUSS函數(shù)，其表達(dá)式如下：

(10)

由無偏條件與預(yù)測模型的方差最小條件，可以得出預(yù)測點(diǎn)的響應(yīng)值和均方誤差分別為：

(11)

φ(x)=σ2[1+uT(FTR-1F)-1u-

(12)

其中：

β*=(FTR-1F)-1FTR-1Y

r(x)=[R(θ,s1,x)R(θ,s2,x) …R(θ,sm,x)]T

R=[Rij]=[R(θ,si,sj)], (i,j=1,…,m)

u=FTR-1r(x)-f(x)

建立升力系數(shù)的Kriging近似模型的過程如下：

(1) 對30個數(shù)值試驗(yàn)樣本點(diǎn)S及其響應(yīng)值Y進(jìn)行按列歸一化；

(3) 輸出預(yù)測點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)值：

式中，sY和mY分別為30個樣本點(diǎn)對應(yīng)的升力系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和均值。

最終，得到升力系數(shù)的響應(yīng)面和均方誤差，分別如圖5～圖6所示。圖5中的散點(diǎn)代表所有樣本點(diǎn)，由圖可知所有樣本點(diǎn)均位于響應(yīng)面上。

圖5 α=4°、Ma=3.0條件下升力系數(shù)的響應(yīng)面Fig.5 Response surface for the lift coefficient at α=4° and Ma=3

圖6 α=4°、Ma=3.0條件下升力系數(shù)的均方誤差Fig.6 Mean squared error(MSE) for the lift coefficient at α=4° and Ma=3

由圖6可知，均方誤差曲面在某些位置很平緩，數(shù)值幾乎為0，這些位置在樣本點(diǎn)處或離其很近的范圍內(nèi)；而在某些位置會存在一些大的凸起，這些位置距離樣本點(diǎn)較遠(yuǎn)。均方誤差越大，表明此預(yù)測值波動范圍大，預(yù)測值的不準(zhǔn)確率越高。因此，本文在檢驗(yàn)Kriging模型精度的時候，樣本點(diǎn)選在了[L1,L2]=[20,20]附近及[L1,L2]=[60,60]附近，檢驗(yàn)樣本點(diǎn)的情況如表4所示。

表4 6個檢驗(yàn)樣本Table 4 Six test samples

采用經(jīng)驗(yàn)累積方差標(biāo)準(zhǔn)[19]來檢驗(yàn)Kriging模型的精度，計算公式如下：

(13)

式中，Ngrid為檢驗(yàn)樣本點(diǎn)總數(shù)。由式(13)及表4求得：EISE=5.53×10-6；同時，檢驗(yàn)樣本點(diǎn)中最大和最小相對誤差分別為2.09%和0.07%。

2.3 基于近似模型的空心彈多目標(biāo)數(shù)值優(yōu)化

采用非支配排序遺傳算法(NSGA-II)。NSGA-II由Deb等人于2000年提出[20]，是對NSGA算法的改進(jìn)。在NSGA的基礎(chǔ)上加上了精英策略、虛擬適應(yīng)度策略和快速非支配排序策略，在很大程度上改善了NSGA的計算復(fù)雜度較高、無精英策略、需要指定共享半徑等缺點(diǎn)，運(yùn)算速度和魯棒性得到提高。它存在的不足是難以找到孤立點(diǎn)，此外，當(dāng)目標(biāo)數(shù)量增加時有可能產(chǎn)生搜索偏移。NSGA-II算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1) 初始化種群Pt，t=0；

(2) 從Pt中選擇N個個體進(jìn)入交配池，并對交配池中的個體實(shí)施交叉和變異操作，得到新種群Qt；

(3) 合并Pt和Qt得到種群Rt，對其進(jìn)行非支配排序得到非支配解前端，并進(jìn)行擁擠度計算，選出其中最好的N個形成下一代種群Pt+1，再進(jìn)行交叉和變異計算得到Qt+1；

(4) 判斷終止條件是否成立，若是，運(yùn)算停止，輸出Pareto解，否則執(zhí)行步驟(3)。

NSGA-II采用模擬二進(jìn)制交叉(SBX)[20-21]，交叉概率為0.9，交叉分布系數(shù)為20；使用均勻變異，變異分布系數(shù)為20；種群大小為100；進(jìn)化代數(shù)為250。

通過優(yōu)化計算得到Pareto最優(yōu)解集，Pareto前沿如圖7所示，同時從Pareto前沿中選取3個設(shè)計點(diǎn)，將其列于表5。

由圖7和表5可以看出，與初始彈形(L1=20 mm、L2=20 mm，對應(yīng)的CD=0.14004、CL/CD=1.59746)相比，優(yōu)化后的空心彈阻力系數(shù)和升阻比都得到了一定程度的改善；但過分減小阻力系數(shù)或提高升阻比均會使另一目標(biāo)變壞。理想的空心彈氣動外形要求阻力系數(shù)最小和升阻比最大，但由于這兩者不能同時滿足，故必須有所取舍。因此，在空心彈設(shè)計時，可根據(jù)不同的目標(biāo)要求進(jìn)行方案選擇，也可結(jié)合綜合評價方法進(jìn)行方案選擇[22]。同時，本文對3個設(shè)計點(diǎn)進(jìn)行了高精度FLUENT計算，1、2、3號設(shè)計點(diǎn)對應(yīng)的CD和CL/CD分別為0.09439和1.8577、0.09614和1.9269以及0.09831和1.9643；對應(yīng)的相對誤差分別為0.16%和0.23%、0.98%和0.90%以及0.63%和1.17%，進(jìn)一步驗(yàn)證了近似模型的高精度。

圖7 2個目標(biāo)情況下的Pareto前沿Fig.7 Pareto front under the condition of two objectives表5 3個設(shè)計點(diǎn)的對比Table 5 Comparison between three design points

No.L1/mmL2/mmC^DC^L/C^D147.4941.410.094241.8535246.3944.100.095201.9442344.7947.350.097691.9872

3 結(jié)束語

本文建立了空心彈阻力系數(shù)的四階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型與升力系數(shù)的Kriging模型，并基于近似模型解決了空心彈氣動外形的優(yōu)化設(shè)計問題，得到了攻角α=0°、Ma=3.0條件下的最小阻力系數(shù)氣動外形及攻角α=4°、Ma=3.0條件下阻力系數(shù)較小、升阻比較大的空心彈氣動外形。同時，本文也基于最小阻力系數(shù)對空心彈飛行馬赫數(shù)范圍Ma=2.5～4.0、攻角α=0°和4°條件下的氣動外形進(jìn)行了優(yōu)化，得到L1和L2的變化范圍分別為45.20 mm～51.61 mm和39.23 mm～42.08 mm。充分驗(yàn)證了近似模型可用于空心彈氣動外形優(yōu)化設(shè)計。

對優(yōu)化后的氣動外形進(jìn)行了FLUENT數(shù)值驗(yàn)算，所得阻力系數(shù)與升力系數(shù)和使用近似模型得到的結(jié)果相差很小，進(jìn)一步證明了所建立近似模型方法的可信度。針對空心彈設(shè)計優(yōu)化問題，可進(jìn)一步結(jié)合穩(wěn)健性設(shè)計優(yōu)化[23](如6 Sigma可靠性魯棒性設(shè)計優(yōu)化)與多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化知識等，綜合考慮馬格努斯效應(yīng)等，對空心彈氣動、彈道、結(jié)構(gòu)(結(jié)合結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化軟件MSC/Patran& Nastran)等進(jìn)行綜合設(shè)計優(yōu)化，以進(jìn)一步提高其整體性能。

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Numerical optimization of aerodynamic configuration of a hollow projectile based on the approximation model

ZHAO Qiang, CHEN Zhihua*

(NationalKeyLaboratoryofTransientPhysics,NUST,Nanjing210094,China)

As a new type of supersonic ammunition, the hollow projectile has advantages of low drag and high precision etc., and it has wide applications in aircraft and air defense field.In this paper, based on fourth-order polynomial response surface approximation model, combined with the application of UG, ICEM CFD, FLUENT, MATLAB, etc., and simplex method, the aerodynamic configuration of our previously studied 30mm hollow projectile has been numerically optimized for minimum drag coefficient, and the minimum drag coefficient and optimal aerodynamic configuration parameters were obtained for the hollow projectile at angle of attackα=0° and Mach numberMa=3.0.The minimum drag coefficient has good agreement with our previous numerical result.Based on the same optimal object of minimum drag coefficient, the aerodynamic configuration has been optimized atα=0°, 4°, andMa=2.5～4.0, and the variation ranges of corresponding configuration parameters were obtained.Moreover, by using Kriging approximation model and NSGA-II optimization algorithm etc., based on optimal objects of minimum drag coefficient and maximum lift-drag ratio, the aerodynamic configuration of the hollow projectile has been optimized numerically atα=4° andMa=3.0, and the optimal aerodynamic configuration has been obtained.Compared with the original hollow projectile, the aerodynamic drag force of the optimized one is significantly reduced.It is verified that approximation model can be applied to optimize aerodynamic configuration of a hollow projectile.This study can provide important guidance for relative engineering applications and investigations.

0258-1825(2017)03-0408-07

2015-05-13;

2015-08-04

趙強(qiáng)(1989-)，男，山東人，博士研究生，研究方向：彈箭設(shè)計及多學(xué)科優(yōu)化.E-mail：zhaoqiangwq123@126.com

陳志華*(1967-)，男，湖南人，教授，博士，研究方向：飛行器氣動外形與變體優(yōu)化設(shè)計.E-mail: chenzh@mail.njust.edu.cn

趙強(qiáng), 陳志華.基于近似模型的空心彈氣動外形數(shù)值優(yōu)化[J].空氣動力學(xué)學(xué)報, 2017, 35(3): 408-414.

10.7638/kqdlxxb-2015.0056 ZHAO Q, CHEN Z H.Numerical optimization of aerodynamic configuration of a hollow projectile based on the approximation model[J].Acta Aerodynamica Sinica, 2017, 35(3): 408-414.

TJ760.11

A doi: 10.7638/kqdlxxb-2015.0056