關于求常系數非齊次線性微分方程特解的注記

羅 艷(湖南科技大學數學與計算科學學院，湖南湘潭 411201)

關于求常系數非齊次線性微分方程特解的注記

羅 艷
(湖南科技大學數學與計算科學學院，湖南湘潭 411201)

求常系數非齊次線性微分方程特解的關鍵是正確寫出特解的形式。本文給出了求常系數非齊次線性微分方程特解的幾個注記：類型Ⅰ的推廣、利用復數法和解的疊加原理求特解，并給出實例加以說明。

特解；推廣；復數法；解的疊加原理

對于常系數非齊次線性微分方程的求解問題，其中a1,a2,…,an是常數，f(t)為連續(xù)函數，一般情況考慮f(t)的兩種類型[1].

(1)

類型Ⅰf(t)=P(t)eλt，其中P(t)是帶實常數系數的t的多項式，λ是實常數.

1 類型Ⅰ的推廣

類型Ⅰ中的多項式P(t)可以是帶復常數系數的t的多項式，λ也可以是復常數.

2 復數法求常系數非齊次線性微分方程特解

下面介紹復數法求常系數非齊次線性微分方程特解的理論依據.

定理1 方程

有復值解x=U(t)+iV(t)的充分必要條件是U(t)和V(t)分別是方程

和

的解，這里ai(t)(i=1,2,…,n)及u(t),v(t),U(t),V(t)都是實函數.

證明 直接代入驗證即可，在此省略.

注記1 若常系數非齊次線性微分方程是下列形式：

(2)

(3)

其中，α1,β1,α2,β2為常數，而A(t),B(t)是帶實系數的t的多項式，則可以考慮應用復數法求(2)和(3)的特解.

第一步，寫出(2)和(3)分別對應的方程

(4)

(5)

第二步，(4)和(5)屬于類型Ⅰ，利用待定系數法求出(4)和(5)的特解(復值解).

第三步，利用定理1，(4)特解的實部就是(2)的特解，(5)特解的虛部就是(3)的特解.

解 特征方程λ2+4λ+4=0有重根λ1=λ2=-2.

復數法的優(yōu)點是間接通過類型Ⅰ的特解求(2)和(3)的特解，可避免求cosβt,sinβt和eαt積的各階導數的運算，減少了運算量，學生易接受.復數法的應用參見文獻[2-3].

3 解的疊加原理求常系數非齊次線性微分方程特解

下面先介紹解的疊加原理.

定理2 設x1(t),x2(t)分別是非齊次線性微分方程

的解，則x1(t)+x2(t)是方程

的解.

證明 直接代入驗證即可，在此過程省略.

此定理可以推廣到有限個方程的情形.疊加原理的應用參見文獻[4-5].

注記2 若方程(1)中的非線性項f(t)為下列形式中的某一種：

f(t)=P(t)eλt+Q(t)eμt，λ≠μ，

f(t)=P(t)eλt+A(t)eαtcosβt，

f(t)=P(t)eλt+A(t)eαtsinβt，

f(t)=A(t)eα1tcosβ1t+B(t)eα2tcosβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一個成立，

f(t)=A(t)eα1tcosβ1t+B(t)eα2tsinβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一個成立，

f(t)=A(t)eα1tsinβ1t+B(t)eα2tsinβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一個成立，

這里，P(t),Q(t)是帶常數系數的t的多項式，其中λ,μ,α,β,α1,β1,α2,β2為常數，而A(t),B(t)是帶實系數的t的多項式，則方程(1)求特解可以考慮應用解的疊加原理.

[1]王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006:145-150.

[2]李素峰.幾類常微分方程的特殊求法[J].邢臺師范高專學報,2002,17(4):57-58.

[3]張守貴.一類三階非齊次歐拉方程特解的簡單求法[J].內江師范學院報,2016,31(8):14-17.

[4]陳新一.一類二階常微分方程的特解[J].高等數學研究,2010,13(1):87-88.

[5]郭軍,吳蕓.疊加原理在解常微分方程中的應用[J].九江學院學報:自然科學版,2011,26(1):36-37.

Notes on Finding Particular Solution for Non-homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients

LUO Yan

(School of Mathematics and Computer Science,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan Hunan 411201,China)

The key of finding particular solution for non-homogeneous linear differential equation is writing the form of particular solution. In order to enable students grasp the knowledge, we give several notes: the generalization of types of Ⅰ, finding particular solution by complex number method and superposition principle of solutions. In order to facilitate teaching and students’ comprehension, we also give examples to illustrate the applicability of our results.

particular solution; generalization; complex number method; superposition principle of solutions

2017-01-12

羅 艷(1980- )，女，講師，博士，從事常微分方程與動力系統(tǒng)研究。

O175.1

A

2095-7602(2017)06-0009-03