幾類正整數(shù)是否為完全數(shù)問(wèn)題

張四保

摘 要 本文研究形如5m+j與13m+j的正偶數(shù)是否是偶完全數(shù)的問(wèn)題，以及形如5m-1的正奇數(shù)是否是奇完全數(shù)的問(wèn)題，并給出相應(yīng)的結(jié)論.

關(guān)鍵詞 完全數(shù)；偶完全數(shù)；奇完全數(shù)

中圖分類號(hào) O156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1000-2537（2017）03-0079-04

Problems of Whether or Not Several Kinds of Positive Numbers are Perfect Numbers

ZHANG Si-bao*， DENG Yong

（School of Mathematics and Statistics， Kashgar University， Kashgar 844008， China）

Abstract In this article， the problems whether or not the positive even numbers of the form 5m+j and 13m+j are perfect numbers were investigated. Also studied was the problem whether or not the positive odd numbers of the form 5m-1 are perfect numbers.

Key words perfect number； even perfect number； odd perfect number

設(shè)σ（n）是正整數(shù)n的所有正因數(shù)（包括1和n）的和函數(shù). 若n滿足σ（n）=2n，則n被稱為完全數(shù). 根據(jù)Euclid定理[1]與Euler定理[2]可知，當(dāng)2p-1為Mersenne素?cái)?shù)時(shí)，2p-1（2p-1）是完全數(shù)，且是僅有的偶完全數(shù)[3]. 到目前為止，人們只發(fā)現(xiàn)了49個(gè)偶完全數(shù)，其中第49個(gè)偶完全數(shù)274 207 280（274 207 281-1）由美國(guó)中央密蘇里大學(xué)數(shù)學(xué)家柯蒂斯·庫(kù)珀領(lǐng)導(dǎo)的研究小組通過(guò)參加一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（GIMPS）的國(guó)際項(xiàng)目于2016年1月7日發(fā)現(xiàn)[4]，而至今尚未發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)，是否存在奇完全數(shù)，這已成為數(shù)論中著名的問(wèn)題之一 [5].

Euler[6]指出，若n為奇完全數(shù)，則n必為n = παq2β11q2β22…q2βss的形式，其中π，qi（i=1，2，…，s）是相異的奇素?cái)?shù)，（qi，π）=1，βi是正整數(shù)，且π≡α≡1（mod 4）. 人們討論過(guò)各種形式的奇數(shù)是否是奇完全數(shù)的問(wèn)題. 1975年，Macdaniel[7]指出，若β1≡…≡βs≡1（mod 3），則形如παq2β11q2β22…q2βss的奇數(shù)不是完全數(shù).2003年，Iannucci和Sorli[8]指出，若β1≡…≡βs≡2（mod 5），則形如παq2β11q2β22…q2βss的奇數(shù)不是完全數(shù).2000年，Luca[9]證明任意一個(gè)Fermat 數(shù)都不是完全數(shù).2006年，沈忠華[10]證明對(duì)于任意正整數(shù)n，形如Sn=12（52n+1）的奇正整數(shù)不是完全數(shù).形如n=πα32βQ2β的奇正整數(shù)，在β∈[2，15）∪（15，20]都已被證明不是完全數(shù)[11].2008年，沈忠華[12] 等證明了形如Sn=（2n）2n+1的數(shù)不是完全數(shù).2006年，Starni[13]證明當(dāng)π≡1（mod 12）且α≡1，9（mod 12），n=πα32βQ2β不是奇完全數(shù).2011年，朱玉揚(yáng)[14]考慮了形如3m-1是否是完全數(shù)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的結(jié)論. 本文主要考慮5m+j（j=-1，2），13m+j（j=0，4，5，7，9，11，12）的正偶數(shù)，以及形如5m-1的正奇數(shù)是否為完全數(shù)的問(wèn)題.

1 主要結(jié)論及證明

定理1 形如5m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=-1，2.

證 設(shè)n是5m+j型的正偶數(shù)，其中j=-1，2，即n≡-1，2（mod 5）. 由Euler定理與Euclid定理可知，偶完全數(shù)n的形式必為2p-1（2p-1），其中2p-1為Mersenne素?cái)?shù). 當(dāng)p=2時(shí)，n≡1（mod 5）；當(dāng)p=3時(shí)，n≡3（mod 5）；當(dāng)p≥5時(shí)，令p=4k+1，或p=4k+3.

當(dāng)p=4k+1時(shí)，

n=2p-1（2p-1）=24k（24k+1-1）≡1（mod 5）.

當(dāng)p=4k+3時(shí)，

n=2p-1（2p-1）=24k+2（24k+3-1）≡3（mod 5）.

而n≡-1，2（mod 5）. 所以，形如5m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=-1，2. 證畢.

定理2 設(shè)n = παq2β11q2β22…q2βss是形如5m-1的正奇數(shù)，若qi及βi（i=1，2，…，s）滿足以下條件之一：

（1）當(dāng)qi≡1（mod 5）或qi≡4（mod 5）或滿足qi≡1（mod 5）與qi≡4（mod 5）；

（2）當(dāng)βi全為偶數(shù)；

（3）當(dāng)βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡2（mod 5），且qi的個(gè)數(shù)s為偶數(shù)；

（4）當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡2（mod 5），且βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)；

（5）當(dāng)βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡3（mod 5），且qi的個(gè)數(shù)s為偶數(shù)；

（6）當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡3（mod 5），且βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)；

（7）當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為偶數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的qi為偶數(shù)個(gè)；

（8）當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為奇數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的qi為奇數(shù)個(gè)；

（9）當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)；

（10）當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)；

則n不是奇完全數(shù).

證 由于奇完全數(shù)為n = παq2β11q2β22…q2βss，其中π，qi（i=1，2，…，s）是相異的奇素?cái)?shù)，（qi，π）=1，βi是正整數(shù)，且π≡α≡1（mod 4）.下面對(duì)qi及βi進(jìn)行討論.

Case 1 當(dāng)qi≡1（mod 5）時(shí)有，q2βii≡1（mod 5），進(jìn)而有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

Case 2 當(dāng)qi≡2（mod 5）時(shí)有，q2βii≡（-1）βi（mod 5），下對(duì)βi進(jìn)行討論.

當(dāng)βi全為偶數(shù)時(shí)，則q2βii≡（-1）βi≡1（mod 5），進(jìn)而有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

當(dāng)βi全為奇數(shù)時(shí)，則q2βii≡（-1）βi≡-1（mod 5）. 此時(shí)，若s為偶數(shù)，則∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；若s為奇數(shù)，則∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）.

當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)時(shí)，此時(shí)當(dāng)βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

Case 3 當(dāng)qi≡3（mod 5）時(shí)有，q2βii≡（-1）βi（mod 5），其情況與Case 2的情況相同.

Case 4 當(dāng)qi≡4（mod 5）時(shí)有，q2βii≡1（mod 5），進(jìn)而有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

Case 5 結(jié)合以上Case 1至Case 4所討論的情況，即qi中都有滿足qi≡1（mod 5），qi≡2（mod 5），qi≡3（mod 5），qi≡4（mod 5）的奇素?cái)?shù).

此時(shí)，當(dāng)βi全為偶數(shù)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為偶數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的qi為偶數(shù)個(gè)時(shí)，則有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為偶數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的qi為奇數(shù)個(gè)時(shí)，則有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為奇數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的qi為偶數(shù)個(gè)時(shí)，則有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為奇數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的qi為奇數(shù)個(gè)時(shí)，則有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡-1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

所以，由以上5種情況的討論可知，對(duì)于∏si = 1 q2βii取模5的情況，只有∏si = 1 q2βii≡±1（mod 5）這兩種情況. 通過(guò)以上對(duì)qi及βi的討論可知，當(dāng)qi≡1（mod 5）或qi≡4（mod 5）或滿足qi≡1（mod 5）與qi≡4（mod 5）的qi都有時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為偶數(shù)，且qi都滿足qi≡2（mod 5）時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡2（mod 5），且qi的個(gè)數(shù)s為偶數(shù)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡2（mod 5），且βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為偶數(shù)，且qi都滿足qi≡3（mod 5）時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡3（mod 5），且qi的個(gè)數(shù)s為偶數(shù)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡3（mod 5），且βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為偶數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的qi為偶數(shù)個(gè)時(shí)，則有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2（mod 5）的qi為奇數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的qi為奇數(shù)個(gè)時(shí)，則有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）；當(dāng)βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，滿足qi≡3（mod 5）的βi為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，有∏si = 1 q2βii≡1（mod 5）.

若∏si = 1 q2βii≡1（mod 5），由于n≡-1（mod 5），所以πα≡-1（mod 5）.

結(jié)合α≡1（mod 4）有，當(dāng)π≡1（mod 5），則有πα≡1（mod 5），這與πα≡-1（mod 5）相矛盾；當(dāng)π≡2（mod 5），則有πα≡2（mod 5），這與πα≡-1（mod 5）相矛盾；當(dāng)π≡3（mod 5），則有πα≡3（mod 5），這與πα≡-1（mod 5）相矛盾；當(dāng)π≡4（mod 5），則有πα≡-1（mod 5）. 故，π≡4≡-1（mod 5）.由此可得，σ（πα）=∑αk=0πk≡0（mod 5），即5σ（πα）.由于σ（n） = σ（παp12β1p22β2…ps2βs） = σ（πα）σ（p12β1p22β2…ps2βs） = 2n，得52n，即有5n，這與n≡-1（mod 5）相矛盾. 故此時(shí)，形如5m-1的正奇數(shù)不是完全數(shù).證畢.

定理3 形如13m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=0，4，5，7，9，11，12.

證 設(shè)n是13m+j型的正偶數(shù)，其中j=0，4，5，7，9，11，12，即n≡0，4，5，7，9，11，12（mod 13）.當(dāng)p=2時(shí)，n≡6（mod 13）；當(dāng)p=3時(shí)，n≡2（mod 13）；當(dāng)p≥5時(shí)，令p=4k+1，或p=4k+3，這里k≥1為整數(shù).

當(dāng)p=4k+1時(shí)，

n=2p-1（2p-1）=24k（24k+1-1）≡3k（3k·2-1）（mod 13）.

下面對(duì)3k取模13的情況進(jìn)行討論. 由于

當(dāng)k=3k1時(shí)，有3k=33k1=27k1≡1（mod 13）. 此時(shí)，n=2p-1（2p-1）≡3k（3k·2-1）≡1（mod 13）；

當(dāng)k=3k1+1時(shí)，有3k=33k1+1=27k1·3≡3（mod 13）. 此時(shí)，n=2p-1（2p-1）≡2（mod 13）；

當(dāng)k=3k1+2時(shí)，有3k=33k1+2=27k1·9≡9（mod 13）. 此時(shí)，n=2p-1（2p-1）≡10（mod 13）.

當(dāng)p=4k+3時(shí)，

n=2p-1（2p-1）=24k+2（24k+3-1）≡3k·22（3k·23-1）（mod 13）.

結(jié)合上面對(duì)3k取模13情況的討論，有

n=2p-1（2p-1）=24k+2（24k+3-1）≡3k·22（3k·23-1）≡2，3，8（mod 13）.

綜上所述，偶完全數(shù)n=2p-1（2p-1）取模13只滿足n=2p-1（2p-1）≡1，2，3，6，8，10（mod 13）.所以，若正偶數(shù)n滿足n≡0，4，5，7，9，11，12（mod 13），則n不是完全數(shù). 證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1] 徐品方. 魅力無(wú)窮的完全數(shù)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)， 2000，65（10）：39-41.

[2] 吳振奎. 麥森素?cái)?shù)與完全數(shù)[J]. 中等數(shù)學(xué)，1999，18（4）：19-20.

[3] 王紹恒，劉水強(qiáng). 完全數(shù)與偽完全數(shù)[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23（2）：33-36.

[4] 田 媛.第49個(gè)超大梅森素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)超2200萬(wàn)位[EB/OL].（2016-01-21）[2016-03-14].http：//world.gmw.cn/2016-01/21/content_18593014.htm.

[5] Guy R K. 數(shù)論中未解決的問(wèn)題[M].張明堯，譯. 北京：科學(xué)出版社，2003.

[6] DICKSON L E. History of theory of number[M]. Amsterdam： North-Holland Pub Co， 1919.

[7] MCDANIEL W L， HAGIS P. Some results concerning nonexistence of odd perfect numbers of the form pαm2β[J]. J Fibonnacci Quart， 1975，13（1）：25-28.

[8] IANNUCCI D E， SORLI R M. On the total number of prime factors of an odd perfect number [J]. Math Comput， 2003，72（224）：2077-2084.

[9] LUCA F. The anti-social Fermat number [J]. Am Math Monthly， 2000，107（2）：171-173.

[10] 沈忠華. 關(guān)于親和數(shù)和完全數(shù)的一個(gè)注記[J]. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23（2）：250-252.

[11] 楊仕椿. 形如n=πα32βQ2β的奇完全數(shù)[J].阿壩師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2006，23（4）：120-122.

[12] SHEN Z H， YU X Y. A note on amicable number[J]. 數(shù)學(xué)雜志，2008，28（2）：141-144.

[13] STARNI P. On some properties of the Eulers factor of certain odd perfect numbers[J]. J. Numb Theor， 2006，116（2）：483-486.

[14] 朱玉揚(yáng). 奇完全數(shù)的幾個(gè)命題[J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展，2011，40（5）：595-598.