Delta機(jī)器人綜合位置誤差研究及其耦合特性分析

鄭坤明， 張秋菊

(1.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 無錫，214122) (2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 無錫，214122)

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Delta機(jī)器人綜合位置誤差研究及其耦合特性分析

鄭坤明1,2， 張秋菊1,2

(1.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 無錫，214122) (2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 無錫，214122)

以Delta機(jī)器人為分析對(duì)象，研究了動(dòng)平臺(tái)的位置誤差模型，并對(duì)誤差源的耦合特性進(jìn)行了分析。首先，利用從動(dòng)臂的位置特性，依據(jù)幾何空間矢量法，建立了Delta機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差模型；其次，以數(shù)理統(tǒng)計(jì)與空間矢量原理為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出Delta機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙誤差模型；然后，基于空間有限元理論，在建立系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上建立了其柔性誤差模型；綜合考慮這3種誤差源，建立了Delta機(jī)器人綜合位置誤差模型；最后，利用Adams與Workbench聯(lián)合仿真、Matlab數(shù)值計(jì)算和FARO激光跟蹤儀的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)驗(yàn)證了位置誤差模型的正確性，并對(duì)誤差源的耦合特性進(jìn)行了分析，闡述了方向位置誤差與坐標(biāo)軸方位之間的關(guān)系。結(jié)果表明，影響Delta機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)位置誤差的各個(gè)誤差源間并不是簡(jiǎn)單的疊加，而是具有明顯的耦合特性，并且動(dòng)平臺(tái)方向位置誤差會(huì)隨著坐標(biāo)軸方位的變化而變化。

Delta機(jī)器人； 機(jī)構(gòu)誤差模型； 間隙誤差模型； 柔性誤差模型； 綜合位置誤差； 耦合特性

引 言

末端執(zhí)行器的位置精度是評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)器人性能的重要指標(biāo)，但是目前尚未得到較為完善的解決[1-4]。隨著工業(yè)水平的提高，并聯(lián)機(jī)器人向著高速、輕量化方向發(fā)展，影響其末端執(zhí)行器位置精度的因素越來越復(fù)雜。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的位置精度與補(bǔ)償方法[5]進(jìn)行了大量的研究。Chen等[6]通過建立一種四軸式Delta機(jī)器人誤差模型，對(duì)影響末端執(zhí)行器位置精度的機(jī)構(gòu)誤差源進(jìn)行了靈敏度分析。文獻(xiàn)[7-13]研究了關(guān)節(jié)間隙對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置誤差的影響。Chen等[14]系統(tǒng)闡述了關(guān)節(jié)間隙對(duì)并聯(lián)機(jī)器人位置誤差的不確定性。Frisoli等[15]基于螺旋理論對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了誤差分析。Jokin等[16]研究了靜剛度對(duì)6-RUS并聯(lián)操作器位置精度的影響。Amir等[17]將動(dòng)平臺(tái)視為柔性體，研究了系統(tǒng)剛度對(duì)3-PSP并聯(lián)機(jī)器人精度的影響。Sébastien等[18-19]對(duì)一種3T1R并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了精度分析。但是，以上關(guān)于并聯(lián)機(jī)器人誤差研究還主要集中在各個(gè)單獨(dú)的誤差源領(lǐng)域，即假設(shè)末端執(zhí)行器的位置精度僅受到單一誤差源的影響，沒有全面考慮誤差源綜合效應(yīng)，忽略各個(gè)誤差源在運(yùn)行過程中的耦合特性。經(jīng)過前期的研究可知，全面考慮誤差源并對(duì)其進(jìn)行耦合特性分析，對(duì)改善控制策略及提高并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置精度具有重要的意義。

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者以Delta機(jī)器人為研究對(duì)象，全面考慮影響動(dòng)平臺(tái)位置精度的誤差來源，分別建立了Delta機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差模型、關(guān)節(jié)間隙誤差模型與柔性誤差模型。在此基礎(chǔ)上，對(duì)以上誤差源進(jìn)行了綜合研究，通過軟件仿真、數(shù)值計(jì)算與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行了耦合特性分析，所得出的耦合指標(biāo)為進(jìn)一步優(yōu)化控制策略、提高動(dòng)平臺(tái)的位置精度提供了新的途徑與重要依據(jù)。最后說明了各個(gè)方向位置誤差隨系統(tǒng)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸方位變化的關(guān)系。

1 Delta機(jī)器人系統(tǒng)描述與坐標(biāo)系的建立

Delta機(jī)器人的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，系統(tǒng)由靜平臺(tái)A1A2A3、動(dòng)平臺(tái)C1C2C3、主動(dòng)臂AiBi、從動(dòng)臂BiCi(i=1,2,3)組成。主動(dòng)臂與靜平臺(tái)之間用轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)連接，主動(dòng)臂與從動(dòng)臂、從動(dòng)臂與動(dòng)平臺(tái)之間以虎克鉸的形式連接，為了方便加工裝配與理論分析，這里虎克鉸由兩個(gè)軸線相互垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)代替。在靜、動(dòng)平臺(tái)的中心處分別建立如圖1所示的系統(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ與局部坐標(biāo)系p-xyz。設(shè)動(dòng)平臺(tái)中心p相對(duì)于坐標(biāo)系O-XYZ的坐標(biāo)為(x,y,z)，主動(dòng)臂的分布角為θi，αi為主動(dòng)臂輸入角度，la和lb分別為主、從動(dòng)臂的長(zhǎng)度，R和r分別為靜、動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑。

圖1 Delta機(jī)器人的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of Delta robot

2 Delta機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差模型

機(jī)構(gòu)誤差是產(chǎn)生Delta機(jī)器人末端執(zhí)行器——?jiǎng)悠脚_(tái)位置誤差的重要來源，本部分將利用從動(dòng)臂連接主動(dòng)臂輸入端與動(dòng)平臺(tái)輸出端的位置特性，以從動(dòng)臂為中間媒介，推導(dǎo)其在三維空間中的位置矢量，依據(jù)幾何空間矢量法，建立Delta機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差模型。

這里，將Delta機(jī)器人的所有桿件視為剛性體，忽略其彈性變形，僅考慮它們的加工裝配誤差即機(jī)構(gòu)誤差。為了便于分析，將3組平行四邊形形式的從動(dòng)臂簡(jiǎn)化為3根剛性連桿BiCi，如圖2所示。

圖2 等效從動(dòng)臂Fig.2 Equivalent driven arm

(1)

設(shè)ubi為Ci指向Bi的單位矢量，則對(duì)于第i條支鏈的從動(dòng)臂有l(wèi)biubi=Ci-Bi，即

(2)

對(duì)式(2)兩端求微分得

(3)

(4)

等式(4)左邊兩項(xiàng)具體表達(dá)形式如下，左邊第1項(xiàng)為

由機(jī)器人的微分關(guān)系[20]知：dubi=Δubiubi，其中

左邊第2項(xiàng)為

(5)

(6)

考慮到Delta機(jī)器人具有3條支鏈，將式(6)寫成如下形式

(7)

令

又因?yàn)?/p>

Δrsinθi+rΔθdicosθi+ΔymΔzm]T

將含有動(dòng)平臺(tái)的位置誤差項(xiàng)分離出來可得

則

令

將式(7)整理，可進(jìn)一步表示為

ΔLb=2J1Δpm+J2ΔV

(8)

將式(8)整理為動(dòng)平臺(tái)位置誤差的顯式形式

Δpm=JmΔem

(9)

至此，建立了Delta機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差模型。其中：Jm，Δem分別為機(jī)構(gòu)誤差傳遞矩陣與機(jī)構(gòu)誤差輸入矩陣。

3 Delta機(jī)器人間隙誤差模型

Delta機(jī)器人由多根桿件通過轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)相連接，由于加工和裝配過程中存在誤差，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)處會(huì)不可避免地出現(xiàn)間隙，關(guān)節(jié)間隙對(duì)動(dòng)平臺(tái)的位置精度有著不可忽視的影響。關(guān)節(jié)間隙隨機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化而變化，對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置精度的影響具有不確定性[21]?；诖?，本部分將以數(shù)理統(tǒng)計(jì)與空間矢量原理為基礎(chǔ)，研究關(guān)節(jié)間隙對(duì)Delta機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)位置精度的影響。為便于分析，這里挑選Delta機(jī)器人的任一支鏈作為研究對(duì)象，即i為1,2,3中的任一常數(shù)。

3.1 關(guān)節(jié)間隙模型

將關(guān)節(jié)間隙矢量分解在徑向與軸向方向上，可得徑向間隙矢量Cirj與軸向間隙矢量Ciaj。Cirj與Ciaj隨著Delta機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變?cè)陉P(guān)節(jié)徑向與軸向隨機(jī)跳動(dòng)，其二維投影示意圖如圖3所示。其中：Ci1j，Ci2j分別表示關(guān)節(jié)間隙的外圓圓心與內(nèi)圓圓心；eij為關(guān)節(jié)間隙外圓柱左端面的圓心點(diǎn)。

圖3 關(guān)節(jié)間隙的投影示意圖Fig.3 Schematic diagram of the projection of the joint clearance

為反映關(guān)節(jié)間隙矢量隨機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的隨機(jī)性與不確定性，需根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)在直角坐標(biāo)系中建立其概率密度函數(shù)。對(duì)徑向間隙矢量Cirj，設(shè)坐標(biāo)系原點(diǎn)為間隙外圓圓心Ci1j，并假定其分布為正態(tài)分布，可得其概率密度firj(xirj,yirj)為

firj(xirj,yirj)=

(10)

對(duì)于軸向間隙矢量Ciaj，設(shè)其坐標(biāo)系原點(diǎn)為關(guān)節(jié)間隙外圓柱左端面的圓心點(diǎn)eij，其概率密度fiaj(xiaj)為

(11)

至此，建立了一般轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙變量模型。

3.2 Delta機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)誤差分布函數(shù)

取出Delta機(jī)器人的一條支鏈進(jìn)行分析，忽略除關(guān)節(jié)間隙之外的誤差源，可得支鏈結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。

圖4 單支鏈關(guān)節(jié)間隙模型Fig.4 The joint clearance model of single chain

由圖4所示，關(guān)節(jié)Ai，Bi，Ci在同一平面上，將其命名為平面1；將關(guān)節(jié)bi1，bi2，ci1，ci2所在的平面命名為平面2。將Ai，Bi，Ci，bi1，bi2，ci1和ci2依次標(biāo)為1～7號(hào)關(guān)節(jié)，其徑、軸向關(guān)節(jié)間隙矢量分別為Cirj和Ciaj(j=1，2，…，7)。pic為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)所在的實(shí)際位置，pic0表示動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的理想位置。這樣，在不考慮其他類型誤差的情況下，可將Delta機(jī)器人支鏈中的關(guān)節(jié)分解到兩組平面內(nèi)，進(jìn)行關(guān)節(jié)間隙的分析，然后再將分析的結(jié)果矢量進(jìn)行空間合成。依據(jù)支鏈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可得如下的矢量關(guān)系式[10]

(12)

由式(10)、式(12)可得到由徑向間隙引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差的概率密度函數(shù)

(13)

其中：cr為徑向間隙的最大值。

根據(jù)式(11)、式(12)可得，由軸向間隙引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差的概率密度函數(shù)為

(14)

其中：ca為徑向間隙的最大值。

根據(jù)式(13)、式(14)可得，由關(guān)節(jié)間隙引起的動(dòng)平臺(tái)位置誤差分布函數(shù)為

(15)

其中：S為動(dòng)平臺(tái)位置誤差分布區(qū)域(為了計(jì)算分析的方便，通常假定S為空間球體區(qū)域)

由以上分析可知，當(dāng)給定關(guān)節(jié)間隙的具體值時(shí)，可求得動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)出現(xiàn)某個(gè)位置誤差值的概率，即由關(guān)節(jié)間隙引起的動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位置誤差是一個(gè)不確定的值，具有隨機(jī)性。

3.3 Delta機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙誤差模型

利用D-H方法建立Delta機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙與動(dòng)平臺(tái)位置誤差之間的映射關(guān)系[12]

Δpc=JcΔec

(16)

根據(jù)3.1與3.2節(jié)的分析，并結(jié)合式(15)和式(16)，將由關(guān)節(jié)間隙引起的動(dòng)平臺(tái)的位置誤差進(jìn)行綜合，可得到動(dòng)平臺(tái)位置誤差出現(xiàn)某個(gè)具體數(shù)值的概率。

當(dāng)給定關(guān)節(jié)間隙的具體值時(shí)，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)位置誤差出現(xiàn)某一數(shù)值是一個(gè)概率事件，為便于分析，取Δpc作為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)位置誤差。至此，建立了Delta機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙的誤差模型。

4 Delta機(jī)器人柔性誤差模型

為提高Delta機(jī)器人的運(yùn)行效率，其桿件越來越輕質(zhì)化，在高速、重載工況下，這將會(huì)引起桿件的彈性變形[22]，降低動(dòng)平臺(tái)的位置精度。本部分將在建立Delta機(jī)器人彈性動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，建立其柔性誤差模型，分析桿件彈性變形對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響。

4.1 支鏈彈性動(dòng)力學(xué)模型

4.1.1 單元坐標(biāo)系中支鏈彈性動(dòng)力學(xué)方程

選擇圓形截面、環(huán)形截面空間梁?jiǎn)卧鳛橹?、從?dòng)臂基本梁?jiǎn)卧Ｐ?。因靜、動(dòng)平臺(tái)與轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的剛度遠(yuǎn)大于主、從動(dòng)臂的剛度，將靜、動(dòng)平臺(tái)與轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)看做剛性元件，忽略其運(yùn)動(dòng)過程中的彈性變形；主、從動(dòng)臂視為柔性元件，考慮其在運(yùn)動(dòng)過程中的彈性變形。

將主動(dòng)臂視為空間懸臂梁，則節(jié)點(diǎn)Ai的彈性位移和轉(zhuǎn)角位移均為零。因?yàn)槔@轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向的曲率為零，則主動(dòng)臂的廣義坐標(biāo)為10個(gè)，從動(dòng)臂的廣義坐標(biāo)為14個(gè)。主、從動(dòng)臂的空間梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ腿鐖D5，6所示。

根據(jù)空間梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)恿W(xué)方程得主、從動(dòng)臂的彈性動(dòng)力學(xué)方程

(17)

(18)

圖5 主動(dòng)臂空間梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ虵ig.5 Space finite element model of active arm

圖6 從動(dòng)臂空間梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ虵ig.6 Space finite element model of driven arm

將式(17)、式(18)組合可得支鏈的動(dòng)力學(xué)方程

(19)

4.1.2 系統(tǒng)坐標(biāo)系中支鏈彈性動(dòng)力學(xué)方程

以下分析中以支鏈3為例，系統(tǒng)坐標(biāo)系中支鏈的有限元模型如圖7所示。其中：φi為主動(dòng)臂AiBi與從動(dòng)臂平面bi1bi2ci1ci2的夾角；BiDi為主動(dòng)臂的延長(zhǎng)線在從動(dòng)臂平面上的投影；ψi為從動(dòng)臂橫軸bi1bi2與BiCi的夾角；φi為從動(dòng)臂與BiDi的夾角；φi，ψi和φi都是隨Delta機(jī)器人的位形變化的角度值?？蓪?duì)Delta機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到它們的變化規(guī)律

圖7 系統(tǒng)坐標(biāo)中支鏈的有限元模型Fig.7 Branched chain’s finite element model in system coordinates

(20)

(21)

則系統(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ到主動(dòng)臂單元坐標(biāo)系A(chǔ)i-xyz的姿態(tài)變換矩陣為

(22)

系統(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ到從動(dòng)臂單元坐標(biāo)系Bi-xyz的姿態(tài)變換矩陣為

(23)

其中：Ri211=cosφi(sinφisinαi+cosφicosαicosθi+sinφicosαisinθi)；Ri212=sinφicosθi-cosφicosφisinθi；Ri213=sinφisinαisinθi-cosφi(sinφisinαi-cosφicosθisinαi)；Ri221=cosφicosαisinθi-sinφi×(sinφisinαi+cosφicosαicosθi)；Ri222=cosφicosθi+cosφisinφisinθi；Ri223=sinφisinφicosαi-cosφicosθisinαi+cosφisinαisinθi；Ri231=sinφicosαicosθi-cosφisinαi；Ri232=sinφisinθi；Ri233=cosφicosαi+sinφicosθisinαi。

由式(22)、式(23)可得支鏈i的單元廣義坐標(biāo)與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

δi=BiUi

(24)

其中：Bi∈R24×21為支鏈i的單元廣義坐標(biāo)與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)之間的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣。

將式(24)代入式(19)，得到支鏈i在系統(tǒng)坐標(biāo)下的彈性動(dòng)力學(xué)方程為

(25)

4.2 Delta機(jī)器人系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)模型

4.2.1 系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)方程

(26)

將式(26)代入式(25)得

(27)

通過運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件與式(27)可得Delta機(jī)器人整機(jī)系統(tǒng)的剛?cè)峄旌蠌椥詣?dòng)力學(xué)方程

(28)

4.2.2 Delta機(jī)器人柔性誤差模型

對(duì)式(36)變形可得

(29)

5 Delta機(jī)器人綜合位置誤差仿真與實(shí)驗(yàn)及其耦合特性分析

Delta機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的綜合位置誤差是受機(jī)構(gòu)誤差、間隙誤差與柔性誤差共同影響的。由于運(yùn)行過程中各個(gè)支鏈結(jié)構(gòu)的耦合性，使得動(dòng)平臺(tái)的綜合位置誤差不僅是以上3種類型誤差源的簡(jiǎn)單疊加。本部分將結(jié)合機(jī)構(gòu)誤差、間隙誤差與柔性誤差模型，對(duì)動(dòng)平臺(tái)的綜合位置誤差進(jìn)行研究，并通過軟件仿真、數(shù)值計(jì)算與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)對(duì)其耦合特性進(jìn)行分析。

5.1 Delta機(jī)器人綜合位置誤差

經(jīng)分析，得到包含機(jī)構(gòu)誤差、間隙誤差與柔性誤差的綜合彈性動(dòng)力學(xué)模型

(30)

對(duì)式(30)變形得

(31)

同樣地，利用Newmark法對(duì)綜合彈性位移進(jìn)行求解，取出列陣Us第55，56，57行，得包含機(jī)構(gòu)誤差、間隙誤差與柔性誤差在內(nèi)的動(dòng)平臺(tái)的綜合位置誤差

5.2 Delta機(jī)器人綜合位置誤差仿真與試驗(yàn)

取動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)p=(x,y,z)的運(yùn)動(dòng)軌跡為

(32)

已知系統(tǒng)參數(shù)如下：主動(dòng)臂與從動(dòng)臂的材質(zhì)均為鋁合金，密度為ρ=2 700 kg/m3，拉壓彈性模量E=7.0×1010N/m2，剪切彈性模量G=2.65×1010N/m2；la=0.2 m，lb=0.5 m，R=0.15 m，r=0.085 m，圓形截面主動(dòng)臂半徑D1=0.025 m，環(huán)形截面的從動(dòng)臂外徑D2=0.016 m，內(nèi)徑d=0.014 m；動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量mp=1.087 kg；λ1=2.0×10-3，λ2=3.0×10-4。Delta機(jī)器人的機(jī)構(gòu)誤差如表1所示，各個(gè)關(guān)節(jié)的最大間隙如表2所示，這里3條支鏈對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)的最大間隙相同。

表1 Delta機(jī)器人的機(jī)構(gòu)誤差

表2 Delta機(jī)器人的最大關(guān)節(jié)間隙

Tab.2 The maximum joint clearance of Delta robot

mm

為了分別驗(yàn)證前述所建機(jī)構(gòu)誤差模型、間隙誤差模型與柔性誤差模型的正確性，首先，根據(jù)此前分析，在Matlab中編程運(yùn)算，得到Delta機(jī)器人分別僅具有機(jī)構(gòu)誤差、間隙誤差與柔性誤差時(shí)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差的數(shù)值計(jì)算結(jié)果；然后，在creo2.0中建立Delta機(jī)器人簡(jiǎn)化三維模型，將其分別導(dǎo)入Adams與Ansys/ Workbench。在Adams中添加驅(qū)動(dòng)和約束，運(yùn)用設(shè)計(jì)變量法在Delta機(jī)器人模型上分別加入機(jī)構(gòu)誤差與間隙誤差，得到當(dāng)模型僅具有機(jī)構(gòu)誤差與間隙誤差時(shí)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的軟件仿真結(jié)果。在Workbench中，將Delta機(jī)器人的主動(dòng)臂與從動(dòng)臂進(jìn)行柔性化，如圖8所示。利用柔性化后的桿件代替Adams中的剛性桿件，得到當(dāng)Delta機(jī)器人模型僅具有柔性誤差時(shí)動(dòng)平臺(tái)的位置誤差的軟件仿真結(jié)果，將數(shù)值計(jì)算與軟件仿真結(jié)果相對(duì)比。

圖8 Delta機(jī)器人的桿件柔性化Fig.8 Rod flexible of Delta robot

為了證明Delta機(jī)器人的機(jī)構(gòu)誤差、間隙誤差與柔性誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響并不是簡(jiǎn)單的疊加作用，而是具有較強(qiáng)的耦合特性，將機(jī)構(gòu)誤差、間隙誤差與柔性誤差一起施加到Adams中的Delta機(jī)器人模型上，如圖9所示，得到具有全部誤差源的動(dòng)平臺(tái)軟件仿真綜合位置誤差。

圖9 Delta機(jī)器人在Adams中的模型Fig.9 Delta robot′s model in Adams

根據(jù)5.1節(jié)中求得的綜合誤差方程，利用Newmark法在Matlab中數(shù)值求解，得到動(dòng)平臺(tái)數(shù)值計(jì)算綜合位置誤差。

根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)，加工裝配出Delta機(jī)器人物理樣機(jī)。利用FARO Vantage激光跟蹤儀作為測(cè)量動(dòng)平臺(tái)綜合位置誤差的儀器，如圖10所示。對(duì)激光跟蹤儀測(cè)得的動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際位置數(shù)據(jù)進(jìn)行導(dǎo)出處理，得到動(dòng)平臺(tái)實(shí)際綜合位置誤差。

圖10 FARO激光跟蹤儀測(cè)量物理樣機(jī)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.10 FARO laser tracker measuring moving platform trajectory of the physical prototype

將動(dòng)平臺(tái)綜合位置誤差的軟件仿真結(jié)果、數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果導(dǎo)入到Matlab中，并與直接疊加的動(dòng)平臺(tái)位置誤差相比較，如圖11～圖13所示。

圖11 x方向位置誤差Fig.11 The position error of x axis direction

圖12 y方向位置誤差Fig.12 The position error of y axis direction

圖13 z方向位置誤差Fig.13 The position error of z axis direction

由圖11～圖13可以看出，軟件仿真、數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果的曲線雖然大體吻合，但還是具有一定的偏離，分析其原因主要如下：

1) 為了建模與求解的方便，對(duì)Delta機(jī)器人在Adams中的多體動(dòng)力學(xué)模型部分零部件進(jìn)行了簡(jiǎn)化，因此其與實(shí)際物理樣機(jī)的結(jié)構(gòu)形式并不完全一致；

2) 在對(duì)系統(tǒng)的彈性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行分析時(shí)，使用了Newmark法對(duì)其進(jìn)行求解，結(jié)果存在一定的數(shù)值計(jì)算誤差；

3) 物理樣機(jī)搭建在由型材組成的安裝框架上，雖然安裝框架已由地腳螺栓固定在地面上，但是在運(yùn)行過程中，型材的輕微抖動(dòng)會(huì)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。

5.3 綜合位置誤差耦合特性分析

由圖11～圖13可以看出，動(dòng)平臺(tái)綜合位置誤差的軟件仿真結(jié)果、數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果大致吻合，但與直接疊加的位置誤差有著明顯的區(qū)別。在驗(yàn)證了所建綜合位置誤差模型正確的同時(shí)，也說明影響Delta機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的位置誤差的誤差源具有較明顯的耦合特性。

為定量描述各個(gè)誤差源對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的耦合作用，這里定義誤差耦合指標(biāo)。根據(jù)式(30)、式(31)可知，Delta機(jī)器人綜合彈性動(dòng)力學(xué)剛度矩陣Ks能唯一表達(dá)各個(gè)誤差源耦合關(guān)系。定義λs[8]為各個(gè)誤差源的耦合指標(biāo)

(33)

其中：σk為矩陣Ks的奇異值；λs描述了各個(gè)誤差源對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的耦合量化關(guān)系。

圖14所示為動(dòng)平臺(tái)按照軌跡式(32)運(yùn)行時(shí)λs隨時(shí)間的變化規(guī)律。

圖14 耦合指標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig.14 Change regulation of the coupling index with time

耦合指標(biāo)反映了各個(gè)誤差源對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置誤差的耦合效應(yīng)。由圖14可看出，Delta機(jī)器人的耦合指標(biāo)并不像文獻(xiàn)[8]描述的那樣具有明顯的余弦規(guī)律，這是因?yàn)楸狙芯康腄elta機(jī)器人屬于并聯(lián)機(jī)器人，運(yùn)動(dòng)過程中各個(gè)支鏈之間存在很強(qiáng)的耦合作用，導(dǎo)致耦合指標(biāo)沒有呈現(xiàn)很明顯的規(guī)律性。

根據(jù)工作任務(wù)得到耦合指標(biāo)λs隨動(dòng)平臺(tái)工作軌跡的變化規(guī)律，這對(duì)改善系統(tǒng)的控制策略和提高動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)精度具有非常重要的意義。例如，在位置誤差較大處可利用各個(gè)誤差源的耦合效應(yīng)對(duì)其進(jìn)行控制和消減，也可作為尺度綜合的優(yōu)化目標(biāo)，同時(shí)，可為待加工零件制定合適的公差提供指導(dǎo)。

另外發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)運(yùn)行過程中， 動(dòng)平臺(tái)y方向的位置誤差平均值大于x的z方向的位置誤差平均值，為了分析其原因，設(shè)y軸與OA3的夾角為β，如圖15所示。

圖15 改變?chǔ)轮礔ig.15 Chang value β

令y軸繞z軸旋轉(zhuǎn)，變化β的值，改變?cè)枷到y(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ的y坐標(biāo)軸方位，令β分別為60°，45°，30°，15°和0°。在Adams中做仿真分析，發(fā)現(xiàn)y方向的位置誤差平均值隨著β角的減小而減小，當(dāng)β=0°時(shí)，y方向位置誤差曲線幾乎與原始系統(tǒng)坐標(biāo)系x方向的位置誤差曲線重合。究其原因主要為：

1) 動(dòng)、靜平臺(tái)各有3個(gè)中心對(duì)稱的鉸鏈點(diǎn)Ai，兩兩鉸鏈點(diǎn)之間相當(dāng)于組成一個(gè)簡(jiǎn)支梁，而越靠近簡(jiǎn)支梁的中間點(diǎn)部位，剛度逐漸減小，彈性位移逐漸增加；

2) 在上面所述的簡(jiǎn)支梁中間點(diǎn)附近的位置誤差受兩個(gè)鉸鏈支反力的共同作用，在動(dòng)平臺(tái)運(yùn)行過程中，簡(jiǎn)支梁中間點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生位置誤差的耦合與疊加，從而導(dǎo)致位置誤差的增加。

6 結(jié) 論

1) 利用從動(dòng)臂的位置特性，導(dǎo)出其在三維空間中的位置矢量，建立了Delta機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差模型。以數(shù)理統(tǒng)計(jì)與空間矢量原理為基礎(chǔ)，研究關(guān)節(jié)間隙對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置精度影響的隨機(jī)性，推導(dǎo)出Delta機(jī)器人間隙誤差模型。利用有限元理論，充分考慮主、從動(dòng)臂的空間運(yùn)動(dòng)特性，在建立Delta機(jī)器人彈性動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，建立了其柔性誤差模型。

2) 將柔性誤差模型按照剛性、柔性及剛?cè)狁詈喜糠值脑瓌t進(jìn)行分解，利用由于機(jī)構(gòu)誤差與關(guān)節(jié)間隙的存在導(dǎo)致的剛體廣義力變化，將這3個(gè)誤差源進(jìn)行綜合，推導(dǎo)出Delta機(jī)器人綜合位置誤差模型。

3) 利用軟件仿真、數(shù)值計(jì)算與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)驗(yàn)證了位置誤差模型的正確性，同時(shí)說明了影響Delta機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)位置精度的各種誤差源具有較明顯的耦合特性。通過定義誤差源的耦合指標(biāo)，為進(jìn)一步優(yōu)化控制策略，提高動(dòng)平臺(tái)的位置精度提供了新的途徑。通過對(duì)系統(tǒng)坐標(biāo)系進(jìn)行變換，說明各個(gè)方向位置誤差的變化與系統(tǒng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方位具有密切的關(guān)系。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.03.024

教育部中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專項(xiàng)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(JUSRP51316B)

2015-04-07；

2015-05-30

TH113； TH115

鄭坤明，男，1989年8月生，碩士。主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人優(yōu)化和機(jī)械動(dòng)態(tài)分析。 E-mail: ZhengKunming_111@163.com