非線性共振聲譜法分析非對(duì)稱邊界條件下的一維缺陷

劉曉宙劉杰惠毛一葳何愛軍

（1.近代聲學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京大學(xué)聲學(xué)研究所 南京 210093）

（2. 南京大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院 南京 210093）

非線性共振聲譜法分析非對(duì)稱邊界條件下的一維缺陷

劉曉宙1劉杰惠1毛一葳1何愛軍2

（1.近代聲學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京大學(xué)聲學(xué)研究所 南京 210093）

（2. 南京大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院 南京 210093）

線性共振聲譜法可以用來檢測(cè)含有線性彈性張量的物體缺陷，根據(jù)共振頻率偏移、幾何形狀和密度共同確定在樣本中的位置。但是如果是微小缺陷，應(yīng)力和應(yīng)變會(huì)呈現(xiàn)非線性關(guān)系，因此非線性共振聲譜法是通過研究振幅和共振頻率的關(guān)系來確定缺陷的位置和非線性的程度。本文采用非線性共振聲譜法分析非對(duì)稱邊界條件下的缺陷，給出非對(duì)稱邊界經(jīng)典非線性和非經(jīng)典非線性下的共振頻率偏移及高次諧波表達(dá)式，并且數(shù)值模擬結(jié)果表明此方法可以清楚分辨左、右缺陷的位置。

非對(duì)稱邊界 非線性共振聲譜法 非經(jīng)典非線性 經(jīng)典非線性

超聲檢測(cè)法的優(yōu)點(diǎn)是穿透能力較大，對(duì)平面型缺陷如裂紋、夾層等，探傷靈敏度較高，并可測(cè)定缺陷的深度和相對(duì)大小，設(shè)備輕便，操作安全，易于實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化檢驗(yàn)。缺點(diǎn)是不易檢查形狀復(fù)雜的工件，要求被檢查表面有一定的光潔度，并需有耦合劑充填滿探頭和被檢查表面之間的空隙，以保證充分的聲耦合。對(duì)于有些粗晶粒的鑄件和焊縫，因易產(chǎn)生雜亂反射波而較難應(yīng)用。此外，超聲檢測(cè)還要求有一定經(jīng)驗(yàn)的檢驗(yàn)人員來進(jìn)行操作和判斷檢測(cè)結(jié)果。

超聲無損評(píng)價(jià)有線性和非線性兩種評(píng)價(jià)方法，其中線性方面的研究在國(guó)內(nèi)外比較多，也取得了一定成果并應(yīng)用于生產(chǎn)檢測(cè)中。而非線性檢測(cè)則是近些年才發(fā)展起來的，受到許多科學(xué)工作者關(guān)注的一種新方法。線性方法是相對(duì)較為傳統(tǒng)的檢測(cè)技術(shù)，主要有超聲導(dǎo)波技術(shù)、聲發(fā)射新技術(shù)、新型非接觸超聲換能方法及超聲信息處理與模式識(shí)別等方法。導(dǎo)波技術(shù)對(duì)材料的SH模式導(dǎo)波、蘭姆波、棒中導(dǎo)波等的簡(jiǎn)要分析來進(jìn)行無損檢測(cè)。管狀結(jié)構(gòu)是超聲導(dǎo)波可發(fā)揮其特長(zhǎng)的對(duì)象，用該技術(shù)可對(duì)各種管道進(jìn)行長(zhǎng)距離一次性檢測(cè)。聲發(fā)射技術(shù)是一種被動(dòng)式檢測(cè)技術(shù)，至今仍用于導(dǎo)彈殼體與潛艇的水壓試驗(yàn)，以此對(duì)構(gòu)件的安全性能與失效行為進(jìn)行動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)與評(píng)價(jià)。還有一種新型的非接觸超聲換能方法，主要有電磁聲方法、靜電耦合方法、空氣耦合及激光超聲方法，由于傳統(tǒng)的方法需要使用耦合劑或采用水浸法來減少超聲波在空氣中的損失，因此許多物品不能用傳統(tǒng)方法檢測(cè)，這時(shí)就需要用非接觸超聲檢測(cè)，它具有非接觸，非侵入，完全無損的特點(diǎn)，使該技術(shù)有很好的應(yīng)用前景。而在檢測(cè)中的數(shù)字信號(hào)處理和數(shù)字識(shí)別能分離一些復(fù)雜的信號(hào)，減少許多誤差。

長(zhǎng)期以來，在研究聲學(xué)的各種問題時(shí)，一直都是在線性聲學(xué)的理論框架內(nèi)進(jìn)行和發(fā)展的。然而，在某些情況下，基于線性聲學(xué)理論下的結(jié)果會(huì)帶來較大誤差，出現(xiàn)用線性聲學(xué)無法解釋的非線性現(xiàn)象。因此，在近年來，非線性聲學(xué)得到科學(xué)家的廣泛關(guān)注并獲得快速發(fā)展。

非線性聲學(xué)是一門既古老又年輕的學(xué)科，隨著非線性聲波信息價(jià)值的不斷被發(fā)現(xiàn)，基于非線性聲學(xué)的材料缺陷檢測(cè)技術(shù)已獲得越來越多的應(yīng)用[1]。疲勞會(huì)使材料內(nèi)部發(fā)生微結(jié)構(gòu)的變化即出現(xiàn)不均勻性，并由于裂紋的萌生而存在大量界面，最近的理論和實(shí)驗(yàn)研究表明，所有這些都會(huì)對(duì)聲二次諧波的非線性激發(fā)作出貢獻(xiàn)，因此有理由認(rèn)為，材料的非線性聲學(xué)特性將隨材料疲勞程度的不同而明顯變化，非線性二次諧波激發(fā)技術(shù)是一種很有前途的無損疲勞檢測(cè)方法[2]。

在二階近似的條件下，固體的非線性是用若干個(gè)三階彈性常數(shù)來描述的，對(duì)于各向同性的彈性體而言，有三個(gè)獨(dú)立的三階彈性常數(shù)。三階或更高階彈性常數(shù)是表征固體性質(zhì)的宏觀參數(shù)，它不但與固體結(jié)構(gòu)有緊密的聯(lián)系，而且將成為缺陷、疲勞等無損評(píng)價(jià)的新參數(shù)。裂紋的經(jīng)典非線性效應(yīng)是對(duì)裂紋的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系按照冪級(jí)數(shù)展開而得到的[3]。筆者分析彈性滯后效應(yīng)及其本構(gòu)方程，定性地講，彈性之后類似于錯(cuò)位的Granato-Lucke滯后效應(yīng)[4]。非線性效應(yīng)不僅可以描述彈性滯后效應(yīng)，還可以描述非彈性滯后效應(yīng)。此類非線性效應(yīng)與經(jīng)典非線性效應(yīng)有一個(gè)顯著的區(qū)別在于，由滯后效應(yīng)所引起的各個(gè)高次諧波的大小與基波的幅度成平方關(guān)系，而經(jīng)典非線性效應(yīng)中，第n次諧波與基波成n次方的關(guān)系。由此，可以很容易地判斷裂紋所表現(xiàn)出的非線性關(guān)系為經(jīng)典的還是非經(jīng)典的。其他的裂紋非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系還包括雙線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系[5]，目前，對(duì)此類非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有很廣泛的研究，但是其缺點(diǎn)是其理論預(yù)言不會(huì)產(chǎn)生奇次諧波，而實(shí)驗(yàn)中卻發(fā)現(xiàn)三次諧波的存在。對(duì)固體的非線性現(xiàn)象引起人們極大的興趣，因?yàn)橐粊砜梢詫?duì)這些固體的聲非線性的機(jī)制進(jìn)行研究，還有望利用這些非線性方法來進(jìn)行無損檢測(cè)。這些方法的可行性是基于聲特性與結(jié)構(gòu)的缺陷有很強(qiáng)的依賴性。這些材料對(duì)聲的非線性響應(yīng)是對(duì)缺陷程度的很好的反映，特別是巖石和混凝土材料表現(xiàn)出的非線性和滯后效應(yīng)與一般或完好的材料相比有很大的不同[6]。共振聲譜法是由Migliori[7]等發(fā)展起來的，此技術(shù)是基于測(cè)量共振峰的頻率，它與自由懸掛的固體的密度、彈性模量、形狀有關(guān)。非線性共振聲譜法探討和分析振幅與共振頻率的依賴性，并利用這些信息來表征缺陷的位置和非線性的程度。這方面的例子有單模式的非線性共振譜法[8]，非線性波調(diào)制譜法[9]。劉曉宙等采用非線性方法對(duì)固體中的裂紋進(jìn)行了系統(tǒng)地研究[10-15]，Van Den Abeele將非線性共振譜法推廣到多模式的共振譜，主要是考慮模式之間的相互作用[16]，然而他所提出的方法無法解決對(duì)稱問題，即無法判斷缺陷是位于左端還是右端。本文筆者擴(kuò)展此方法來解決這一問題，即采用一端自由，一端固定的邊界條件，研究共振頻率的偏移和經(jīng)典、非經(jīng)典非線性所引起的高頻振幅。筆者發(fā)現(xiàn)這樣拓展的非線性共振聲譜法可以區(qū)分棒中左、右兩端的缺陷。

1 理論

可以假設(shè)一均勻介質(zhì)棒（棒的長(zhǎng)度為L(zhǎng), 密度為ρ，聲速為c）內(nèi)存在缺陷(缺陷的長(zhǎng)度為d,離聲源的距離為xd)(見圖1)。

圖1 共振棒的幾何示意

應(yīng)力σ和應(yīng)變?chǔ)诺年P(guān)系為:

式中：

ε=?xu；

Δε —— 應(yīng)變的幅度；

K —— 線性強(qiáng)度系數(shù)；

α —— 滯后非線性的強(qiáng)度；

β、δ —— 三階和四階彈性常數(shù)的組合代表經(jīng)典非線性。

對(duì)兩端自由的棒而言，對(duì)于經(jīng)典非線性，共振頻率的偏移與應(yīng)變的平方成正比。然而筆者發(fā)現(xiàn)決定共振頻率偏移的系數(shù)是關(guān)于棒中點(diǎn)對(duì)稱的，所以此方法無法分辨缺陷是位于左邊還是右邊。對(duì)于非經(jīng)典非線性而言，共振頻率的偏移與應(yīng)變成正比，而且也是關(guān)于棒中點(diǎn)對(duì)稱。

在有外力作用下F，考慮衰減后的位移u(x,t)的波動(dòng)方程[16]可以表示為：

尋求方程(2)的解，將u分解為變量x和時(shí)間t的函數(shù)的乘積。

這里 {ψi（x)},i=-∞，...，+∞是一系列的空間函數(shù)，{zi(t)},i=-∞，...，+∞為一系列的時(shí)間函數(shù)。

一端自由和一端固定的邊界條件為：

本征值為：

本征函數(shù)為：

將式（1）代入式（2）可得如下方程：

這里：

1.1 經(jīng)典立方非線性的解

m模式振幅所滿足的方程為：

這里：

因此，當(dāng)響應(yīng)振幅最大時(shí)的共振頻率可以近似表示為：

因此：

圖2(a)～圖2(d) 來源于立方非線性缺陷的非線性參數(shù)C1,2m+1隨缺陷位置的變化。

(a) C1,1—— 基波模式激發(fā)(m=0)；

(b) C1,3—— 第二模式激發(fā)(m=1);

(c) C1,5—— 第三模式激發(fā)(m=2);

(d) C1,7—— 第四模式激發(fā)(m=3)。

圖2 比例系數(shù)C1,2m+1與缺陷位置的關(guān)系

由圖2可見不同于兩自由邊界，C1,1在Xd=L處最大，而且C1,2m+1不再以中心為對(duì)稱。

m模式附近的正弦激發(fā)的諧波的振幅：

三次諧波滿足如下方程：

設(shè)：z3m=A3mcos(3Ωt+φ3m)經(jīng)計(jì)算可得：

這里：

可得到系數(shù)C3,2m+1,C5,2m+1:

圖3立方非線性引起的非線性參數(shù)C3,2m+1和 C5,2m+1隨共振棒中的缺陷位置的變化。

(a) C3,1——基波激發(fā)（m=0)；

(b) C3,3——第二模式激發(fā) (m=1)；

(c) C5,1——基波激發(fā)（m=0)；

(d) C5,3——第二模式激發(fā) (m=1)。

圖3 比例系數(shù)C3,2m+1和C5,2m+1與缺陷位置的關(guān)系

假定非線性為小量，共振頻率可以表示為:

這里：

由圖3可見C3,2m+1和C5,2m+1不再以棒的中點(diǎn)為對(duì)稱。

1.2 非經(jīng)典非線性的解

zm應(yīng)滿足如下方程：

圖4 比例系數(shù)X3,2m+1和X5,2m+1與缺陷位置的關(guān)系

圖4來源于滯后非線性的參數(shù)X1,2m+1隨共振棒中的缺陷的位置變化。

(a) X1,1——基波激發(fā)（m=0)；

(b) X1,3——第二模式激發(fā) (m=1)。

從圖4可以看到：X1,1與C1,1形狀類似，但它們的值比C1,1要小得多。

同樣在共振模式 ωm附近的三次和五次應(yīng)變振幅可表示為：

圖5(a)～圖5(d)來源于滯后非線性的參數(shù)X3,2m+1和X5,2m+1隨共振棒中的缺陷的位置變化。

(a) X3,1——基波激發(fā)（m=0)；

(b) X3,3——第二模式激發(fā) (m=1);

(c) X5,1——基波激發(fā)(m=0)；

(d) X5,3——第二模式激發(fā)(m=1)。

由圖5可見，X3,2m+1與C3,2m+1很相似，而X5,2m+1與C5,2m+1顯著不同。

1.3 整體多模式非線性共振聲譜法

對(duì)于以上的分析和計(jì)算，對(duì)任意特別模式的局部缺陷（不管是經(jīng)典還是非經(jīng)典），共振頻率的偏移與在這一模式下的應(yīng)變呈線性或平方關(guān)系。

因此可以寫下如下的表達(dá)式：

定義靈敏度函數(shù)：

這里：

為驗(yàn)證多模式的共振聲譜法，假定棒中存在兩個(gè)缺陷，一個(gè)為滯后非線性缺陷（α?=2000，d=L/50），位于50mm處，一個(gè)為經(jīng)典的立方非線性缺陷（=-105，d=L/100），位于72mm處。圖8說明靈敏度函數(shù)沿著棒中位置的空間分布，黑色代表預(yù)見的缺陷。圖8可見明顯的缺陷，位置與預(yù)計(jì)的一致，值得注意的是共振模式越多，缺陷的位置就越明顯和精確。

為證明此方法可以區(qū)別左、右兩端的缺陷，假定棒中有兩個(gè)缺陷，一個(gè)在左端（α?=2000，d=L/50），一個(gè)在右端（=-105，d=L/100），位置分別為50mm和220mm, 結(jié)果見圖9，圖中明顯可見左、右兩個(gè)缺陷，因此此方法可以清楚區(qū)別左、右兩邊的缺陷，比兩端自由邊界條件的方法要好。

圖6 靈敏度函數(shù)Ym隨模數(shù)的變化

圖7 靈敏度函數(shù)隨模數(shù)的變化

圖8 多模式的非線性共振聲譜法重建含有左邊兩個(gè)局部缺陷的棒：一個(gè)滯后非線性和一個(gè)經(jīng)典的立方非線性

圖9 多模式的非線性共振聲譜法重建含有左、右兩個(gè)局部缺陷的棒：一個(gè)滯后非線性和一個(gè)經(jīng)典的立方非線性(M=100)

2 結(jié)論

本文將多模式的非線性共振譜法拓展到非對(duì)稱邊界（一端自由和一端固定）。得到有經(jīng)典和非經(jīng)典非線性的缺陷棒中的共振頻率偏移和高次諧波的表達(dá)式。筆者發(fā)現(xiàn)此方法可以識(shí)別兩端自由邊界條件下無法識(shí)別的左、右兩邊的缺陷，此方法還可以將靈敏度函數(shù)擴(kuò)展到高維（二維和三維）。

[1] 劉曉宙，朱金林，尹昌，等．巖石等非線性介觀彈性固體材料的諧波特性的超聲研究[J]．物理學(xué)進(jìn)展，2006，26(3)：386-389.

[2] Solodov I，Wackerl J，Pfleider K，et al．Nonlinear self-modulation and subharmonic acoustic spectroscopy for damage detection and location[J]．Applied physics letters, 2004，84(26)：5386-5388.

[3] Cleofé Campos-Pozuelo，Christian Vanhille，Juan A. Gallego-Juárez，Nonlinear Elastic Behavior and Ultrasonic Fatigue of Metals[J]．Universality of Nonclassical Nonlinearity，2006，3：443-465.

[4] Nazarov V E，Kolpakov A B，Radostin A V．Amplitude Dependent Internal Friction and Generation of Harmonics in Granite Resonator[J]．Acoustical Physics，2009，55(1)：100-107.

[5] Debaditya Dutta，Hoon Sohn，Kent A．Harries，et al．A Nonlinear Acoustic Technique for Crack Detection in Metallic Structures[J]．Structural Health Monitoring，2009，8(3)：251-262．

[6] Nazarov V E，Ostrovsky L A，Soustova I A，et al．Nonlinear acoustics of microhomogeneous media[J]. Phys. Earth Planet. Inter, 1988, 50: 65-73．

[7] Migliori A，Sarrao J L．Resonant Ultrasound Spectroscopy: Applications to Physics，Materials Measurements and Nondestructive Evaluation[M]．Wiley：New York，1997.

[8] Nazarov V E，Ostrovskii L A，Soustova，I A，et al．Anomalous acoustic nonlinearity in metals[J]．Akust．Zh，1988，34：491-499．[English transl.: Sov．Phys．Acoust．1988，34，284-289].

[9] Antonets V A，Donskoy D M，Sutin A M. Nonlinearvibrodiagnostics of flaws in multilayered structures[J]．Mech．Compos．Mater，1986，15：934-937.

[10] Yulin Feng，Xiaozhou Liu，Jiehui Liu，et al．The nonlinear propagation of acoustic waves in a viscoelastic medium containing cylinder micropores[J]. Chinese Physics B，2009，18(9)：3909-3917.

[11] Dao Zhou，Xiaozhou Liu，Xiufen Gong，et al．Damage diagnostics of concrete by using non-classical nonlinear acoustics means[J]. Chinese Physics B，2009，18(5)：1989-1995.

[12] 朱金林，劉曉宙，周到，等．聲波在有裂紋的固體中的非經(jīng)典非線性聲傳播[J]．聲學(xué)學(xué)報(bào)，2009，34(3)：234-241.

[13] Li Quan，Xiaozhou Liu，Xiufeng Gong．Nonlinear nonclassical acoustic method for detecting the location of cracks[J]．Journal of Applied Physics，2012，112：054906.

[14] Jinlin Zhu, Ying Zhang, Xiaozhou Liu. Simulation of multi-cracks in solids using nonlinear elastic wave spectroscopy with a time-reversal process[J]．Wave Motion，2014, 51：146-156.

[15] Zhang Lue，Zhang Ying，Xiaozhou Liu，et al．Multi-cracks imaging using nonlinear nonclassical acoustic method[J]．Chinese Physics B，2014，23(10)：104301.

[16] Van Den Abeele K．Multi-mode nonlinear resonance ultrasound spectroscopy for defect imaging: An analytical approach for the one-dimensional case[J]. J．Acoust．Soc．Am．，2007，122(1)：73-90.

[國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（批準(zhǔn)號(hào)：2016YFF20300)]

[國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)11274166，11474160）]

[聲場(chǎng)聲信息國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題研究基金（批準(zhǔn)號(hào)：SKLOA201609）]

Nonlinear Acoustic Resonance Spectroscopy Analysis of One Dimensional Defects under Non-symmetric Boundary

Liu Xiaozhou1Liu Jiehui1Mao Yiwei1He Aijun2
(1. Key Lab of Modern Acoustics, MOE, Institute of Acoustics, Nanjing University Nanjing 210093) (2. School of electronic science and engineering, Nanjing University Nanjing 210093)

Linear acoustic resonance spectroscopy method can be used to determine the position of the defects with linear elasticity tensors, which is dependent on the shift of the resonant frequency, geometric shapes and densities of the sample. But if there is a minor defect, there will be a nonlinear relationship between stress and strain, so the position and the extent of the defects can be determined through the relationship between the amplitude and the resonance frequency by nonlinear acoustic resonance spectroscopy. In this paper, using nonlinear resonance ultrasound spectroscopy to analysis the defects with non-symmetric boundary conditions, the expression of the shift of resonance frequency and the amplitude of the high harmonics are given under classical nonlinearity and non-classical nonlinearity, and the numerical simulation results show that this method can be used to clearly distinguish the left and right locations of the defects.

Non-symmetric boundary Nonlinear acoustic resonance spectroscopy Non-classical nonlinearity Classical nonlinearity

X924

B

1673-257X(2017)05-0019-07

10.3969/j.issn.1673-257X.2017.05.005

劉曉宙(1966～)，男，博士，教授，從事超聲研究工作。

劉曉宙，E-mail: xzliu@nju.edu.cn。

2016-12-12）