核為雙曲正割函數(shù)的Hilbert型積分不等式的參量化

劉 瓊

(邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽(yáng)，422000)

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核為雙曲正割函數(shù)的Hilbert型積分不等式的參量化

劉 瓊

(邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽(yáng)，422000)

利用權(quán)函數(shù)方法，實(shí)分析技巧和Laplace積分變換的有關(guān)知識(shí)，引入收斂級(jí)數(shù)和Gamma函數(shù)聯(lián)合刻畫(huà)常數(shù)因子，得到了一個(gè)多參數(shù)核為雙曲正割函數(shù)的Hilbert型積分不等式和它的等價(jià)式,討論了最佳值問(wèn)題。作為應(yīng)用，我們可以通過(guò)選取一些特殊的參數(shù)值得到一些新的不等式。

Hilbert型積分不等式; 權(quán)函數(shù); 最佳常數(shù)因子; 雙曲正割函數(shù)

為方便起見(jiàn)，設(shè)θ(x)(>0) 為可測(cè)函數(shù),ρ>1 定義如下函數(shù)空間[1]:

(1)

(2)

這里的常數(shù)因子均是最佳值，不等式(1)和(2)在分析學(xué)和偏微分方程理論中有重要作用[2,3]。關(guān)于式(1),(2)及一些Hilbert型積分不等式已得到許多參量化結(jié)果[4-7]，文獻(xiàn)[4,5]引入獨(dú)立參數(shù)λ將它們進(jìn)行了單參數(shù)推廣；文獻(xiàn)[6,7]引入雙參數(shù)λ1,λ2進(jìn)行進(jìn)一步推廣和改進(jìn)。近幾年來(lái)，許多學(xué)者借助一些特殊函數(shù)來(lái)刻畫(huà)常數(shù)因子[8-12],文獻(xiàn)[8-11]借助黎曼ζ-函數(shù)研究了核為雙曲函數(shù)的Hilbert型積分不等式，文獻(xiàn)[12]借助超幾何函數(shù)研究了一類(lèi)混合核Hilbert型積分不等式。

本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上引入多個(gè)參數(shù)，利用權(quán)函數(shù)方法和實(shí)分析技巧，借助收斂級(jí)數(shù)和Γ-函數(shù)來(lái)刻畫(huà)常數(shù)因子，給出了一個(gè)核為雙曲正割函數(shù)的參量化Hilbert型積分不等式和它的等價(jià)式，證明了這對(duì)等價(jià)不等式的常數(shù)因子是最佳的，并通過(guò)選取一些參數(shù)值討論了該不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

1 引理

函數(shù)(1+x)μ(μ為任意實(shí)數(shù))的Maclaurin級(jí)數(shù)[1]:

(3)

冪函數(shù)tm(實(shí)數(shù)m>-1)的Laplace積分變換[13]:

(4)

引理1 設(shè)λ1,λ2,α,β>0，定義如下權(quán)函數(shù)：

ω(λ1,λ2,α,β,x):=

x∈(0,∞),

ω(λ1,λ2,α,β,y):=

y∈(0,∞)。

則有

其中

(5)

證明 令αxλ1yλ2=u，由式(3)和式(4)，有

ω(λ1,λ2,α,β,x)=

類(lèi)似可得ω(λ1,λ2,α,β,y)=

則有

(6)

(7)

2 主要結(jié)果及應(yīng)用

(8)

證明：由H?lder不等式[15]，交換積分次序的Fubini定理[1]和引理1，有

(9)

(10)

(11)

由式(11)得

(12)

反之，由帶權(quán)H?lder不等式和Fubini定理，有

上不等式即為式(8),因此式(8)和式(10)等價(jià)。若式(10)的常數(shù)因子不是最佳值，則上面由式(10)推得的式(8)的常數(shù)因子也不是最佳的，與前面的結(jié)論矛盾，所以式(10)的常數(shù)因子是最佳值。

在式(8)和(10)中選取一些特殊參數(shù)值，并借助Maple數(shù)學(xué)軟件的計(jì)算，可以得到一些新的、有意義的不等式：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

以上例題中的常數(shù)因子均是最佳值。

[1]程民德，鄧東皋，龍瑞麟.實(shí)分析.3[M].北京:高等教育出版社，2008.

[2]Hardy G H，Littlewood J E，Pólya G.Inequalities[M].Cambridge：Cambridge Univ Press，1952.

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[6]XU J S.Hardy-Hilbert’s inequalities with two parameters[J].Advances in mathematics，2007,36(2):189-202.

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[8]劉瓊，龍順潮.一個(gè)核為雙曲正割函數(shù)的Hilbert型積分不等式[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2013，40(3):255-259.

[9]劉瓊，龍順潮.一個(gè)核為雙曲余割函數(shù)的Hilbert型積分不等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版)，2013，56(1):97-104.

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[12]LIU Q，CHEN D Z.A Hilbert-type integral inequality with a hybrid kernel and its applications[J].Colloquium Mathematicum,2016,143(2):193-207.

[13]蘇變萍，陳東立.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：高等教育出版社，2003.

[14]王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000.

[15]匡繼昌.常用不等式[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

A parametrization Hilbert-type integral inequality with the kernel of hyperbolic secant function

LIU Qiong

(School of Sciences,Shaoyang University，Shaoyang 422000，China)

By using the way of weight function and the technic of real analysis and the related knowledge of Laplace integral transform，and introducing convergent series and Gamma function to characterize the constant factor，a multi-parameters Hilbert-type integral inequality with the kernel of hyperbolic secant function and its equivalent form are given.And the problem that the constant factors are the best value are considered.As an application，a series of new inequalities are obtained by choosing the special parameter values.

Hilbert-type integral inequality;weight function;the best constant factor;hyperbolic secant function

1672-7010(2017)03-0012-06

2017-04-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171280)；湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(10C1186)

劉瓊(1964-)，男，湖南邵陽(yáng)人。教授，主要從事解析不等式及調(diào)和分析研究。

O178

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