基于彎矩圖面積法求解梁的彎曲問題

張洛明，何春霞，張發(fā)廳

（黃河科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450063）

·實(shí)驗(yàn)技術(shù)·

基于彎矩圖面積法求解梁的彎曲問題

張洛明，何春霞，張發(fā)廳

（黃河科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450063）

為了簡(jiǎn)化梁的平面彎曲變形計(jì)算，該文通過對(duì)梁的撓曲線近似微分方程的建模分析，推導(dǎo)出用彎矩圖面積法求解梁的變形問題的計(jì)算公式。當(dāng)梁的抗彎剛度為常量，且彎矩圖面積及彎矩圖形心容易得到時(shí)，利用梁上支座處的已知邊界條件，無需積分即可求解梁上任意橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度；與疊加法相比，也有概念清晰、計(jì)算快捷的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)踐表明，即使在梁上作用有分布載荷使得彎矩圖面積及形心不容易直接得到的情況下，稍加推廣即可方便求解梁的變形問題。

面積；彎矩；形心；轉(zhuǎn)角；撓度

梁的彎曲問題是材料力學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，在實(shí)際設(shè)計(jì)及工程實(shí)踐中也有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，是機(jī)械類學(xué)生與工程技術(shù)人員必須掌握的知識(shí)。在國(guó)內(nèi)現(xiàn)行的教材體系中，均是采用積分法和疊加法來處理彎曲問題的。然而，這些方法比較繁瑣，運(yùn)用時(shí)容易出錯(cuò)，成了很多學(xué)生學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)。本文從基本的撓曲線近似微分方程出發(fā)，結(jié)合直觀的彎矩圖，給出了一種“彎矩圖面積法”，易于掌握，可用來求解梁的彎曲問題。

1 積分法與疊加法的基本原理

在現(xiàn)行的教科書［1－3］中，對(duì)于如圖1所示的右手直角坐標(biāo)系統(tǒng)，梁變形后的轉(zhuǎn)角θ（逆時(shí)針為正）和撓度y（向上為正）分別可表示為［4－5］：

圖1 右手直角坐標(biāo)系下的撓曲線轉(zhuǎn)角及撓度

式中，C、D為積分常數(shù)。

式（1）和式（2）就是求解梁的彎曲變形情況的基礎(chǔ)公式，可以通過積分運(yùn)算及考慮邊界條件得到轉(zhuǎn)角和撓度的沿梁軸線變化的函數(shù)表達(dá)式θ＝f1（x）和y＝f2（x），據(jù)此可以計(jì)算出梁上任意橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角，這種方法是積分法。

對(duì)于只需知曉梁的某些特殊橫截面的變形情況時(shí)，一般教科書和設(shè)計(jì)手冊(cè)上都會(huì)給出梁在簡(jiǎn)單載荷作用下的變形表［6－7］以供使用疊加法求解時(shí)使用。

積分法的運(yùn)算過程比較繁瑣，盡管在梁上作用有多個(gè)載荷時(shí)可以利用所謂階梯函數(shù)［8－9］來簡(jiǎn)化計(jì)算，但仍需要根據(jù)邊界條件計(jì)算出積分常數(shù)；疊加法在載荷比較復(fù)雜時(shí)需要仔細(xì)分析將其代換為表中所列出的基本載荷形式后再行疊加，稍有不慎就易出錯(cuò)。

2 彎矩圖面積法的推導(dǎo)

對(duì)于抗彎剛度EI為常量，且彎矩圖相對(duì)簡(jiǎn)單的情況，可以用彎矩圖面積法［10－11］來求解梁的任意橫截面的變形問題，簡(jiǎn)便而實(shí)用。

如圖2所示，曲線AB為梁的撓曲線的一部分，A、B兩個(gè)橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度分別為θA、yA和θB、yB。則對(duì)撓曲線的近似微分方程為：

圖2 彎矩圖面積法示意圖

進(jìn)行一次在區(qū)間［xA，xB］上的定積分，即可得到：

即橫截面B的轉(zhuǎn)角θB大小等于橫截面A的轉(zhuǎn)角θA的值與兩橫截面之間的彎矩面積除以EI的值之和。

同理，再次積分，就有：

即橫截面B的撓度yB大小等于橫截面A的撓度yA的值、橫截面A的轉(zhuǎn)角θA和兩橫截面之間距離乘積的值以及兩橫截面之間的彎矩圖面積SM與該面積的形心到橫截面B的距離的乘積S除以EI的值這三者之和。

由于以上推導(dǎo)過程中的A、B兩個(gè)橫截面可以根據(jù)實(shí)際情況靈活確定，所以理論上利用上述式（6）和式（11），就可以求得梁上任意橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。使用中要注意，一是彎矩圖若在粱的軸線下方，則相應(yīng)的面積為負(fù)值。二是橫截面B也完全可以在橫截面A的左邊，此時(shí)的x仍然是彎矩圖面積形心到橫截面B的值。

3 應(yīng)用舉例

為了便于比較，在此以兩個(gè)一般教科書上常見的題目為例，展示一下彎矩圖面積法的解題步驟。

例1 討論如圖3所示簡(jiǎn)支梁的彎曲變形。設(shè)EI為常量。

圖3 簡(jiǎn)支梁

解：先求出支座反力后，粱的彎矩圖很容易畫出如圖4所示。

圖4 簡(jiǎn)支梁彎矩圖

利用式（11）得出：

因?yàn)锳、B為鉸鏈支座，yB＝y(tǒng)A＝0，所以可得：

負(fù)號(hào)表示撓度向下。

如果需要的話，此方法也可以方便地求出撓曲線的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程：

例2 試求圖5所示外伸梁截面B的轉(zhuǎn)角和端點(diǎn)C的撓度。設(shè)EI為常量。

圖5 外伸梁

解：先分別求出F1、F2單獨(dú)作用下的彎矩圖，如圖6、圖7所示。

圖6 F1單獨(dú)作用下的彎矩圖

圖7 F2單獨(dú)作用下的彎矩圖

注意到圖7的彎矩圖面積為負(fù)面積：

可見，比用常規(guī)的疊加法更簡(jiǎn)明。

4 結(jié)束語

綜上所述，當(dāng)彎矩圖面積及形心容易得到時(shí)，相比于積分法和疊加法，用彎矩圖面積法求解梁的變形問題時(shí)，具有概念清楚、計(jì)算簡(jiǎn)明、使用方便的特點(diǎn)。事實(shí)上，即使對(duì)于梁上作用有分布載荷使得彎矩圖面積及形心不容易直接得到的情況，也同樣可以將式（6）中的和式（11）中的分別用和）dζ來計(jì)算即可。

［1］劉鴻文.材料力學(xué)［M］.4版.北京：高等教育出版社，2004.

［2］劉鴻文.材料力學(xué)I［M］.5版.北京：高等教育出版社，2012.

［3］孫訓(xùn)方.材料力學(xué)II［M］.6版.北京：高等教育出版社，2009.

［4］章寶華.材料力學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2014.

［5］奚紹中，邱秉權(quán).工程力學(xué)教程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2016.

［6］楊伯源.材料力學(xué)I［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［7］成大先.機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)［M］.4版.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2015.

［8］何春霞，吳雁平.用單位階梯函數(shù)求解變載荷梁撓度的方法［J］.實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2014，12（4）：13－14.

［9］湯志浩.單位階梯函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，19（4）：78－79.

［10］李銀山，官云龍，桑建兵.Maple在材料力學(xué)中的應(yīng)用（六）——連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法［C］／／第十五屆北方七省、市、區(qū)力學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議論文集.山西：山東省力學(xué)學(xué)會(huì)，2014.

［11］GERE JM，GOODNO B J.Strength of Materials［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2015.

［12］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.7版.北京：高等教育出版社，2014.

Solving the Bending Problem of Beam Based on Bending M oment Diagram Area M ethod

ZHANG Luoming，HE Chunxia，ZHANG Fating
（Department of Mechanical Engineering，Huanghe S＆T College，ZhenZhou 450063，China）

In order to simplify the calculation of the plane bending deformation of the beam，this paper deduces the calculation formula of the deformation of the beam by themethod of themoment diagram area.When the beam bending stiffness is constant，and themoment diagram and bendingmomentgraph easier to obtain，the corner and the deflection of any cross section of the beam can be solved without using the integral boundary condition at the bearing on the beam.Compared with the superposition method，there are al so clear concept，the advantages of quick calculation.Practice shows that even if the distribution of the load on the beam makes the bendingmoment area and the centroid is noteasy to be obtained directly.，A little promotion can easily solve the problem of the beam deformation.

area；moment；poid；angle；deflection

O341；G642.423

A

10.3969／j．issn．1672－4550.2017.03.007

2015－11－13；修改日期：2017－04－18

河南省民辦高校品牌專業(yè)“機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化”（ZLG201601）。

張洛明（1955－），男，博士，教授，主要從事連續(xù)體力學(xué)的研究和設(shè)計(jì)工作。