基于已實現(xiàn)NGARCH模型的上證50指數(shù)的風險度量

魏正元，羅云峰，余德英，王愛法

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

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基于已實現(xiàn)NGARCH模型的上證50指數(shù)的風險度量

魏正元，羅云峰，余德英，王愛法

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

基于NGARCH模型刻畫了波動率的杠桿效應(yīng)特征，在已實現(xiàn)GARCH模型的波動率方程中引入杠桿參數(shù)的擾動，建立了新的已實現(xiàn)NGARCH模型，并研究了新模型的動態(tài)VaR估計問題。上證50指數(shù)5 min頻率高頻數(shù)據(jù)VaR估計的返回測試結(jié)果表明：該新模型比已實現(xiàn)GARCH模型更好地刻畫了波動率的杠桿效應(yīng)特征，在一定程度上提高了風險度量的預(yù)測精度。

金融高頻數(shù)據(jù)；杠桿效應(yīng)；已實現(xiàn)NGARCH；風險度量；Kupiec失敗率檢驗

近年來，隨著電子化交易的普及和信息技術(shù)的快速發(fā)展，金融市場的波動性也日趨激烈，如何更精確地度量金融風險引起了人們的高度關(guān)注。金融風險度量方法經(jīng)過半個多世紀的發(fā)展已經(jīng)取得較大的進展，其中以Morgan提出的VaR(value at risk) 的使用最為廣泛[1]。VaR表示在給定置信水平下，某個金融資產(chǎn)在未來觀測期內(nèi)可能承受的最大損失。置信水平為p的VaR被定義為

(1)

其中: {rt,t=1,…,n}表示日對數(shù)收益率序列；Pt-1表示截止于t-1期信息的條件概率。

如何估計資產(chǎn)收益的波動率是金融風險度量的關(guān)鍵問題，而波動率的估計精度主要取決于模型的假設(shè)和數(shù)據(jù)的采集頻率。在金融計量中波動率估計方面，以Bollerslev為代表的學(xué)者們提出的一系列GARCH族模型的應(yīng)用最為廣泛[2]。傳統(tǒng)的GARCH族模型是以低頻數(shù)據(jù)作為研究對象。隨著計算機技術(shù)和存儲技術(shù)的快速發(fā)展，使得金融高頻數(shù)據(jù)越來越容易得到，且高頻數(shù)據(jù)比低頻數(shù)據(jù)包含了更豐富的市場信息，更受研究者的青睞。Andersen等[3]于2001年提出將高頻數(shù)據(jù)下的已實現(xiàn)波動率 (realized volatility,RV) 作為真實波動率的估計量，使波動率計算不需要假設(shè)模型，相對簡潔。比較GARCH族模型和已實現(xiàn)波動率不難發(fā)現(xiàn)：GARCH族模型刻畫了過去收益對當前收益波動的影響，但該族模型并不適合以高頻數(shù)據(jù)作為研究對象的情況；已實現(xiàn)波動率的提出充分利用了高頻數(shù)據(jù)包含豐富市場信息的優(yōu)點，但已實現(xiàn)波動率不能刻畫過去收益對當前收益波動的影響。基于此，Hansen等[4]于2012年提出了一種將GARCH模型結(jié)構(gòu)應(yīng)用于高頻數(shù)據(jù)的模型，稱為已實現(xiàn)GARCH (realized GARCH,R-GARCH)模型：

(2)

波動率模型的假設(shè)直接影響波動率的估計精度。為了提高估計量的準確性，需要考慮波動率的聚集性、長記憶性及杠桿效應(yīng)等特征對估計精度的影響。聚集性是指某個金融資產(chǎn)在受到市場信息沖擊時，在某個觀測期內(nèi)資產(chǎn)收益的波幅較大，而在其他觀測期內(nèi)波幅較小。長記憶性是指波動率與滯后無窮階的波動率都有相關(guān)性。杠桿效應(yīng)是指某個金融資產(chǎn)在受到市場信息沖擊時，波動對大的正負收益的沖擊是不對稱的，對負的收益的沖擊更大[5]。針對波動率特有的特征，Yan等[6]于2015年提出了高頻數(shù)據(jù)下的FIGARCH模型。研究結(jié)果表明：波動率的聚集性和長記憶性會直接影響波動率的估計精度。Hansen等[7]于2016年提出了已實現(xiàn)EGARCH(Realized EGARCH)模型，該模型體現(xiàn)了過去多階誤差項對當前收益大小變化的非對等影響。

波動率的杠桿效應(yīng)特征影響波動率的估計精度，從而影響金融資產(chǎn)風險度量的準確性。為此，本文基于NGARCH模型刻畫了波動率的杠桿效應(yīng)特征，在已實現(xiàn)GARCH模型的波動率方程中引入杠桿參數(shù)的擾動，建立了已實現(xiàn)NGARCH (realized NGARCH,R-NGARCH) 模型。新引進的杠桿參數(shù)刻畫了過去多階誤差項對當前收益大小變化的非對稱擾動，進一步研究了杠桿效應(yīng)對金融風險度量精度的影響。

1 R-NGARCH(p,q) 模型

為了刻畫波動率的杠桿效應(yīng)特征對波動率的估計精度的影響，考慮在R-GARCH(p,q) 模型的波動率方程中引入杠桿參數(shù)的擾動，提出了如下的R-NGARCH(p,q) 模型：

其中θ為杠桿參數(shù)。由式 (3) 可以看出：R-NGARCH(p,q) 建立了條件方差ht關(guān)于ht-i(i=1,…,p)和已實現(xiàn)測度xt-j(j=1,…,q)的動態(tài)方程，同時建立了已實現(xiàn)波動率xt關(guān)于條件方差ht和杠桿參數(shù)θ的函數(shù)關(guān)系。

R-NGARCH(p,q) 模型實質(zhì)上是一個離散時間的隨機波動率 (stochasticvolatility,SV) 模型，但由于波動率的已實現(xiàn)測度的存在，因此R-NGARCH(p,q) 模型可以直接用極大似然估計(maximumlikelihoodestimator,MLE)方法來得到所有參數(shù)的估計值[8-11]。

假設(shè){zt}服從正態(tài)分布，由式 (3) 可計算出收益率序列{rt}的對數(shù)似然函數(shù)為

波動率的預(yù)測過程可歸納為：首先，由極大似然估計方法計算出模型中所有參數(shù)的估計值；其次，由參數(shù)的估計值計算出初始條件方差h0的估計值；最后，將參數(shù)估計值和初始條件方差h0代入式 (3) 進行迭代計算得到波動率ht的預(yù)測值。

綜上，基于R-NGARCH (p,q) 模型的VaR度量的具體步驟為：

1) 對采集的金融高頻數(shù)據(jù)進行處理，選取合適頻率的數(shù)據(jù)計算出已實現(xiàn)波動率序列{xt}。本文選取5 min頻率的高頻數(shù)據(jù)。

2) 建立R-NGARCH(p,q)模型，采用樣本自相關(guān)函數(shù) (ACF) 來確定模型的階數(shù)，并對模型的估計方法進行隨機模擬，驗證模型參數(shù)估計的準確性，最終計算出模型中所有參數(shù)的估計值。

3) 將參數(shù)估計值和初始條件方差h0代入式 (3)，迭代計算波動率ht的預(yù)測值。

4) 假定置信水平，由該分位數(shù)值與波動率的估計值得到VaR的預(yù)測值。

5) 基于實際金融數(shù)據(jù)對得到的VaR進行Kupiec失敗率檢驗，驗證模型的風險預(yù)測精度。

2 實證分析

2.1R-NGARCH(p,q) 模型的隨機模擬

使用蒙特卡羅方法來檢驗R-NGARCH(1,2) 模型的參數(shù)估計的準確性。從正態(tài)隨機變量(均值為0，方差為1)中隨機抽取t=244個樣本(表示1年中244個交易日的日對數(shù)收益率序列)。將樣本數(shù)據(jù)代入模型計算出各個參數(shù)的估計值。該過程分別重復(fù)N1=500，N2=1 000，N3=1 500次。

表1給出了不同次數(shù)下R-NGARCH(1,2) 模型的隨機模擬結(jié)果。由表1可知：9個參數(shù)的真值與其估計均值非常接近，所有參數(shù)的均方誤差在5%的顯著性水平下均是顯著的；同時，隨著模擬次數(shù)的增加，參數(shù)估計均值更接近于參數(shù)真值，參數(shù)估計的均方誤差也越小。模擬結(jié)果表明：本文所采用的波動率的估計方法具有較高的準確性。

2.2 數(shù)據(jù)與樣本說明

本文采用的數(shù)據(jù)為上證50指數(shù)2016年244個交易日的日對數(shù)收益率序列(圖1) 和5min頻率的已實現(xiàn)波動率序列(圖2)。圖1和圖2證實了波動率存在聚集性和杠桿效應(yīng)等特征，說明該數(shù)據(jù)比較適合用GRACH族模型來建模。數(shù)據(jù)來源為銳思數(shù)據(jù)庫(www.resset.cn)。

圖1 上證50指數(shù)2016年的日對數(shù)收益率

圖2 上證50指數(shù)2016年的已實現(xiàn)波動率

2.3 R-NGARCH (1,2) 模型的數(shù)據(jù)擬合

圖3為收益率的樣本ACF圖與樣本絕對值A(chǔ)CF圖。從圖3可以看出：收益率序列的相關(guān)性較弱，而絕對值收益率序列自第2階起序列間有較強的相關(guān)性，說明收益率序列存在顯著的ARCH效應(yīng)，因此用R-NGARCH (1,2) 模型來擬合該數(shù)據(jù)。

圖3 對數(shù)收益率及絕對值收益率的ACF圖

表2為基于上證50指數(shù)5 min頻率高頻數(shù)據(jù)的R-NGARCH(1,2) 模型的參數(shù)估計結(jié)果。從表2可看出：參數(shù)的估計值在5%的顯著性水平下均是顯著的，表明參數(shù)的估計精度較好；φ1與φ2的估計值之和接近于1，說明波動率的已實現(xiàn)測度是真實波動率的漸進無偏估計；zt和θ為負相關(guān)，說明杠桿參數(shù)θ對負的收益做出的反應(yīng)更為明顯，證實了杠桿效應(yīng)對波動率的估計精度的影響。

將表2得到的參數(shù)估計值代入初始條件方差為h0的R-NGARCH(1,2) 模型進行迭代計算波動率ht，得到ht的估計值。為了驗證該模型的估計精度，同時還計算出基于5 min頻率高頻數(shù)據(jù)的R-GARCH(1,2) 模型的波動率的估計值。將兩種不同模型的波動率的估計值代入式(1)計算出相應(yīng)的VaR，最終比較兩種不同模型的VaR預(yù)測的精度。

表1 基于不同次數(shù)下R-NGARCH (1,2) 模型的隨機模擬結(jié)果

表2 R-NGARCH(1,2) 模型的參數(shù)估計

2.4 VaR的返回測試

由于VaR是基于過去信息建模得出的未來風險價值，因此無論采用哪種方法得到的有關(guān)金融資產(chǎn)收益的VaR，其實質(zhì)上都是一個估計值，需要對其預(yù)測結(jié)果的準確性進行返回值測試。VaR返回值測試的方法很多，其中最常用的是Kupiec[13]提出的失敗率檢驗法。該方法的基本思想為：金融資產(chǎn)真實虧損超出風險價值的事件可看作服從0～1分布中發(fā)生的相互的獨立事件。定義示性變量：

(4)

原假設(shè)為H0:W<α(α為顯著性水平)，W=F/T，F(xiàn)為失敗天數(shù)(即真實虧損超過風險價值的天數(shù))，T為實際觀測天數(shù)。Kupiec給出了其似然比統(tǒng)計量

(5)

在原假設(shè)條件下，統(tǒng)計量LR服從自由的為1的χ2分布，檢驗p值為

(6)

如果p<0.05，則拒絕原假設(shè)；反之，不拒絕原假設(shè)。由p值的定義和LR統(tǒng)計量的構(gòu)造可知，當檢驗結(jié)果在5%的顯著性水平下不顯著時，p值越接近于置信水平，其VaR的預(yù)測結(jié)果就越精確。

圖4、5分別為在95%的置信水平下5min頻率高頻數(shù)據(jù)的R-GARCH(1,2) 模型與R-NGARCH(1,2) 模型的VaR預(yù)測結(jié)果。由圖4、5可知：在244個交易日中，R-GARCH(1,2) 模型有9d預(yù)測失效，R-NGARCH(1,2) 模型有13d預(yù)測失效。

表3為在95%的置信水平下兩種不同模型的VaR預(yù)測結(jié)果，并根據(jù)式(5)(6) 計算出對應(yīng)的LR統(tǒng)計量的p值。從表3可看出：R-GARCH(1,2) 模型預(yù)測收益的溢出率為3.69%，LR檢驗的p值為0.325 1，測試結(jié)果在5%的顯著性水平下不顯著，但遠小于置信水平，預(yù)測結(jié)果明顯高估了市場風險；R-NGARCH(1,2) 模型預(yù)測收益的溢出率為5.33%，LR檢驗的p值為0.816 1，測試結(jié)果在5%的顯著性水平下不顯著，且p值較接近于置信水平，其預(yù)測結(jié)果更為準確。兩種不同模型的VaR測試結(jié)果表明：R-NGARCH模型的市場風險度量能力優(yōu)于R-GARCH模型。

圖4 95%的置信水平下R-GARCH(1,2) 模型的VaR預(yù)測圖

圖5 95%的置信水平下R-NGARCH(1,2) 模型的VaR預(yù)測圖

模型溢出天數(shù)溢出率/%LR檢驗的p值R-GARCH(1,2)93.690.3251R-NGARCH(1,2)135.330.8161

注：溢出天數(shù)表示實際損失大于VaR的預(yù)測值，溢出率=(溢出天數(shù)/觀測天數(shù))×100%。

3 結(jié)束語

本文基于NGARCH模型刻畫了波動率的杠桿效應(yīng)特征，提出了R-NGARCH模型。在此基礎(chǔ)上，首先分析了R-NGARCH(p,q) 模型的金融風險度量方法，并列出具體操作步驟。其次，對R-NGARCH(1,2) 模型的估計方法進行了蒙特卡羅模擬。模擬結(jié)果表明：新模型的參數(shù)估計值有較好的穩(wěn)健性。最后，基于R-NGARCH(1,2) 模型對上證50指數(shù)2016年244個交易日的收益率序列及5 min頻率的已實現(xiàn)波動率序列進行了實證分析。結(jié)果顯示：R-NGARCH模型較好地體現(xiàn)了波動率的杠桿效應(yīng)特征，模型的市場風險度量效果優(yōu)于R-GARCH模型，在一定程度上提高了風險度量的預(yù)測精度。

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(責任編輯 陳 艷)

Measure of Risk for SSE 50 Index Based on Realized NGARCH Model

WEI Zheng-yuan, LUO Yun-feng, YU De-ying, WANG Ai-fa

(College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

We constructs a new realized NGARCH model by introducing perturbation of leveraged parameter in the volatility equations of the realized GARCH model, which is based on the leverage effect of volatility described by the NGARCH model. Further, we analyze the dynamic VaR estimation problem of the new model. Empirical analysis about the high-frequency data of Shanghai Stock Exchange 50 index shows that the new model is more suitable than the realized GARCH model in describing the leverage effect of volatility. By using our new model, we can improve the prediction accuracy of measure of risk in a certain extent.

high-frequency financial data; leverage effect; realized NGARCH; measure of risk; Kupiec proportion of failures test

2017-03-22 基金項目：國家統(tǒng)計局統(tǒng)計科研重點項目(2014Z25)；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目(KJ1500925,KJ1600930)；重慶理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項目(YCX2015228)

魏正元(1975—)，男，湖北襄陽人，博士，副教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計、金融統(tǒng)計、金融數(shù)學(xué)研究,E-mail:zyweimath@163.com；羅云峰(1991—)，男，四川巴中人，碩士研究生，主要從事金融統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析相關(guān)研究。

魏正元，羅云峰，余德英，等.基于已實現(xiàn)NGARCH模型的上證50指數(shù)的風險度量[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(5):180-185.

format：WEI Zheng-yuan, LUO Yun-feng, YU De-ying, et al.Measure of Risk for SSE 50 Index Based on Realized NGARCH Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):180-185.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.030

O21

A

1674-8425(2017)05-0180-06